Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=47$. Tần số tích lũy: điểm 3: 1; 3,5: 8; 4: 13; 4,5: 17; 5: 21; 5,5: 28; 6: 34; 6,5: 38; 7: 39; 7,5: 44; 8: 47.

a) $\frac{n}{4}=11,75$ nên $Q_1$ là giá trị thứ 12: $Q_1=4$. $\frac{3n}{4}=35,25$ nên $Q_3$ là giá trị thứ 36: $Q_3=6,5$. Vậy ${\Delta }_Q=6,5-4=2,5$ → đúng.

b) $R=x_{\max }-x_{\min }=8-3=5$ → đúng.

c) Số trung bình $\bar{x}=\frac{254,5}{47}\approx 5,415$. $\sum f_i{x}_i^2=1474,75$, phương sai $s^2=\frac{1474,75}{47}-{\bar{x}}^2\approx 2,057$, $s\approx 1,43<2$ → đúng.

d) $\frac{n}{2}=23,5$ nên trung vị là giá trị thứ 24, thuộc nhóm điểm 5,5 (tần số tích lũy đạt 28 tại 5,5). Vậy trung vị là $5,5$, không phải 6 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=4$, $Q_3=6,5$ nên ${\Delta }_Q=2,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=8-3=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}\approx 5,415$, $s\approx 1,43<2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị là giá trị thứ 24 bằng 5,5, không phải 6.

(AI giải đề cho tôi)
Học 'lệch' hơn nghĩa là điểm phân tán nhiều hơn quanh giá trị trung bình, tức phương sai lớn hơn. Trung bình An: (8,0+6,5+8,8+8,3+8,0+8,0+7,2+9,0)/8 = 63,8/8 = 7,975. Trung bình Bình: (8,5+9,0+7,5+8,0+6,5+8,5+7,5+7,0)/8 = 62,5/8 = 7,8125. Phương sai An: tổng bình phương độ lệch = 0,025²+(-1,475)²+0,825²+0,325²+0,025²+0,025²+(-0,775)²+1,025² = 4,615, nên S²_An = 4,615/8 ≈ 0,577. Phương sai Bình: 0,6875²+1,1875²+(-0,3125)²+0,1875²+(-1,3125)²+0,6875²+(-0,3125)²+(-0,8125)² = 4,96875, nên S²_Bình = 4,96875/8 ≈ 0,621. Vì phương sai của Bình lớn hơn, Bình học 'lệch' hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu (n=24). Đường A: tổng tốc độ = 1795 nên mean_A = 1795/24 ≈ 74,7917; tổng bình phương = 136175 nên phương sai = 136175/24 − (1795/24)^2 ≈ 80,1649, suy ra s_A ≈ 8,9535 → mệnh đề (i) đúng. Đường B: tổng = 1762 nên mean_B = 1762/24 ≈ 73,4167; tổng bình phương = 130964 nên phương sai = 130964/24 − (1762/24)^2 ≈ 66,8264, suy ra s_B ≈ 8,1747 → mệnh đề (ii) đúng. Về mệnh đề (iii): xe chạy an toàn hơn thường được đánh giá qua mức độ phân tán (độ lệch chuẩn nhỏ hơn là đều đặn/an toàn hơn). Vì s_A ≈ 8,9535 > s_B ≈ 8,1747, tốc độ trên đường B phân tán ít hơn, tức xe trên đường B an toàn hơn chứ không phải đường A → (iii) sai. Vậy có 2 mệnh đề đúng, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu liệu: 140, 142, 143, 150, 155, 156, 157, 158, 185 (n = 9). Số trung vị là 155. Tứ phân vị thứ nhất Q1 = 142, tứ phân vị thứ ba Q3 = 157, nên khoảng tứ phân vị IQR = 157 − 142 = 15. Các cột mốc của biểu đồ hộp: dưới = Q1 − 1,5·IQR = 142 − 22,5 = 119,5; trên = Q3 + 1,5·IQR = 157 + 22,5 = 179,5. Giá trị bất thường là giá trị nằm ngoài khoảng [119,5; 179,5]. Trong mẫu, 140 > 119,5 nên không bất thường; 185 > 179,5 nên là giá trị bất thường. Vậy chỉ có 185 là giá trị bất thường, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (12 giá trị): 1,5; 3; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 9; 10.

- Số trung vị: $(6+6)/2=6$.
- Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung vị nửa dưới: 1,5; 3; 5; 6; 6; 6 → $Q_1=(5+6)/2=5,5$.
- Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung vị nửa trên: 6; 7; 7; 7; 9; 10 → $Q_3=(7+7)/2=7$.
- Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_q=Q_3-Q_1=1,5$.

Giới hạn xác định giá trị bất thường:
- Dưới: $Q_1-1,5\cdot {\Delta }_q=5,5-2,25=3,25$.
- Trên: $Q_3+1,5\cdot {\Delta }_q=7+2,25=9,25$.

Giá trị nhỏ hơn 3,25: 1,5 và 3. Giá trị lớn hơn 9,25: 10.

Vậy các giá trị bất thường là 1,5; 3 và 10 → chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu: 22, 24, 37, 38, 38, 43, 47, 48, 48, 70 (n = 10). Tính tứ phân vị theo vị trí: Q1 ở vị trí (n+1)/4 = 2,75 nên Q1 = 24 + 0,75(37 − 24) = 33,75; Q3 ở vị trí 3(n+1)/4 = 8,25 nên Q3 = 48 + 0,25(48 − 48) = 48. Khoảng tứ phân vị IQR = 48 − 33,75 = 14,25. Các mốc xác định ngoại lệ: [Q1 − 1,5·IQR; Q3 + 1,5·IQR] = [33,75 − 21,375; 48 + 21,375] = [12,375; 69,375]. Giá trị 70 nằm ngoài khoảng này (70 > 69,375), còn mọi giá trị khác đều nằm trong khoảng. Vậy giá trị ngoại lệ là 70.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu A: $n=33$, $\sum x_i{n}_i=1+4+9+12+10+24+14+32+9+30+44+24+13+14=240$, nên $\overline{x_A}=240/33\approx 7,27$ → (a) đúng. $\sum x_i^2{n}_i=2150$ nên $s_A^2=2150/33-(240/33{)}^2\approx 65,15-52,90=12,25$, $s_A\approx 3,50\ne 2,5$ → (c) sai. Mẫu B: $n=33$, $\sum x_i{n}_i=269$, $\overline{x_B}\approx 8,15$; $\sum x_i^2{n}_i=2407$ nên $s_B^2=2407/33-(269/33{)}^2\approx 72,94-66,45=6,49\ne 6,21$ → (b) sai. Vì $s_A^2\approx 12,25>s_B^2\approx 6,49$ nên mẫu A có độ phân tán cao hơn mẫu B → (d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=33$, $\sum x_i{n}_i=240$, $\overline{x_A}=240/33\approx 7,27$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s_B^2=2407/33-(269/33{)}^2\approx 6,49$, không phải 6,21.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s_A^2=2150/33-(240/33{)}^2\approx 12,25$ nên $s_A\approx 3,50\ne 2,5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s_A^2\approx 12,25>s_B^2\approx 6,49$ nên mẫu A phân tán cao hơn mẫu B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=20$): $0;50;70;100;130;140;140;150;160;180;180;180;190;200;200;210;210;220;290;340$.

Tính tứ phân vị:
- $Q_1$ là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: $Q_1=\frac{130+140}{2}=135$.
- $Q_3$ là trung bình cộng của giá trị thứ 15 và thứ 16: $Q_3=\frac{200+210}{2}=205$.
- Khoảng tứ phân vị: $IQR=Q_3-Q_1=205-135=70$.

Giới hạn phát hiện giá trị bất thường:
- Dưới: $Q_1-1,5\cdot IQR=135-105=30$.
- Trên: $Q_3+1,5\cdot IQR=205+105=310$.

So sánh với dữ liệu: giá trị $0<30$ và giá trị $340>310$ là bất thường; các giá trị còn lại đều nằm trong khoảng $[30;310]$.

Vậy mẫu số liệu có 2 giá trị bất thường: $0$ và $340$.