Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 20 giá trị đã sắp xếp: 150, 152, 153, 154, 156, 157, 159, 160, 161, 162, 164, 165, 167, 168, 170, 172, 174, 177, 178, 181.

a) Nửa dưới (10 giá trị): 150, 152, 153, 154, 156, 157, 159, 160, 161, 162 nên $Q_1=\frac{156+157}{2}=156,5$. Nửa trên (10 giá trị): 164, 165, 167, 168, 170, 172, 174, 177, 178, 181 nên $Q_3=\frac{170+172}{2}=171$. Khoảng tứ phân vị $IQR=Q_3-Q_1=171-156,5=14,5$ → Đúng.

b) Giới hạn ngoại lệ: $[Q_1-1,5\cdot IQR;Q_3+1,5\cdot IQR]=[156,5-21,75;171+21,75]=[134,75;192,75]$. Vì $134,75<181<192,75$ nên 181 không phải giá trị ngoại lệ → Sai.

c) Khoảng biến thiên $R=181-150=31$ → Đúng.

d) Trung vị $=\frac{162+164}{2}=163$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án chính thức (1a: Đ, 1b: S, 1c: Đ, 1d: Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=156,5$, $Q_3=171$, nên $IQR=14,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn ngoại lệ là $[134,75;192,75]$, chứa 181, nên 181 không phải ngoại lệ.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=181-150=31$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị $=\frac{162+164}{2}=163$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu đã được sắp xếp: 150, 152, 153, 154, 156, 157, 159, 160, 161, 162, 164, 165, 167, 168, 170, 172, 174, 177, 178, 181 (n = 20).
a) Khoảng biến thiên R = 181 − 150 = 31 → Đúng.
b) Q1 là trung vị của 10 giá trị đầu = (156+157)/2 = 156,5; Q3 là trung vị của 10 giá trị cuối = (170+172)/2 = 171; IQR = 171 − 156,5 = 14,5. Giới hạn: [156,5 − 1,5·14,5; 171 + 1,5·14,5] = [134,75; 192,75]. Vì 181 ∈ [134,75; 192,75] nên 181 không phải giá trị ngoại lệ → Sai.
c) IQR = 14,5 → Đúng.
d) Trung vị = (162+164)/2 = 163 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 181 − 150 = 31.
b) (AI giải đề cho tôi)
IQR = 14,5; khoảng [134,75; 192,75] chứa 181 nên 181 không phải ngoại lệ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 156,5; Q3 = 171; IQR = 14,5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị = (162+164)/2 = 163.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=10$): 6; 8; 13; 15; 15; 18; 19; 23; 23; 25. Chia mẫu thành hai nửa: nửa dưới là 6; 8; 13; 15; 15 nên $Q_1=13$; nửa trên là 18; 19; 23; 23; 25 nên $Q_3=23$. Khoảng tứ phân vị $IQR=Q_3-Q_1=23-13=10$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 5 giá trị đã sắp xếp: 152, 154, 156, 158, 160. Trung vị là 156. Nửa dưới gồm 152, 154 nên $Q_1=153$; nửa trên gồm 158, 160 nên $Q_3=159$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=159-153=6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=20$ giá trị đã sắp xếp. Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1$ là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: $Q_1=\frac{9+11}{2}=10$. Tứ phân vị thứ ba: $Q_3$ là trung bình cộng của giá trị thứ 15 và thứ 16: $Q_3=\frac{31+33}{2}=32$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=32-10=22$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 10): 21, 24, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 35, 36. Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của 5 giá trị đầu: Q1 = 25. Tứ phân vị thứ ba là trung vị của 5 giá trị cuối: Q3 = 34. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 = 34 − 25 = 9. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{34+34+36+35+33+31+30}{7}=\frac{233}{7}\approx 33,286$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{7}\left[2(34-\bar{x}{)}^2+(36-\bar{x}{)}^2+(35-\bar{x}{)}^2+(33-\bar{x}{)}^2+(31-\bar{x}{)}^2+(30-\bar{x}{)}^2\right]\approx \frac{27,43}{7}\approx 3,918$. Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{3,918}\approx 1,98\in (1;2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số liệu gồm 14 giá trị: 85, 82, 84, 83, 80, 82, 84, 85, 80, 81, 80, 82, 85, 85.

Tổng: $\sum x_i=1158$, nên số trung bình $\bar{x}=\frac{1158}{14}\approx 82,71$.

Tổng bình phương: $\sum x_i^2=4\cdot 85^2+3\cdot 82^2+2\cdot 84^2+83^2+3\cdot 80^2+81^2=28900+20172+14112+6889+19200+6561=95834$.

Phương sai: $s^2=\frac{1}{14}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{95834}{14}-(82,71{)}^2\approx 6845,29-6841,65\approx 3,63$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{3,63}\approx 1,91$.

Vậy chọn phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu: 0, 7, 10, 12, 13, 15, 15, 16, 19, 26 (n = 10). Tứ phân vị: Q1 là trung vị của nửa dưới (0, 7, 10, 12, 13) nên Q1 = 10; Q3 là trung vị của nửa trên (15, 15, 16, 19, 26) nên Q3 = 16. Khoảng tứ phân vị IQR = 16 − 10 = 6. Giới hạn dưới: Q1 − 1,5·IQR = 10 − 9 = 1; giới hạn trên: Q3 + 1,5·IQR = 16 + 9 = 25. Giá trị 0 < 1 và 26 > 25 nên cả 0 và 26 là giá trị bất thường. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 13): 35, 38, 43, 43, 43, 45, 45, 45, 48, 48, 48, 50, 50. Số trung vị là giá trị thứ 7: 45. Q1 là trung vị của 6 giá trị đầu: (43+43)/2 = 43. Q3 là trung vị của 6 giá trị cuối: (48+48)/2 = 48. Khoảng tứ phân vị IQR = 48 − 43 = 5. Giới hạn dưới = Q1 − 1,5·IQR = 43 − 7,5 = 35,5; giới hạn trên = Q3 + 1,5·IQR = 48 + 7,5 = 55,5. Giá trị 35 < 35,5 nên 35 là giá trị bất thường (ngoại lệ); các giá trị khác đều nằm trong [35,5; 55,5]. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 5+6\cdot 12+7\cdot 8+8\cdot 9+9\cdot 4+10\cdot 2}{40}=\frac{25+72+56+72+36+20}{40}=\frac{281}{40}=7,025$.

Tính tổng bình phương: $\sum x_i^2{n}_i=25\cdot 5+36\cdot 12+49\cdot 8+64\cdot 9+81\cdot 4+100\cdot 2=125+432+392+576+324+200=2049$.

Vậy phương sai: $S_x^2=\frac{2049}{40}-{\left(\frac{281}{40}\right)}^2=51,225-49,350625=1,874375\approx 1,87$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng các giá trị: $3\cdot 1+4\cdot 1+5\cdot 2+6\cdot 7+7\cdot 12+8\cdot 14+9\cdot 2+10\cdot 1=259$, nên số trung bình $\bar{x}=\frac{259}{40}=6,475$. Tổng bình phương: $9+16+50+252+588+896+162+100=2073$, nên $\frac{1}{40}\sum x_i^2=\frac{2073}{40}=51,825$. Phương sai $S^2=51,825-(6,475{)}^2=51,825-41,925625=9,899375$. Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{9,899375}\approx 3,15$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu (n = 19): 5, 6, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 48, 49.

- Số trung vị: giá trị thứ 10 là $\text{Me}=28$.
- Tứ phân vị thứ nhất: trung vị của 9 giá trị đầu (5, 6, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26) là $Q_1=22$.
- Tứ phân vị thứ ba: trung vị của 9 giá trị cuối (28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 48, 49) là $Q_3=32$.
- Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=32-22=10$.

Xác định giá trị bất thường bằng quy tắc $1,5\cdot {\Delta }_Q$:
- Cận dưới: $Q_1-1,5{\Delta }_Q=22-15=7$.
- Cận trên: $Q_3+1,5{\Delta }_Q=32+15=47$.

Các giá trị nhỏ hơn 7 hoặc lớn hơn 47 là bất thường: $5,6$ (nhỏ hơn 7) và $49$ (lớn hơn 47).

Vậy có 3 giá trị bất thường trong mẫu số liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=25$ giá trị. Tổng: hàng thứ nhất bằng 775, hàng thứ hai bằng 738, tổng cộng 1513, nên số trung bình $\bar{x}=\frac{1513}{25}=60,52$. Tổng bình phương: hàng thứ nhất bằng 49935, hàng thứ hai bằng 46950, tổng cộng 96885. Phương sai $s^2=\frac{96885}{25}-(60,52{)}^2=3875,4-3662,6704=212,7296$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{212,7296}\approx 14,5866\approx 14,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi tổ.
Tổ 1: các điểm 7; 8; 7,5; 7; 6; 6,5; 8; 7 có tổng ${\bar{x}}_1=\frac{57}{8}=7,125$.
Tổng bình phương: $49+64+56,25+49+36+42,25+64+49=409,5$.
Phương sai: $s_1^2=\frac{409,5}{8}-(7,125{)}^2=51,1875-50,765625=0,421875$, nên $s_1\approx 0,65$.
Tổ 2: các điểm 6; 7; 8; 6,5; 8,5; 7,7; 8; 8,5 có tổng ${\bar{x}}_2=\frac{60,2}{8}=7,525$.
Tổng bình phương: $36+49+64+42,25+72,25+59,29+64+72,25=459,04$.
Phương sai: $s_2^2=\frac{459,04}{8}-(7,525{)}^2=57,38-56,625625=0,754375$, nên $s_2\approx 0,87$.
Vì $s_1<s_2$ (các điểm tổ 1 phân tán quanh số trung bình ít hơn), nên tổ 1 học Ngữ văn đồng đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=15$): 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14. Khoảng biến thiên $R=14-6=8$. $Q_1$ là giá trị thứ $(15+1)/4=4$ → $Q_1=8$; $Q_3$ là giá trị thứ $3(15+1)/4=12$ → $Q_3=12$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=12-8=4$. Vậy $R=8$ và ${\Delta }_Q=4$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng mẫu số liệu hai vùng đều bằng 335 nên trung bình cùng bằng 335/7 ≈ 47,86 → A đúng. Khoảng biến thiên: A = 54 − 41 = 13, B = 52 − 43 = 9 → D đúng. Khoảng tứ phân vị: vùng A có Q1 = 44, Q3 = 53 nên Δq = 9; vùng B có Q1 = 44, Q3 = 51 nên Δq = 7 → B đúng. Phương sai vùng A (các số liệu phân tán hơn) lớn hơn vùng B, nên vùng B ổn định hơn vùng A; khẳng định C sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trung bình: $\bar{x}=\frac{34+34+36+35+33+31+30}{7}=\frac{233}{7}\approx 33,29$. Tổng bình phương độ lệch: $(34-\bar{x}{)}^2\cdot 2+(36-\bar{x}{)}^2+(35-\bar{x}{)}^2+(33-\bar{x}{)}^2+(31-\bar{x}{)}^2+(30-\bar{x}{)}^2\approx 27,43$. Phương sai mẫu $s^2\approx 27,43/7\approx 3,92$, nên $s\approx 1,98\in (1;2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=1+3+12+4+20+8=48$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 1+7\cdot 3+8\cdot 12+8,5\cdot 4+9\cdot 20+10\cdot 8}{48}=\frac{416}{48}\approx 8,667$. Tổng $\sum f_i{x}_i^2=25+147+768+289+1620+800=3649$. Phương sai: $s^2=\frac{3649}{48}-{\left(\frac{416}{48}\right)}^2\approx 76,021-75,111\approx 0,91$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,91}\approx 0,95$. Vậy phương sai và độ lệch chuẩn lần lượt gần nhất với $0,91$ và $0,95$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu (n=13): 35, 38, 43, 43, 43, 45, 45, 45, 48, 48, 48, 50, 50. Tứ phân vị: Q1 ở vị trí 0,25·12=3 → Q1=43; Q3 ở vị trí 0,75·12=9 → Q3=48; IQR=5. Khoảng xác định giá trị bất thường: [Q1−1,5·IQR; Q3+1,5·IQR]=[35,5; 55,5]. Giá trị 35 nằm ngoài khoảng này nên 35 là giá trị bất thường. Đáp án A.