Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

Từ biểu đồ ở trang 8, số lượng khách tại các mốc thời điểm 9h, 11h, 13h, 15h, 17h lần lượt là: 40; 50; 20; 35; 45.

Sắp xếp mẫu số liệu (n = 5) theo thứ tự không giảm: 20; 35; 40; 45; 50.

Vì n = 5 lẻ, tứ phân vị thứ hai (trung vị) là giá trị ở vị trí giữa: $Q_2=40$.

Xác định $Q_1$ là trung vị của dãy gồm các giá trị từ đầu dãy đến vị trí của $Q_2$: dãy {20; 35; 40} nên $Q_1=35$.

Xác định $Q_3$ là trung vị của dãy gồm các giá trị từ vị trí của $Q_2$ đến cuối dãy: dãy {40; 45; 50} nên $Q_3=45$.

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=45-35=10$.

Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{10\cdot 2+12\cdot 2+15\cdot 3+18\cdot 3+19\cdot 1+19,5\cdot 1}{12}=\frac{181,5}{12}=15,125$.
Tổng bình phương: $\sum x_i^2{n}_i=100\cdot 2+144\cdot 2+225\cdot 3+324\cdot 3+361\cdot 1+380,25\cdot 1=2876,25$.
Phương sai: $s^2=\frac{2876,25}{12}-15,125^2=239,6875-228,765625=10,921875$.
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{10,921875}\approx 3,3048\approx 3,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n=27. a) Tần số lớn nhất là 8 ứng với giá trị 4 nên M_o=4, đúng. b) Trung vị là giá trị thứ 14 (vị trí tích lũy: 1,5,12,20,25,27), tức giá trị 3, nên M_e=3≠8, sai. c) Tổng tần số 27; tổng x_i f_i = 1+8+21+32+25+12 = 99 nên mean = 99/27 = 11/3; tổng x_i² f_i = 1+16+63+128+125+72 = 405 nên E[X²]=15; phương sai s² = 15 − (11/3)² = 14/9 ≈ 1,56, đúng. d) Q1 là giá trị thứ 7 = 2, Q3 là giá trị thứ 21 = 4, IQR = 2; khoảng cách ngoại lai: [Q1−1,5·IQR; Q3+1,5·IQR] = [−1; 7], giá trị 6 nằm trong khoảng nên không phải số liệu bất thường, sai. Khớp đáp án bảng: a Đ, b S, c Đ, d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tần số lớn nhất là 8 ứng với giá trị 4 nên M_o=4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 14 trong mẫu (n=27) là 3, nên M_e=3, không phải 8.
c) (AI giải đề cho tôi)
mean=99/27=11/3, E[X²]=405/27=15, s²=15−121/9=14/9≈1,56.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1=2, Q3=4, IQR=2, khoảng [−1;7] chứa 6 nên 6 không phải số liệu bất thường.

(AI giải đề cho tôi)
Số quan sát $n=34$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{20\cdot 11+23\cdot 3+25\cdot 9+27\cdot 7+30\cdot 4}{34}=\frac{823}{34}\approx 24,206$. Tổng bình phương: $20^2\cdot 11+23^2\cdot 3+25^2\cdot 9+27^2\cdot 7+30^2\cdot 4=4400+1587+5625+5103+3600=20315$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{20315}{34}-{\left(\frac{823}{34}\right)}^2\approx 597,5-585,925=11,575$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{11,575}\approx 3,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu: 1;3;3;4;4;7;9;10;20 (n=9). R = 20 − 1 = 19 ≠ 20 (A sai). Q2 là số liệu thứ 5 nên Q2 = 4 ≠ 3 (B sai). Q1 = trung vị của nửa dưới (1;3;3;4) = 3; Q3 = trung vị của nửa trên (4;7;9;10) = 8; ΔQ = 8 − 3 = 5 ≠ 20 (C sai). Khoảng biến thiên IQR = 5, giới hạn: [3 − 7,5; 8 + 7,5] = [−4,5; 15,5]. Giá trị 20 nằm ngoài khoảng này nên 20 là giá trị ngoại lệ (D đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có n = 12 giá trị đã sắp xếp: 38; 39; 39; 40; 40; 41; 42; 42; 42; 43; 43; 44. Theo phương pháp trong SGK Toán 10 (chia mẫu thành hai nửa khi n chẵn): Q1 là trung vị của 6 giá trị đầu (38; 39; 39; 40; 40; 41), nên Q1 = (39 + 40)/2 = 39,5. Q3 là trung vị của 6 giá trị cuối (42; 42; 42; 43; 43; 44), nên Q3 = (42 + 43)/2 = 42,5. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 = 42,5 − 39,5 = 3.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu: 1, 4, 5, 6, 6, 8, 10, 11, 12, 25 (n = 10).
a) Giá trị lớn nhất là 25 < 30 nên không có học sinh nào chờ quá 30 phút → ĐÚNG.
b) Tổng = 1+4+5+6+6+8+10+11+12+25 = 88, trung bình = 88/10 = 8,8 phút ≠ 8 phút → SAI.
c) Nửa dưới: 1, 4, 5, 6, 6 → Q1 = 5; nửa trên: 8, 10, 11, 12, 25 → Q3 = 11. Khoảng tứ phân vị Δq = 11 − 5 = 6 ≠ 5 → SAI.
d) Trung bình x̄ = 8,8. Tổng bình phương độ lệch: (−7,8)²+(−4,8)²+(−3,8)²+(−2,8)²+(−2,8)²+(−0,8)²+(1,2)²+(2,2)²+(3,2)²+(16,2)² = 60,84+23,04+14,44+7,84+7,84+0,64+1,44+4,84+10,24+262,44 = 393,6. Phương sai s² = 393,6/10 = 39,36 → ĐÚNG.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất của mẫu là 25 phút < 30 phút, nên không có học sinh nào chờ quá 30 phút.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng mẫu số liệu là 88, trung bình = 88/10 = 8,8 phút, không phải 8 phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 5 (nửa dưới: 1,4,5,6,6) và Q3 = 11 (nửa trên: 8,10,11,12,25), nên Δq = 11 − 5 = 6 phút, không phải 5 phút.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x̄ = 8,8, tổng bình phương độ lệch bằng 393,6, nên s² = 393,6/10 = 39,36.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu: 7, 8, 11, 13, 15, 18, 19, 20, 22.
a) Sai. Số trung bình là số đo xu hướng trung tâm (dùng làm đại diện), không phải số đo mức độ phân tán.
b) Đúng. R = 22 - 7 = 15.
c) Sai. Mẫu có 9 giá trị, trung vị là giá trị thứ 5 = 15, nên Q_2 = 15 ≠ 18.
d) Sai. Số trung bình x̄ = 133/9 ≈ 14,78. Tổng bình phương các giá trị = 2197, phương sai s² = 2197/9 - (133/9)² = 2084/81 ≈ 25,73, nên s ≈ 5,07 ≠ 25.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình là số đo xu hướng trung tâm, không phải số đo mức độ phân tán.
b) (AI giải đề cho tôi)
R = giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất = 22 - 7 = 15.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 9 giá trị, trung vị là giá trị thứ 5 của dãy đã sắp xếp: Q_2 = 15 ≠ 18.
d) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = 133/9 ≈ 14,78; s² = 2084/81 ≈ 25,73 nên s ≈ 5,07 ≠ 25.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh $n=7+5+10+12+4+2=40$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 7+6\cdot 5+7\cdot 10+8\cdot 12+9\cdot 4+10\cdot 2}{40}=\frac{287}{40}=7,175$. Tính $\sum x_i^2{n}_i=25\cdot 7+36\cdot 5+49\cdot 10+64\cdot 12+81\cdot 4+100\cdot 2=175+180+490+768+324+200=2137$. Phương sai: $s^2=\frac{2137}{40}-7,175^2=53,425-51,480625\approx 1,94$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án của đề (mã đề 1014, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét: đề chỉ cung cấp bảng số liệu (Câu 34, trang 22) mà không nêu rõ yêu cầu cụ thể; theo chủ đề 'Các số đặc trưng đo độ phân tán', ta tính các số đặc trưng của mẫu 20 giá trị.

Sắp xếp và lập bảng tần số:
- Giá trị 111: 1 lần; 112: 3 lần; 113: 4 lần; 114: 5 lần; 115: 4 lần; 116: 2 lần; 117: 1 lần (tổng $n=20$).

1) Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{111\cdot 1+112\cdot 3+113\cdot 4+114\cdot 5+115\cdot 4+116\cdot 2+117\cdot 1}{20}=\frac{2278}{20}=113,9\text{ (kg/saˋo)}.$$

2) Phương sai:
$$s^2=\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{259510}{20}-113,9^2=12975,5-12973,21=2,29.$$

3) Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{2,29}\approx 1,51\text{ (kg/saˋo)}.$$

4) Số trung vị: dãy đã sắp xếp có giá trị thứ 10 và thứ 11 đều bằng 114 nên $Me=114$.

5) Khoảng biến thiên: $R=117-111=6$ (kg/sào).

Kết luận: mẫu số liệu có số trung bình $\bar{x}=113,9$ kg/sào, phương sai $s^2=2,29$, độ lệch chuẩn $s\approx 1,51$ kg/sào, số trung vị $Me=114$, khoảng biến thiên $R=6$. Độ phân tán nhỏ cho thấy sản lượng chè của các hộ khá đồng đều.

(AI giải đề cho tôi)
Cung thủ A: các giá trị 8, 9, 10, 7, 6, 10, 6, 7, 9, 8. Tổng ${\bar{x}}_A=\frac{8+9+10+7+6+10+6+7+9+8}{10}=\frac{80}{10}=8$. Tổng bình phương $\sum x_i^2=64+81+100+49+36+100+36+49+81+64=660$. Phương sai $s_A^2=\frac{660}{10}-8^2=66-64=2$. Độ lệch chuẩn $s_A=\sqrt{2}\approx 1,41$.

Cung thủ B: các giá trị 10, 6, 8, 7, 9, 9, 8, 7, 8, 8. Tổng ${\bar{x}}_B=\frac{10+6+8+7+9+9+8+7+8+8}{10}=\frac{80}{10}=8$. Tổng bình phương $\sum y_i^2=100+36+64+49+81+81+64+49+64+64=652$. Phương sai $s_B^2=\frac{652}{10}-8^2=65,2-64=1,2$. Độ lệch chuẩn $s_B=\sqrt{1,2}\approx 1,10$.

Nhận xét: Hai cung thủ có điểm trung bình bằng nhau (8 điểm), nhưng $s_B^2<s_A^2$ nên cung thủ B bắn ổn định hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 10): 154; 155; 155; 160; 160; 162; 162; 162; 165; 165. Nửa dưới gồm 5 giá trị đầu: 154; 155; 155; 160; 160 nên Q1 = 155. Nửa trên gồm 5 giá trị sau: 162; 162; 162; 165; 165 nên Q3 = 162. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 = 162 − 155 = 7 (cm). Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{7+6+6+5+9}{5}=\frac{33}{5}=6,6$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{5}\left[(7-6,6{)}^2+(6-6,6{)}^2+(6-6,6{)}^2+(5-6,6{)}^2+(9-6,6{)}^2\right]=\frac{0,16+0,36+0,36+2,56+5,76}{5}=\frac{9,2}{5}=1,84$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{45+43+41+46+40}{5}=\frac{215}{5}=43$. Phương sai: $s^2=\frac{(45-43{)}^2+(43-43{)}^2+(41-43{)}^2+(46-43{)}^2+(40-43{)}^2}{5}=\frac{4+0+4+9+9}{5}=\frac{26}{5}=5,2$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{5,2}\approx 2,28$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức: $\bar{x}=\frac{83+74+71+79+83+69+92}{7}=\frac{551}{7}\approx 78,71$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{7}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{1}{7}\left[(83-78,71{)}^2+(74-78,71{)}^2+(71-78,71{)}^2+(79-78,71{)}^2+(83-78,71{)}^2+(69-78,71{)}^2+(92-78,71{)}^2\right]\approx \frac{389,43}{7}\approx 55,63$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{55,63}\approx 7,46$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trung bình: $\bar{x}=\frac{83+74+71+79+83+69+92}{7}=\frac{551}{7}\approx 78,714$. Tổng bình phương $\sum x_i^2=43761$. Phương sai $s^2=\frac{43761}{7}-{\left(\frac{551}{7}\right)}^2=\frac{2726}{49}\approx 55,63$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=13+7+21+10+11+4+7=73$. Tổng số áo: $\sum x_i{n}_i=36\cdot 13+37\cdot 7+38\cdot 21+39\cdot 10+40\cdot 11+41\cdot 4+42\cdot 7=468+259+798+390+440+164+294=2813$. Số trung bình $\bar{x}=\frac{2813}{73}\approx 38,5342$. Tổng $\sum x_i^2{n}_i=1296\cdot 13+1369\cdot 7+1444\cdot 21+1521\cdot 10+1600\cdot 11+1681\cdot 4+1764\cdot 7=16848+9583+30324+15210+17600+6724+12348=108637$. Phương sai $s^2=\frac{108637}{73}-{\left(\frac{2813}{73}\right)}^2\approx 1488,1781-1484,8853\approx 3,2928\approx 3,29$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu gồm 10 giá trị (dù đề ghi '9 ngày'): 12, 7, 10, 9, 12, 9, 10, 11, 10, 14. Sắp xếp: 7, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 14. Với n = 10, Q1 là trung bình cộng giá trị thứ 3 và thứ 4: Q1 = (9+10)/2 = 9,5; Q3 là trung bình cộng giá trị thứ 7 và thứ 8: Q3 = (11+12)/2 = 11,5. Khoảng tứ phân vị IQR = Q3 − Q1 = 11,5 − 9,5 = 2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, mẫu số liệu nhiệt độ 10 ngày là: 23, 24, 24, 32, 29, 25, 24, 23, 24, 25 (°C).

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{23+24+24+32+29+25+24+23+24+25}{10}=\frac{253}{10}=25,3({}^{\circ }C).$$

Tổng bình phương độ lệch:
$$\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=2(23-25,3{)}^2+4(24-25,3{)}^2+(32-25,3{)}^2+(29-25,3{)}^2+2(25-25,3{)}^2$$
$$=2(5,29)+4(1,69)+44,89+13,69+2(0,09)=10,58+6,76+44,89+13,69+0,18=76,1.$$

Phương sai mẫu:
$$s^2=\frac{76,1}{10}=7,61({}^{\circ }C{)}^2.$$