Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số người n=125. a) Khoảng biến thiên = 12−2 = 10 → Đúng. b) n/4 = 31,25 nằm trong nhóm [2;4) (tần số 45): Q1 = 2 + (31,25/45)·2 = 2 + 25/18 = 61/18 → Đúng. c) Tần số nhóm đại diện 3;5;7;9;11: trung bình = (3·45+5·34+7·23+9·18+11·5)/125 = 683/125 = 5,464; s² = 4445/125 − (683/125)² ≈ 5,7047 ≈ 5,7 → Đúng. d) 3n/4 = 93,75 nằm trong nhóm [6;8): Q3 = 6 + ((93,75−79)/23)·2 = 335/46; IQR = 335/46 − 61/18 = 806/207 ≈ 3,89 ≠ 860/207 → Sai. Khớp đáp án chính thức: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 12 − 2 = 10.
b) (AI giải đề cho tôi)
n/4 = 31,25 thuộc nhóm [2;4): Q1 = 2 + (31,25/45)·2 = 61/18.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình 683/125 ≈ 5,464; phương sai ≈ 5,7047 ≈ 5,7.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q3 = 335/46, IQR = 335/46 − 61/18 = 806/207 ≈ 3,89 ≠ 860/207.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=15+18+10+10+5+2=60$. Tần số tích lũy lần lượt: 15, 33, 43, 53, 58, 60.
Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=15$, nhóm chứa $Q_1$ là $[15;20)$ nên $Q_1=15+\frac{15-15}{18}\cdot 5=15$.
Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=45$, nhóm chứa $Q_3$ là $[25;30)$ nên $Q_3=25+\frac{45-43}{10}\cdot 5=26$.
Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=26-15=11$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Phần III câu 1 = 11).

Ta có $n=2+4+7+4+3=20$; $\frac{n}{4}=5$; $\frac{3n}{4}=15$. Do đó $Q_1\in [4;8),Q_3\in [12;16)$ (0,25 điểm)

Do đó tính được $Q_1=4+\frac{5-2}{4}.4=4+3=7$; $Q_3=12+\frac{\frac{3.20}{4}-13}{4}.4=14$ (0,5 điểm)

Khoảng tứ phân vị là: $\Delta Q=Q_3-Q_1=14-7=7$ (phút) (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=250-0=250$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án trong nguồn (mã đề 0102, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=24+57+42+29+8=160$.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=38-23=15\ne 35$ → Sai.

b) $\frac{n}{4}=40$. Tần số tích lũy: 24; 81; 123; 152; 160. Nhóm chứa $Q_1$ là $[26;29)$: $Q_1=26+\frac{40-24}{57}\cdot 3=26+\frac{16}{19}=\frac{510}{19}\approx 26,84\ne \frac{501}{19}$ → Sai.

c) $\frac{3n}{4}=120$, nhóm chứa $Q_3$ là $[29;32)$: $Q_3=29+\frac{120-81}{42}\cdot 3=29+\frac{39}{14}=\frac{445}{14}\approx 31,79$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=\frac{445}{14}-\frac{510}{19}=\frac{8455-7140}{266}=\frac{1315}{266}$ → Đúng.

d) Tần số góc: $24,5;27,5;30,5;33,5;36,5$. Tính được $\bar{x}=\frac{4700}{160}=29,375$ và $\sum f_i{x}_i^2=24\cdot 24,5^2+57\cdot 27,5^2+42\cdot 30,5^2+29\cdot 33,5^2+8\cdot 36,5^2=139786$, nên $S^2=\frac{139786}{160}-29,375^2\approx 10,8\ne 23,5$ → Sai.

Khớp với đáp án chính thức (mã đề 0101, Phần II Câu 2: S S Đ S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=38-23=15\ne 35$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$Q_1=26+\frac{40-24}{57}\cdot 3=\frac{510}{19}\approx 26,84\ne \frac{501}{19}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$Q_3=29+\frac{120-81}{42}\cdot 3=\frac{445}{14}$, nên $\Delta Q=\frac{445}{14}-\frac{510}{19}=\frac{1315}{266}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=29,375$, với $\sum f_i{x}_i^2=139786$ ta được $S^2=\frac{139786}{160}-29,375^2\approx 10,8\ne 23,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 3+5+3+6+3 = 20. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí 0,25n = 5, nằm trong lớp [225;300) (cumulative trước đó là 3, tần số 5): Q1 = 225 + 75·(5−3)/5 = 255. Tứ phân vị thứ ba: vị trí 0,75n = 15, nằm trong lớp [375;450) (cumulative trước đó là 11, tần số 6): Q3 = 375 + 75·(15−11)/6 = 425. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 = 425 − 255 = 170, khớp với đáp án nguồn.

Ta có $n=5+9+12+10+6=42$ ; $\frac{n}{4}=10,5$ ; $\frac{3n}{4}=31,5$ . Do đó $Q_1\in [20;40),Q_3\in [60;80)$ (0,25 điểm)

Do đó tính được $Q_1=20+\frac{10,5-5}{9}\cdot 20=\frac{290}{9}$ ; $Q_3=60+\frac{31,5-26}{10}\cdot 20=71$ (0,5 điểm)

Khoảng tứ phân vị là: $\Delta Q=Q_3-Q_1=\frac{349}{9}$ (phút) (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=30-10=20$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=x_M-x_m=90-80=10$ (gam). Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Giá trị đại diện mỗi nhóm là trung bình cộng hai đầu mút: 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5, tần số giữ nguyên như bảng → ĐÚNG.

b) Trường A: n = 18. Q1 ở vị trí 0,25·18 = 4,5 thuộc nhóm [6;7): Q1 = 6 + (4,5 − 4)/5 = 6,1. Q3 ở vị trí 0,75·18 = 13,5 thuộc nhóm [8;9) (tần số tích lũy 4, 9, 12, 16): Q3 = 8 + (13,5 − 12)/4 = 8,375. Vậy Δq = 8,375 − 6,1 = 2,275 → ĐÚNG.

c) Trường B: n = 15. Q1 ở vị trí 3,75 thuộc nhóm [6;7): Q1 = 6 + (3,75 − 2)/5 = 6,35. Q3 ở vị trí 11,25 thuộc nhóm [8;9) (tần số tích lũy 2, 7, 11, 14): Q3 = 8 + (11,25 − 11)/3 ≈ 8,083. Δq_B ≈ 1,733 < 2,275 = Δq_A, nên theo khoảng tứ phân vị trường B đồng đều hơn → ĐÚNG.

d) Trường A: mean = 130/18 ≈ 7,222; s² = 970,5/18 − (130/18)² ≈ 1,756, s_A ≈ 1,325. Trường B: mean = 108,5/15 ≈ 7,233; s² = 803,75/15 − (108,5/15)² ≈ 1,263, s_B ≈ 1,124. Vì s_A > s_B nên theo độ lệch chuẩn trường B đồng đều hơn, không phải trường A → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện là trung bình cộng hai đầu mút mỗi nhóm: 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5, tần số như bảng đã cho.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 6 + (4,5−4)/5 = 6,1; Q3 = 8 + (13,5−12)/4 = 8,375; Δq = 2,275.
c) (AI giải đề cho tôi)
Δq_B ≈ 8,083 − 6,35 = 1,733 < 2,275 nên B đồng đều hơn A theo khoảng tứ phân vị.
d) (AI giải đề cho tôi)
s_A ≈ 1,325 > s_B ≈ 1,124 nên theo độ lệch chuẩn trường B đồng đều hơn trường A.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=10,15;x_2=10,45;x_3=10,75;x_4=11,05$ với tần số $2;10;5;3$ ($n=20$).
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2(10,15)+10(10,45)+5(10,75)+3(11,05)}{20}=\frac{211,7}{20}=10,585$.
Phương sai: $s^2=\frac{2(10,15-10,585{)}^2+10(10,45-10,585{)}^2+5(10,75-10,585{)}^2+3(11,05-10,585{)}^2}{20}=\frac{1,3455}{20}=0,067275$.
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,067275}\approx 0,2594\approx 0,26$ (giây).

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 45; 47; 49; 51; 53; 55 với tần số 3; 3; 10; 15; 7; 2 (n=40). Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{3\cdot 45+3\cdot 47+10\cdot 49+15\cdot 51+7\cdot 53+2\cdot 55}{40}=\frac{2012}{40}=50,3$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=3\cdot 45^2+3\cdot 47^2+10\cdot 49^2+15\cdot 51^2+7\cdot 53^2+2\cdot 55^2=101440$, nên $\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2=2536$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{n}{n-1}\left(2536-50,3^2\right)=\frac{40}{39}\cdot 5,91\approx 6,0615$, độ lệch chuẩn $s\approx 2,46$. Tuy nhiên theo cách tính quen thuộc trong SGK (độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm với mẫu lớn, dùng $\sqrt{\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2}$): $\sqrt{5,91}\approx 2,43$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính theo giá trị đại diện các nhóm: 15,5; 18,5; 21,5; 24,5; 27,5; 30,5.

Tỉnh A (tần số 1,2,1,4,2,2): $\overline{x_A}=\frac{15,5+2\cdot 18,5+21,5+4\cdot 24,5+2\cdot 27,5+2\cdot 30,5}{12}=\frac{288}{12}=24$. $s_A^2=\frac{1}{12}\left[1\cdot (-8,5{)}^2+2\cdot (-5,5{)}^2+1\cdot (-2,5{)}^2+4\cdot 0,5^2+2\cdot 3,5^2+2\cdot 6,5^2\right]=\frac{249}{12}=20,75$, nên $s_A\approx 4,56$.

Tỉnh B (tần số 1,2,1,3,2,3): $\overline{x_B}=\frac{294}{12}=24,5$ (đúng như ý d). $s_B^2=\frac{1}{12}\left[81+2\cdot 36+9+0+2\cdot 9+3\cdot 36\right]=\frac{288}{12}=24$, nên $s_B=\sqrt{24}\approx 4,9$ (đúng như ý a).

Vì $s_A\approx 4,56<s_B\approx 4,9$ nên tỉnh A đồng đều hơn tỉnh B (ý c đúng). Ý b sai vì $s_A^2=20,75\ne 21,75$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $\overline{x_B}=24,5$, $s_B^2=\frac{288}{12}=24$ nên $s_B=\sqrt{24}\approx 4,9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $\overline{x_A}=24$, $s_A^2=\frac{249}{12}=20,75\ne 21,75$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $s_A\approx 4,56<s_B\approx 4,9$ nên nhiệt độ tỉnh A đồng đều hơn tỉnh B.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x_B}=\frac{15,5+2\cdot 18,5+21,5+3\cdot 24,5+2\cdot 27,5+3\cdot 30,5}{12}=\frac{294}{12}=24,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=x_{max}-x_{min}=26-18=8$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $n=4+13+16+17=50$. b) Sai: khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $12-0=12$, không phải 9. c) Đúng: $\frac{n}{4}=12,5$; tích lũy tiếp $4,17$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$, cụ thể $Q_1=3+\frac{12,5-4}{13}\cdot 3\approx 4,96$. d) Đúng: giá trị đại diện $1,5;4,5;7,5;10,5$ cho mean $\bar{x}=\frac{6+58,5+120+178,5}{50}=7,26$; phương sai $s^2=\frac{3046,5}{50}-7,26^2\approx 8,22>8$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=4+13+16+17=50$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=12-0=12\ne 9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n}{4}=12,5$ nằm giữa tích lũy 4 và 17 nên $Q_1\in [3;6)$, $Q_1\approx 4,96$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=7,26$, $s^2\approx 8,22>8$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các nhóm: $R=x_{\max }-x_{\min }=20-10=10$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tần số tích lũy: 10, 37, 68, 93, 100. Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1$ thuộc nhóm $[22;25)$: $Q_1=22+\frac{25-10}{27}\cdot 3=22+\frac{45}{27}\approx 23,67$. Tứ phân vị thứ ba: $Q_3$ thuộc nhóm $[28;31)$: $Q_3=28+\frac{75-68}{25}\cdot 3=28+\frac{21}{25}=28,84$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 28,84-23,67=5,17$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $n=4+13+16+17=50$. b) Sai: khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $R=12-0=12\ne 9$. c) Đúng: $\frac{n}{4}=12,5$; tần số tích luỹ đến nhóm $[0;3)$ là $4<12,5$, đến nhóm $[3;6)$ là $17\ge 12,5$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$ (cụ thể $Q_1=3+\frac{12,5-4}{13}\cdot 3\approx 4,96$). d) Đúng: giá trị đại diện các nhóm là $1,5;4,5;7,5;10,5$, số trung bình $\bar{x}=\frac{4\cdot 1,5+13\cdot 4,5+16\cdot 7,5+17\cdot 10,5}{50}=7,26$; phương sai $s^2=\frac{4(1,5-7,26{)}^2+13(4,5-7,26{)}^2+16(7,5-7,26{)}^2+17(10,5-7,26{)}^2}{50}=\frac{411,12}{50}\approx 8,22>8$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=4+13+16+17=50$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=12-0=12\ne 9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n}{4}=12,5$ nằm giữa tần số tích luỹ $4$ và $17$, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=7,26$, $s^2\approx 8,22>8$.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 10; 37; 68; 93; 100 (n=100). Q1 ứng với vị trí thứ 25, nằm trong nhóm [22;25): Q1 = 22 + 3·(25−10)/27 = 22 + 15/27 ≈ 23,67. Q3 ứng với vị trí thứ 75, nằm trong nhóm [28;31): Q3 = 28 + 3·(75−68)/25 = 28 + 0,84 = 28,84. Khoảng tứ phân vị IQR = Q3 − Q1 ≈ 28,84 − 23,67 = 5,17, khớp với đáp án nguồn 5,17.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=20-10=10$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn.