Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=45-20=25$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tổng: $n=13+45+24+12+6=100$. Các giá trị đại diện: $x_1=19,25;x_2=19,75;x_3=20,25;x_4=20,75;x_5=21,25$.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015$.

Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=13\cdot 370,5625+45\cdot 390,0625+24\cdot 410,0625+12\cdot 430,5625+6\cdot 451,5625=40087,75$.

Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm: $s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,277275}\approx 0,5266\approx 0,53$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=18+20+13+1+16+16=84$, nên $\frac{n}{4}=21$ và $\frac{3n}{4}=63$.

Tứ phân vị thứ nhất: nhóm chứa vị trí thứ 21 là $[4;7)$ (vì tần số tích lũy đến $[1;4)$ là 18, đến $[4;7)$ là 38). Theo công thức tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
$$Q_1=4+\frac{21-18}{20}\cdot (7-4)=4+\frac{9}{20}=4,45.$$

Tứ phân vị thứ ba: nhóm chứa vị trí thứ 63 là $[13;16)$ (tần số tích lũy đến $[10;13)$ là 52, đến $[13;16)$ là 68):
$$Q_3=13+\frac{63-52}{16}\cdot (16-13)=13+\frac{33}{16}=15,0625.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=15,0625-4,45=10,6125\approx 10,6.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=65-40=25$ (cm). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các lớp: 20, 22, 24, 26, 28 với tần số 5, 9, 10, 7, 4. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 20+9\cdot 22+10\cdot 24+7\cdot 26+4\cdot 28}{35}=\frac{832}{35}\approx 23,7714$. Tính $\sum n_i{x}_i^2=5\cdot 400+9\cdot 484+10\cdot 576+7\cdot 676+4\cdot 784=19984$. Phương sai: $s^2=\frac{19984}{35}-{\left(\frac{832}{35}\right)}^2\approx 570,9714-565,0816\approx 5,89$.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy đại diện mỗi nhóm là giá trị giữa: 1, 3, 5, 7, 9 với tần số tương ứng 3, 2, 10, 14, 7 (n = 36).

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{3\cdot 1+2\cdot 3+10\cdot 5+14\cdot 7+7\cdot 9}{36}=\frac{220}{36}=\frac{55}{9}\approx 6,1111$$

Tổng bình phương: $3\cdot 1^2+2\cdot 3^2+10\cdot 5^2+14\cdot 7^2+7\cdot 9^2=3+18+250+686+567=1524$.

Phương sai mẫu:
$$s^2=\frac{1524}{36}-{\left(\frac{55}{9}\right)}^2=\frac{1524}{36}-\frac{3025}{81}=\frac{404}{81}\approx 4,9877$$

Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{\frac{404}{81}}\approx 2,2333\approx 2,23$$

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5 với n = 40. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 152,5+10\cdot 157,5+14\cdot 162,5+5\cdot 167,5+5\cdot 172,5}{40}=\frac{6465}{40}=161,625$. Phương sai: $s^2=\frac{6(152,5-161,625{)}^2+10(157,5-161,625{)}^2+14(162,5-161,625{)}^2+5(167,5-161,625{)}^2+5(172,5-161,625{)}^2}{40}=\frac{1444,375}{40}\approx 36,109$. Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{36,109}\approx 6,009$, thuộc khoảng $(6;6,5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 72, 75, 78, 81, 84 với tần số 1, 1, 2, 6, 2 (n = 12). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{72+75+78\cdot 2+81\cdot 6+84\cdot 2}{12}=\frac{957}{12}=79,75$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{12}\left[1\cdot (72-79,75{)}^2+1\cdot (75-79,75{)}^2+2\cdot (78-79,75{)}^2+6\cdot (81-79,75{)}^2+2\cdot (84-79,75{)}^2\right]=\frac{60,0625+22,5625+6,125+9,375+36,125}{12}=\frac{134,25}{12}=11,1875$. Vậy chọn D. (Lưu ý 134,25 là tổng bình phương độ lệch chưa chia cho n, nên A là bẫy.)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$. a) Khoảng biến thiên $=30-0=30$, không phải 25 → sai. b) $Q_3$ ở vị trí $0.75\cdot 30=22.5$; tích lũy: 2, 8, 16, 25 → nhóm thứ tư $[15;20)$ chứa $Q_3$ → đúng. c) Số trung bình $\bar{x}=(2\cdot 2.5+6\cdot 7.5+8\cdot 12.5+9\cdot 17.5+3\cdot 22.5+2\cdot 27.5)/30=430/30\approx 14.33\ne 10$ → sai. d) $Q_1$ ở vị trí 7.5 thuộc nhóm $[5;10)$: $Q_1=5+(7.5-2)/6\cdot 5\approx 9.583$; $Q_3=15+(22.5-16)/9\cdot 5\approx 18.611$; khoảng tứ phân vị $\Delta Q\approx 9.03<10$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=30-0=30\ne 25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí $Q_3=0.75\cdot 30=22.5$, tích lũy đến nhóm $[15;20)$ là $25>22.5$ nên $Q_3$ thuộc $[15;20)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=430/30\approx 14.33\ne 10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1\approx 9.583$, $Q_3\approx 18.611$, $\Delta Q\approx 9.03<10$.

(AI giải đề cho tôi)
a) R = 9,4 − 8,4 = 1 m → đúng.
b) Tần số cộng dồn: 5; 17; 42; 86; 100. Vị trí 3n/4 = 75 thuộc nhóm [9,0;9,2): Q3 = 9,0 + (75−42)/44·0,2 = 9,15 → đúng.
c) Q1: vị trí n/4 = 25 thuộc nhóm [8,8;9,0): Q1 = 8,8 + (25−17)/25·0,2 = 8,864. ΔQ = 9,15 − 8,864 = 0,286 → đúng.
d) Giới hạn ngoại lệ: [Q1 − 1,5ΔQ; Q3 + 1,5ΔQ] = [8,864 − 0,429; 9,15 + 0,429] = [8,435; 9,579]. Vì 8,4 < 8,435 nên cây cao 8,4 m là giá trị ngoại lệ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 9,4 − 8,4 = 1 m → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tần số cộng dồn: 5; 17; 42; 86; 100. Vị trí 75 thuộc nhóm [9,0;9,2): Q3 = 9,0 + (75−42)/44·0,2 = 9,15 → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 8,8 + (25−17)/25·0,2 = 8,864; ΔQ = 9,15 − 8,864 = 0,286 → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn ngoại lệ: [8,435; 9,579]. Vì 8,4 < 8,435 nên cây cao 8,4 m là giá trị ngoại lệ → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 121, 123, 125, 127, 129 (n = 50).

Cổ phiếu A: số trung bình ${\bar{x}}_A=\frac{8\cdot 121+9\cdot 123+12\cdot 125+10\cdot 127+11\cdot 129}{50}=\frac{6264}{50}=125,28$.
Phương sai: $s_A^2=\frac{8\cdot 121^2+9\cdot 123^2+12\cdot 125^2+10\cdot 127^2+11\cdot 129^2}{50}-125,28^2=15702,6-15700,0784=2,5216$. Vậy ý a) sai (7,5216 không đúng).

Cổ phiếu B: ${\bar{x}}_B=\frac{16\cdot 121+4\cdot 123+3\cdot 125+6\cdot 127+21\cdot 129}{50}=\frac{6274}{50}=125,48$. Vậy ý b) sai (115,28 không đúng).

Phương sai B: $s_B^2=\frac{16\cdot 121^2+4\cdot 123^2+3\cdot 125^2+6\cdot 127^2+21\cdot 129^2}{50}-125,48^2=15757,64-15745,2304=12,4096$, độ lệch chuẩn $s_B=\sqrt{12,4096}\approx 3,523$. Vậy ý c) sai (2,743 không đúng).

Ý d): Vì $s_A^2=2,5216<s_B^2=12,4096$ (và $s_A\approx 1,588<s_B\approx 3,523$), cổ phiếu A có độ phân tán (độ rủi ro) thấp hơn cổ phiếu B → đúng.
a) Phương sai của cổ phiếu A là $s_A^2=2,5216$, không phải 7,5216.
b) Số trung bình của cổ phiếu B là ${\bar{x}}_B=125,48$, không phải 115,28.
c) Độ lệch chuẩn của cổ phiếu B là $s_B=\sqrt{12,4096}\approx 3,523$, không phải 2,743.
d) Vì $s_A^2=2,5216<s_B^2=12,4096$ nên cổ phiếu A có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 8+16+4+2+2 = 32. Giá trị đại diện các nhóm: 2,5; 7,5; 12,5; 17,5; 22,5.
a) Giá trị đại diện nhóm [5;10) là (5+10)/2 = 7,5, không phải 5 → sai.
b) x̄ = (8·2,5 + 16·7,5 + 4·12,5 + 2·17,5 + 2·22,5)/32 = 270/32 = 8,4375 giờ → đúng.
c) Σnᵢxᵢ² = 8·6,25 + 16·56,25 + 4·156,25 + 2·306,25 + 2·506,25 = 50 + 900 + 625 + 612,5 + 1012,5 = 3200. V = 3200/32 − 8,4375² = 100 − 71,19140625 = 28,80859375 ≈ 28,81 → đúng.
d) s = √28,80859375 ≈ 5,37 > 5 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện nhóm [5;10) là (5+10)/2 = 7,5, không phải 5.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = (8·2,5 + 16·7,5 + 4·12,5 + 2·17,5 + 2·22,5)/32 = 270/32 = 8,4375 giờ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Σnᵢxᵢ² = 3200 nên V = 3200/32 − 8,4375² = 100 − 71,19140625 ≈ 28,81.
d) (AI giải đề cho tôi)
s = √28,80859375 ≈ 5,37 > 5.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số trung bình mẫu ghép nhóm (dùng giá trị đại diện nhóm):
Bảng 1 (Hùng): ${\bar{x}}_1=\frac{22,5\cdot 2+27,5\cdot 16+32,5\cdot 20+37,5\cdot 2}{40}=\frac{1210}{40}=30,25$ cm.
Bảng 2 (Vương): ${\bar{x}}_2=\frac{22,5\cdot 5+27,5\cdot 9+32,5\cdot 25+37,5\cdot 1}{40}=\frac{1210}{40}=30,25$ cm.
Hai số trung bình bằng nhau nên ý a) SAI.
b) Khoảng biến thiên $R=40-20=20$ với cả hai mẫu → ý b) ĐÚNG.
c) Bảng 1: $Q_1$ thuộc nhóm $[25;30)$: $Q_1=25+\frac{10-2}{16}\cdot 5=27,5$; $Q_3$ thuộc nhóm $[30;35)$: $Q_3=30+\frac{30-18}{20}\cdot 5=33$; $\Delta Q=33-27,5=5,5$ → ý c) ĐÚNG.
d) Phương sai mẫu Hùng: $s_1^2=\frac{2(22,5-30,25{)}^2+16(27,5-30,25{)}^2+20(32,5-30,25{)}^2+2(37,5-30,25{)}^2}{40}=\frac{447,5}{40}=11,1875$.
Phương sai mẫu Vương: $s_2^2=\frac{5(60,0625)+9(7,5625)+25(5,0625)+1(52,5625)}{40}=\frac{547,5}{40}=13,6875$.
Vì $13,6875>11,1875$, cây của Vương phân tán hơn (không đồng đều hơn) cây của Hùng → ý d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu đều có số trung bình $\bar{x}=30,25$ cm nên chiều cao trung bình bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$R=40-20=20$ cho cả hai mẫu.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$Q_1=27,5$; $Q_3=33$ nên $\Delta Q=5,5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Phương sai mẫu Vương $13,6875$ lớn hơn phương sai mẫu Hùng $11,1875$ nên cây của Vương phân tán hơn, không đồng đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $12,5;17,5;22,5;27,5;32,5;37,5$ với tần số tương ứng $15;18;10;10;5;2$.

Tổng tần số: $n=15+18+10+10+5+2=60$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{15\cdot 12,5+18\cdot 17,5+10\cdot 22,5+10\cdot 27,5+5\cdot 32,5+2\cdot 37,5}{60}=\frac{187,5+315+225+275+162,5+75}{60}=\frac{1240}{60}\approx 20,667.$$

Tổng $\sum n_i{x}_i^2$:
$$15\cdot 156,25+18\cdot 306,25+10\cdot 506,25+10\cdot 756,25+5\cdot 1056,25+2\cdot 1406,25=2343,75+5512,5+5062,5+7562,5+5281,25+2812,5=28575.$$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm (chia cho $n$):
$$s^2=\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{28575}{60}-(20,667{)}^2\approx 476,25-427,11\approx 49,14.$$

Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{49,14}\approx 7,01\text{ (triệu đoˆˋng)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
n=30. Vị trí Q1: 0,75·30=7,5 thuộc nhóm [80;90) (tần số tích lũy 3, 9). Q1 = 80 + (7,5−3)/6 · 10 = 87,5. Vị trí Q3: 22,5 thuộc nhóm [100;110) (tần số tích lũy 3, 9, 21, 27). Q3 = 100 + (22,5−21)/6 · 10 = 102,5. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 = 102,5 − 87,5 = 15 (gam).

(AI giải đề cho tôi)
Tính trung bình: $\bar{x}=\frac{500\cdot 5+1500\cdot 46+2500\cdot 162+3500\cdot 25+4500\cdot 12}{250}=\frac{618000}{250}=2472$ (giờ). Phương sai: $s^2=\frac{5(500-2472{)}^2+46(1500-2472{)}^2+162(2500-2472{)}^2+25(3500-2472{)}^2+12(4500-2472{)}^2}{250}=\frac{138804000}{250}=555216$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{555216}\approx 745,13\approx 745$ (giờ). Vì $745>500$ nên lô hàng không đạt tiêu chuẩn, độ lệch chuẩn vượt tiêu chuẩn khoảng $745$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5,5\cdot 1+6,5\cdot 6+7,5\cdot 12+8,5\cdot 8+9,5\cdot 5}{32}=\frac{250}{32}=7,8125$. Tổng bình phương: $5,5^2\cdot 1+6,5^2\cdot 6+7,5^2\cdot 12+8,5^2\cdot 8+9,5^2\cdot 5=30,25+253,5+675+578+451,25=1988$. Phương sai: $s^2=\frac{1988}{32}-7,8125^2=62,125-61,03515625=1,08984375\approx 1,1$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Mẫu số liệu ghép nhóm, $n=100$, các nhóm có độ dài bằng nhau $d=20$.

a) Khoảng biến thiên: $R=100-0=100$.

Tìm $Q_1$: vì $n/4=25$ và $6<25\le 38$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[20;40)$ ($x_1=20$, $n_1=6$, $n_2=32$):
$$Q_1=20+\frac{25-6}{32}\cdot 20=20+11,875=31,875\approx 32.$$

Tìm $Q_3$: vì $3n/4=75$ và $38<75\le 88$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[40;60)$ ($x_3=40$, $n_3=50$, $CF=38$):
$$Q_3=40+\frac{75-38}{50}\cdot 20=40+14,8=54,8\approx 55.$$

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=54,8-31,875=22,925\approx 23$.

b) Nên dùng khoảng tứ phân vị. Vì mẫu số liệu có giá trị đặc biệt nhỏ (nhóm $[0;20)$ chỉ có 6 người) và giá trị đặc biệt lớn (nhóm $[80;100)$ chỉ có 2 người); khoảng biến thiên $R=100$ bị ảnh hưởng bởi các giá trị này nên không phản ánh tốt mức độ phân tán. Khoảng tứ phân vị ($\approx 23$) không chịu ảnh hưởng của các giá trị ngoại lai nên cho đánh giá tin cậy hơn về mức độ biến thiên của phần lớn dữ liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của phương sai: $s=\sqrt{25}=5$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=19-14=5$. Vậy đáp án là C.