Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Cỡ mẫu $n=4+13+16+17=50$. Đúng.
b) Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $12-0=12\ne 9$. Sai.
c) $\frac{n}{4}=12,5$; tích lũy tiếp diễn: 4, 17, 33, 50 nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$: $Q_1=3+\frac{12,5-4}{13}\cdot 3\approx 4,96$. Đúng.
d) Giá trị đại diện: 1,5; 4,5; 7,5; 10,5. Số trung bình $\bar{x}=\frac{1,5\cdot 4+4,5\cdot 13+7,5\cdot 16+10,5\cdot 17}{50}=\frac{363}{50}=7,26$. Phương sai $s^2=\frac{2,25\cdot 4+20,25\cdot 13+56,25\cdot 16+110,25\cdot 17}{50}-7,26^2=60,93-52,7076=8,2224>8$. Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=4+13+16+17=50$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=12-0=12\ne 9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n}{4}=12,5$ nằm trong nhóm tích lũy $[3;6)$ (4 đến 17); $Q_1\approx 4,96$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=7,26$, $s^2=60,93-52,7076=8,2224>8$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=20-10=10$. Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $n=4+13+16+17=50$. b) Sai: khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $12-0=12$, không phải 9. c) Đúng: vị trí tứ phân vị thứ nhất là $\frac{n}{4}=12,5$; tích lũy đến nhóm $[0;3)$ là 4, đến nhóm $[3;6)$ là 17 nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$ (cụ thể $Q_1=3+\frac{12,5-4}{13}\cdot 3\approx 4,96$). d) Đúng: các giá trị đại diện $1,5;4,5;7,5;10,5$ cho số liệu $4;13;16;17$. Tần số tương đối $8\%,26\%,32\%,34\%$. Tính $\overline{x}=\frac{1,5\cdot 4+4,5\cdot 13+7,5\cdot 16+10,5\cdot 17}{50}=\frac{363}{50}=7,26$. Phương sai $s^2=\frac{2,25\cdot 4+20,25\cdot 13+56,25\cdot 16+110,25\cdot 17}{50}-7,26^2=60,93-52,7076\approx 8,22>8$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=4+13+16+17=50$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=12-0=12\ne 9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí $Q_1$ là $\frac{50}{4}=12,5$, nằm trong nhóm $[3;6)$ vì tích lũy $4<12,5\le 17$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=7,26$, $s^2\approx 8,22>8$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=25$, nhóm chứa giá trị thứ 25 là $[22;25)$ (cumulative trước đó là 10, tần số 27). Khi đó $Q_1=22+\frac{25-10}{27}\cdot 3=22+\frac{45}{27}\approx 23,67$. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=75$, nhóm chứa giá trị thứ 75 là $[28;31)$ (cumulative trước đó là 68, tần số 25). Khi đó $Q_3=28+\frac{75-68}{25}\cdot 3=28+\frac{21}{25}=28,84$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=28,84-\frac{167}{9}\approx 5,17$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 5,17.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu: $R=x_{\max }-x_{\min }=20-10=10$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $N=100$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1\cdot 9+1\cdot 10+3\cdot 11+5\cdot 12+8\cdot 13+13\cdot 14+19\cdot 15+24\cdot 16+14\cdot 17+10\cdot 18+2\cdot 19}{100}=\frac{1523}{100}=15,23$.
Tổng bình phương: $\sum f_i{x}_i^2=81+100+363+720+1352+2548+4275+6144+4046+3240+722=23591$, nên $\frac{1}{N}\sum f_i{x}_i^2=235,91$.
Phương sai: $s^2=235,91-(15,23{)}^2=235,91-231,9529=3,9571$.
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{3,9571}\approx 1,99$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với mẫu số liệu tháng 6/2021, các nhóm có tần số khác 0 là $[30;32)$, $[32;34)$, $[34;36)$, $[36;38)$, $[38;40]$. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu phải nhóm có tần số lớn nhất (cuối cùng) và đầu trái nhóm có tần số khác 0 đầu tiên: $R=40-30=10$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=300-150=150$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Dữ liệu ghép nhóm của lớp 12C có các nhóm $[0;2)$, $[2;4)$, $[4;6)$, $[6;8)$, $[8;10)$. Khoảng biến thiên $R=a_{m+1}-a_1=10-0=10$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (ghép nhóm hoặc không ghép nhóm) được định nghĩa là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do đó đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$. Tần số tích lũy: 5; 15; 20; 28; 30.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{30}{4}=7,5$ thuộc nhóm $[800;850)$:
$$Q_1=800+\frac{7,5-5}{10}\cdot 50=812,5.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 30}{4}=22,5$ thuộc nhóm $[900;950)$:
$$Q_3=900+\frac{22,5-20}{8}\cdot 50=915,625.$$

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=915,625-812,5=103,125$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=25+50+200+175+50=500$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{152\cdot 25+156\cdot 50+160\cdot 200+164\cdot 175+168\cdot 50}{500}=\frac{80700}{500}=161,4$. Phương sai: $s^2=\frac{25(152-161,4{)}^2+50(156-161,4{)}^2+200(160-161,4{)}^2+175(164-161,4{)}^2+50(168-161,4{)}^2}{500}=\frac{2209+1458+392+1183+2178}{500}=\frac{7420}{500}=14,84$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 7,3; 7,5; 7,7; 7,9 với tần số tương ứng 2, 4, 7, 6; n = 19. Số trung bình: x̄ = (2·7,3 + 4·7,5 + 7·7,7 + 6·7,9)/19 = 145,9/19 ≈ 7,6789. Tổng bình phương: Σnᵢxᵢ² = 2·53,29 + 4·56,25 + 7·59,29 + 6·62,41 = 1121,07. Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm: s² = (1/n)Σnᵢxᵢ² − x̄² = 1121,07/19 − (7,6789)² ≈ 59,0037 − 58,9663 ≈ 0,0374. Độ lệch chuẩn s ≈ √0,0374 ≈ 0,1933, gần nhất với 0,193. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=11,5;x_2=13,5;x_3=15,5;x_4=17,5;x_5=19,5$ với tần số $n_1=3,n_2=12,n_3=15,n_4=24,n_5=2$, nên $n=56$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{3\cdot 11,5+12\cdot 13,5+15\cdot 15,5+24\cdot 17,5+2\cdot 19,5}{56}=\frac{888}{56}\approx 15,857.$$

Tổng $n_i{x}_i^2=3\cdot 132,25+12\cdot 182,25+15\cdot 240,25+24\cdot 306,25+2\cdot 380,25=396,75+2187+3603,75+7350+760,5=14298$.

Phương sai:
$$s^2=\frac{14298}{56}-{\left(\frac{888}{56}\right)}^2\approx 255,321-251,449\approx 3,87.$$

Vậy $s^2\approx 3,87$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, tần số các nhóm: [5,5;5,7): 3; [5,7;5,9): 4; [5,9;6,1): 6; [6,1;6,3): 5; [6,3;6,5): 5; [6,5;6,7): 2.
a) Tổng số thửa ruộng: 3+4+6+5+5+2 = 25, không phải 24 → sai.
b) Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm: 6,7 − 5,5 = 1,2 (tấn/ha) → đúng.
c) n = 25. Vị trí Q1: 25/4 = 6,25 thuộc nhóm [5,7;5,9): Q1 = 5,7 + (6,25−3)/4 · 0,2 = 5,8625. Vị trí Q3: 3·25/4 = 18,75 thuộc nhóm [6,3;6,5): Q3 = 6,3 + (18,75−18)/5 · 0,2 = 6,33. Khoảng tứ phân vị = 6,33 − 5,8625 = 0,4675 → đúng.
d) Tần số tương ứng các giá trị đại diện 5,6; 5,8; 6,0; 6,2; 6,4; 6,6: mean = 152,2/25 = 6,088. Var = 928,76/25 − 6,088² = 37,1504 − 37,063744 = 0,086656 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số là 3+4+6+5+5+2 = 25, không phải 24.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 6,7 − 5,5 = 1,2 (tấn/ha).
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 5,7 + (6,25−3)/4·0,2 = 5,8625; Q3 = 6,3 + (18,75−18)/5·0,2 = 6,33; IQR = 0,4675.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mean = 6,088; Var = 928,76/25 − 6,088² = 0,086656.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng 1 (Dũng): ${\bar{x}}_1=\frac{3\cdot 6,34+7\cdot 6,58+5\cdot 6,82+20\cdot 7,06+5\cdot 7,30}{40}=\frac{276,88}{40}=6,922\approx 6,92$ m → a đúng. Phương sai bảng 1: $\frac{1}{40}\sum f_i{x}_i^2=\frac{1919,5456}{40}=47,98864$; $s_1^2=47,98864-6,922^2\approx 0,0746$, $s_1\approx 0,27$ m ≠ 0,26 → b sai. Bảng 2 (Huy): ${\bar{x}}_2=\frac{278,08}{40}=6,952$; $\frac{1}{40}\sum f_i{x}_i^2=\frac{1935,7408}{40}=48,39352$; $s_2^2=48,39352-6,952^2\approx 0,0632\approx 0,06$ ≠ 0,16 → c sai. Vì $s_1^2\approx 0,07>s_2^2\approx 0,06$, Huy đồng đều hơn Dũng → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $f_i{x}_i=276,88$, số trung bình $=6,922\approx 6,92$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s^2\approx 0,0746$ nên $s\approx 0,27$ m, không phải 0,26 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=6,952$, $s^2\approx 0,0632\approx 0,06$, không phải 0,16.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai của Dũng ($\approx 0,0746$) lớn hơn của Huy ($\approx 0,0632$), nên Huy đồng đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 48: n = 5+10+9+4+2 = 30 ngày.
a) Khoảng biến thiên = 300 − 50 = 250 (km) → đúng.
b) Tứ phân vị: n/4 = 7,5 thuộc nhóm [100;150): Q1 = 100 + (7,5−5)/10·50 = 112,5. 3n/4 = 22,5 thuộc nhóm [150;200): Q3 = 150 + (22,5−15)/9·50 = 150 + 375/9 ≈ 191,67. IQR ≈ 191,67 − 112,5 = 79,17 → đúng.
c) Giá trị đại diện: 75, 125, 175, 225, 275. Trung bình = (5·75 + 10·125 + 9·175 + 4·225 + 2·275)/30 = 4650/30 = 155 ≠ 145 → sai.
d) Σf·x² = 5·75² + 10·125² + 9·175² + 4·225² + 2·275² = 813750; 813750/30 = 27125; phương sai = 27125 − 155² = 27125 − 24025 = 3100; độ lệch chuẩn = √3100 ≈ 55,68 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 − 50 = 250 (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 112,5; Q3 ≈ 191,67; IQR ≈ 79,17.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình = 4650/30 = 155, không phải 145.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai = 3100, độ lệch chuẩn ≈ 55,68.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+8=38$. Tần số tích lũy: 3; 15; 30; 38.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=9,5$, giá trị này thuộc nhóm $[5;10)$ nên
$$Q_1=5+\frac{9,5-3}{12}\cdot 5=5+\frac{32,5}{12}\approx 7,7083.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=28,5$, giá trị này thuộc nhóm $[10;15)$ (vì tần số tích lũy trước nhóm là 15) nên
$$Q_3=10+\frac{28,5-15}{15}\cdot 5=10+4,5=14,5.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1=14,5-7,7083\approx 6,79.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng có tần số khác 0 và đầu mút trái của nhóm đầu tiên. Nhóm đầu tiên là $[50;55)$ nên giá trị nhỏ nhất xấp xỉ $50$; nhóm cuối có tần số khác $0$ là $[80;85)$ (nhóm $[85;90)$ có tần số $0$) nên giá trị lớn nhất xấp xỉ $85$. Vậy khoảng biến thiên $R=85-50=35$ (tuổi).

(AI giải đề cho tôi)
Cộng dồn tần số: 5, 17, 42, 86, 100 (n=100). Q1 ứng với vị trí 25: nằm trong nhóm [8,8; 9,0): $Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864\approx 8,86$. Q3 ứng với vị trí 75: nằm trong nhóm [9,0; 9,2): $Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,15$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,15-8,86=0,29$ (m).