Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $S(t)=-t^3+9t^2+t+10$, ta có $v(t)=S^{\prime }(t)=-3t^2+18t+1$ và $a(t)=v^{\prime }(t)=-6t+18$.
a) $v(2)=-12+36+1=25\ne 15$ m/s → Sai.
b) $S(1)=-1+9+1+10=19\ne 18$ m → Sai.
c) $a(2)=-12+18=6$, $a(4)=-24+18=-6$; vì $6>-6$ nên gia tốc tại $t=2$ lớn hơn tại $t=4$ → Đúng.
d) $v^{\prime }(t)=-6t+18=0\Rightarrow t=3$; $v^{\prime }(t)>0$ với $t<3$, $v^{\prime }(t)<0$ với $t>3$ nên $v$ đạt max tại $t=3$: $v(3)=-27+54+1=28$ m/s → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-3t^2+18t+1$, $v(2)=25$ m/s $\ne 15$ m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S(1)=-1+9+1+10=19$ m $\ne 18$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=-6t+18$: $a(2)=6$, $a(4)=-6$, nên $a(2)>a(4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v^{\prime }(t)=-6t+18=0\Rightarrow t=3$, $v(3)=28$ m/s là giá trị lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)-1}{x-4}=1$ và $f$ liên tục, mẫu số tiến về 0 nên tử số cũng phải tiến về 0, suy ra $f(4)=1$, và giới hạn chính là $f^{\prime }(4)=1$.

Xét $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x^2+3)+x^2-2}{x-1}$. Tại $x=1$: $f(4)+1-2=1+1-2=0$, nên đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Đặt $g(x)=f(x^2+3)+x^2-2$, khi đó giới hạn cần tính là $g^{\prime }(1)$ với
$$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x^2+3)\cdot 2x+2x.$$
Vậy $g^{\prime }(1)=f^{\prime }(4)\cdot 2+2=1\cdot 2+2=4$.

Đáp án: 4.

(AI giải đề cho tôi)
Giới hạn $\underset{t\to 7}{\lim }\frac{g(t)-g(7)}{t-7}=\underset{t\to 7}{\lim }\frac{t^2-49}{t-7}=\underset{t\to 7}{\lim }(t+7)=14$, chính là $g^{\prime }(7)=2\cdot 7=14$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t+1$ trên đoạn $[0;5]$. Đây là parabol bậc hai với $a=-3<0$, đỉnh tại $t=-\frac{12}{2(-3)}=2\in [0;5]$. Vận tốc lớn nhất: $v(2)=-3(4)+12(2)+1=-12+24+1=13$ (m/s). Kiểm tra hai đầu: $v(0)=1$, $v(5)=-75+60+1=-14$. Vậy vận tốc tức thời lớn nhất bằng 13, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Do đó chỉ phương án B khớp với định nghĩa. Các phương án A, C sai vì mẫu số là $x+x_0$ (hoặc tử số là $f(x)+f(x_0)$); phương án D sai vì giới hạn lấy $x\to -x_0$ thay vì $x\to x_0$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M_0(x_0;f(x_0))$ là $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, tức $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ với $y_0=f(x_0)$. Kiểm tra: tại $x=x_0$ ta có $y=y_0$, nên đường thẳng đi qua $M_0$; hệ số góc là $f^{\prime }(x_0)$ đúng bằng hệ số góc của tiếp tuyến. Các phương án khác sai: A thiếu tung độ $y_0$; B dùng $f^{\prime }(x)$ thay vì $f^{\prime }(x_0)$; C sai vế phải $f^{\prime }(x_0)x$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0=\frac{1}{4}$ là $k=y^{\prime }(x_0)$. Với $y=x^2$ ta có $y^{\prime }=2x$, suy ra $k=2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=4x^2$, ta có $y^{\prime }=8x$. Tại $x_0=-1$: $y_0=4(-1{)}^2=4$, hệ số góc $k=y^{\prime }(-1)=-8$. Phương trình tiếp tuyến: $y=y_0+k(x-x_0)=4-8(x+1)=-8x-4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=2t$. Tại $t=2$: $v(2)=2\cdot 2=4$ m/s. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tiếp điểm có tung độ $y_0=-1$, với $y=x^3$ nên $x_0^3=-1\Rightarrow x_0=-1$. Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2$, hệ số góc $k=y^{\prime }(-1)=3$. Phương trình tiếp tuyến: $y=3(x+1)-1=3x+2$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $s^{\prime }(t)=196-9,8t$. Cho $s^{\prime }(t)=0\Rightarrow t=20$ giây. Khi đó $s(20)=196\cdot 20-4,9\cdot 20^2=3920-1960=1960$ m. Vậy viên đạn cách mặt đất $1960$ m, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=6t^2+12t-1$. Tại $t=3$: $v(3)=6\cdot 9+12\cdot 3-1=54+36-1=89m/s$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 31: a) Đúng — đây chính là định nghĩa đạo hàm của f tại x₀: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. b) Đúng — với $h=x-x_0$, khi $x\to x_0$ thì $h\to 0$, nên $f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, cũng là định nghĩa đạo hàm. c) Sai — $f^{\prime }(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=x_0$, không phải tại $x=0$. d) Sai — từ định nghĩa chỉ suy ra $f^{\prime }(x_0)$ tồn tại (nếu giới hạn hữu hạn), giá trị của nó có thể dương, âm hoặc bằng 0; không thể khẳng định $f^{\prime }(x_0)>0$. Ví dụ $f(x)=x^2$ tại $x_0=0$ có $f^{\prime }(0)=0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây là định nghĩa đạo hàm của f tại x₀.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đặt h = x - x₀ thì giới hạn này chính là định nghĩa đạo hàm tại x₀.
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = x₀, không phải tại x = 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Định nghĩa chỉ bảo đảm f'(x₀) tồn tại; giá trị có thể âm hoặc bằng 0, ví dụ f(x)=x² tại x₀=0 có f'(0)=0.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm): Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Kiểm tra các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu $x+x_0$; D sai vì giới hạn $x\to -x_0$ (phải là $x\to x_0$). Chỉ phương án B đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1: Theo định nghĩa đạo hàm tại điểm $x_0$: $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Kiểm tra các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu $x+x_0$; D sai vì giới hạn $x\to -x_0$ (phải là $x\to x_0$). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm). Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. So với các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu $x+x_0$; D sai vì giới hạn $x\to -x_0$ (phải là $x\to x_0$). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu hỏi trắc nghiệm đầu tiên của Chương IX (Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm), Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)$. Theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Xét các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$; D sai vì $x\to -x_0$. Chỉ phương án B đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm): Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Do đó phương án đúng là B. Các phương án A, C sai mẫu số (dùng $x+x_0$), phương án D sai giới hạn ($x\to -x_0$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm): Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ (nếu giới hạn này tồn tại). Kiểm tra các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu sai; D sai vì $x\to -x_0$ và mẫu $x-x_0$ không phù hợp. Chỉ phương án B đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu hỏi trắc nghiệm đầu tiên của Chương IX (Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm) là: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)$. Theo định nghĩa, $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Kiểm tra các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$; D sai vì $x\to -x_0$. Chỉ phương án B đúng với định nghĩa đạo hàm.