Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có n=30, các giá trị đại diện 75, 125, 175, 225, 275 với tần số 5, 10, 9, 4, 2.
a) Khoảng biến thiên = 300 - 50 = 250 (km) → Đúng.
b) Số trung bình $\bar{x}=\frac{75\cdot 5+125\cdot 10+175\cdot 9+225\cdot 4+275\cdot 2}{30}=\frac{4650}{30}=155\ne 145$ → Sai.
c) $\frac{n}{4}=7,5$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[100;150)$: $Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}\cdot 50=112,5$. $\frac{3n}{4}=22,5$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[150;200)$: $Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}\cdot 50\approx 191,67$. Khoảng tứ phân vị $\approx 191,67-112,5=79,17$ → Đúng.
d) $s^2=\frac{5(75-155{)}^2+10(125-155{)}^2+9(175-155{)}^2+4(225-155{)}^2+2(275-155{)}^2}{30}=\frac{93000}{30}=3100$, nên $s=\sqrt{3100}\approx 55,68$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 - 50 = 250 (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình là 155, không phải 145.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 112,5; Q3 ≈ 191,67 nên IQR ≈ 79,17.
d) (AI giải đề cho tôi)
s² = 3100 nên s ≈ 55,68.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+6+8+7=24$. Tần số tích lũy: 3, 9, 17, 24.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=6$ thuộc nhóm $[8;10)$:
$$Q_1=8+\frac{6-3}{6}\cdot 2=8+1=9.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=18$ thuộc nhóm $[12;14)$:
$$Q_3=12+\frac{18-17}{7}\cdot 2=12+\frac{2}{7}\approx 12,3.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 12,3-9=3,3.$$

Kết quả khớp với đáp án 3,3 ở trang đáp án (bảng đáp án câu 1: 3,3).

(AI giải đề cho tôi)
Số liệu ghép nhóm, dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=1.5,x_2=2.5,x_3=3.5,x_4=4.5,x_5=5.5$ với tần số $n_1=8,n_2=10,n_3=12,n_4=9,n_5=3$, tổng $n=42$.

Tần số tích lũy: $\sum n_i{x}_i=8(1.5)+10(2.5)+12(3.5)+9(4.5)+3(5.5)=12+25+42+40.5+16.5=136$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{136}{42}\approx 3.2381$.

$\sum n_i{x}_i^2=8(2.25)+10(6.25)+12(12.25)+9(20.25)+3(30.25)=18+62.5+147+182.25+90.75=500.5$.

Phương sai mẫu: $s^2=\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{500.5}{42}-{\left(\frac{136}{42}\right)}^2\approx 11.9167-10.4853=1.4314$.

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $\approx 1.43$.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$, $x_5=4,05$ với tần số $n_1=3$, $n_2=6$, $n_3=5$, $n_4=4$, $n_5=2$, $n=20$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.

Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm:
$$s^2=\frac{1}{20}\sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2}{20}$$
$$=\frac{0,8748+0,3456+0,018+0,5184+0,8712}{20}=\frac{2,628}{20}=0,1314.$$

Kết quả trùng với đáp án D đã cho trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=4,2-2,7=1,5$ (km). Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 132, câu 7: D).

a) Đúng. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Quyết là $$\overline{x}=\frac{22,5\times 2+27,5\times 16+32,5\times 20+37,5\times 2}{2+16+20+2}=30,25$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Quyết là $$s^2=\frac{1}{40}\left(22,5^2\times 2+27,5^2\times 16+32,5^2\times 20+37,5^2\times 2\right)-30,25^2=\frac{179}{16}$$ Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Quyết là $s=\sqrt{s^2}=\frac{\sqrt{179}}{4}\approx 3,34>3$.

b) Sai. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Thắng là $$\overline{x}=\frac{22,5\times 5+27,5\times 9+32,5\times 25+37,5\times 1}{5+9+25+1}=30,25$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Thắng là $$s^2=\frac{1}{40}\left(22,5^2\times 5+27,5^2\times 9+32,5^2\times 25+37,5^2\times 1\right)-30,25^2=\frac{219}{16}\approx 13,69$$ Suy ra độ lệch chuẩn là $$s=\sqrt{s^2}=\frac{\sqrt{219}}{4}\approx 3,7<4$$.

c) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Thắng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là 13,69.

d) Sai. Vì độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Quyết nhỏ hơn độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Thắng nên sự tăng trưởng của cây bạn Quyết trồng đồng đều hơn sự tăng trưởng của cây Bạn Thắng trồng
a) Đúng. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Quyết là $$\overline{x}=\frac{22,5\times 2+27,5\times 16+32,5\times 20+37,5\times 2}{2+16+20+2}=30,25$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Quyết là $$s^2=\frac{1}{40}\left(22,5^2\times 2+27,5^2\times 16+32,5^2\times 20+37,5^2\times 2\right)-30,25^2=\frac{179}{16}$$ Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Quyết là $s=\sqrt{s^2}=\frac{\sqrt{179}}{4}\approx 3,34>3$
b) Sai. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Thắng là $$\overline{x}=\frac{22,5\times 5+27,5\times 9+32,5\times 25+37,5\times 1}{5+9+25+1}=30,25$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Thắng là $$s^2=\frac{1}{40}\left(22,5^2\times 5+27,5^2\times 9+32,5^2\times 25+37,5^2\times 1\right)-30,25^2=\frac{219}{16}\approx 13,69$$ Suy ra độ lệch chuẩn là $$s=\sqrt{s^2}=\frac{\sqrt{219}}{4}\approx 3,7<4$$
c) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Thắng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là 13,69
d) Sai. Vì độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Quyết nhỏ hơn độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của bạn Thắng nên sự tăng trưởng của cây bạn Quyết trồng đồng đều hơn sự tăng trưởng của cây Bạn Thắng trồng

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu $R=26-2=24$

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1925: 3.36.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp 12A: n=40, trung bình ${\bar{x}}_A=\frac{152,5\cdot 4+157,5\cdot 5+162,5\cdot 12+167,5\cdot 16+172,5\cdot 3}{40}=\frac{6545}{40}=163,625$ cm → c) đúng. Phương sai $s_A^2=\frac{4\cdot 11,125^2+5\cdot 6,125^2+12\cdot 1,125^2+16\cdot 3,875^2+3\cdot 8,875^2}{40}=\frac{1174,375}{40}=29,3594$, $s_A\approx 5,42$. Lớp 12B: ${\bar{x}}_B=\frac{6610}{40}=165,25$ cm, $s_B^2=\frac{897,5}{40}=22,4375$, $s_B\approx 4,74$. Vậy $s_A>s_B$ → a) sai. b) Số học sinh cao từ 167 cm trở lên (nội suy): 12A: $16\cdot \frac{3}{5}+3=12,6$; 12B: $18\cdot \frac{3}{5}+5=15,8$; tổng $28,4/80=35,5\%>25\%$ → b) sai. d) Mốt lớp 12B thuộc nhóm [165;170): $M_0=165+5\cdot \frac{18-13}{(18-13)+(18-5)}=165+\frac{25}{18}\approx 166,4$ cm → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$s_A\approx 5,42>s_B\approx 4,74$ nên độ lệch chuẩn lớp 12A lớn hơn lớp 12B.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tỷ lệ học sinh cao từ 167 cm trở lên xấp xỉ $\frac{12,6+15,8}{80}=35,5\%>25\%$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=6545/40=163,625$ cm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M_0=165+5\cdot \frac{5}{18}\approx 166,4$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=10,2;x_2=10,6;x_3=11,0;x_4=11,4;x_5=11,8$ với tần số $3;8;6;2;1$, $n=20$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 10,2+8\cdot 10,6+6\cdot 11,0+2\cdot 11,4+1\cdot 11,8}{20}=\frac{216}{20}=10,8$.
Tổng bình phương lệch: $3(0,6{)}^2+8(0,2{)}^2+6(0,2{)}^2+2(0,6{)}^2+1(1,0{)}^2=1,08+0,32+0,24+0,72+1,00=3,36$.
Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm: $s^2=\frac{3,36}{20}=0,168$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng dồn tần số: 3; 9; 14; 18; 20 (n=20). Q1 ở vị trí thứ 5, thuộc nhóm [3,0;3,5): Q1 = 3,0 + (5-3)/6 · 0,5 = 3 + 1/6 ≈ 3,1667. Q3 ở vị trí thứ 15, thuộc nhóm [4,0;4,5): Q3 = 4,0 + (15-14)/4 · 0,5 = 4,125. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 - Q1 = 4,125 - 3,1667 ≈ 0,96 (km).

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=19,25;x_2=19,75;x_3=20,25;x_4=20,75;x_5=21,25$ với tần số tương ứng $13;45;24;12;6$, nên $n=100$.

a) Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015\text{(m)}.$$

b) Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm:
$$s^2=\frac{1}{n}\sum f_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2.$$
Tính $\sum f_i{x}_i^2=13\cdot 370,5625+45\cdot 390,0625+24\cdot 410,0625+12\cdot 430,5625+6\cdot 451,5625=40087,75$.
$$s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275\approx 0,28.$$

Vậy số trung bình là $\bar{x}=20,015$ m và phương sai $s^2\approx 0,28$.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 3, 6, 5, 4, 2 (n = 20). Giá trị đại diện: $x_1=2,85;x_2=3,15;x_3=3,45;x_4=3,75;x_5=4,05$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.
Phương sai mẫu: $s^2=\frac{1}{20}\left[3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2\right]=\frac{2,628}{20}=0,1314$.
Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{0,1314}\approx 0,3625$, gần nhất với $0,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu là $[0,9;0,95)$ (tần số $10$) và nhóm cuối cùng có chứa dữ liệu là $[1,05;1,1)$ (tần số $15$), vì nhóm $[1,1;1,15)$ có tần số $0$ nên không chứa dữ liệu. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=1,1-0,9=0,2$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối có dữ liệu và đầu mút trái của nhóm đầu có dữ liệu. Tổ A có dữ liệu từ nhóm $[5;10)$ đến nhóm $[25;30)$, nên $R_1=30-5=25$. Tổ B có dữ liệu từ nhóm $[5;10)$ đến nhóm $[20;25)$ (nhóm $[25;30)$ có 0 nhân viên), nên $R_2=25-5=20$. Vậy $R_1=25>R_2=20$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ: tần số các nhóm [7,2;7,4), [7,4;7,6), [7,6;7,8), [7,8;8,0) lần lượt là 2, 4, 7, 5.
a) Tổng số máy: 2+4+7+5=18 → đúng.
b) Tần số nhóm có giá trị đại diện lần lượt 7,3; 7,5; 7,7; 7,9. Mean = (2·7,3+4·7,5+7·7,7+5·7,9)/18 = 138/18 ≈ 7,667. Phương sai = (2·7,3²+4·7,5²+7·7,7²+5·7,9²)/18 − 7,667² = 1058,66/18 − 58,778 ≈ 58,814 − 58,778 ≈ 0,037 ≠ 0,3 → sai.
c) Khoảng biến thiên (ghép nhóm): 8,0 − 7,2 = 0,8 (giờ) → đúng.
d) n=18: Q1 ở vị trí 4,5 thuộc nhóm [7,4;7,6): Q1 = 7,4 + (4,5−2)/4 · 0,2 = 7,525. Q3 ở vị trí 13,5 thuộc nhóm [7,8;8,0): Q3 = 7,8 + (13,5−13)/5 · 0,2 = 7,82. Khoảng tứ phân vị = 7,82 − 7,525 = 0,295 ≠ 0,259 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số: 2+4+7+5=18 máy.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mean ≈ 7,667; phương sai mẫu ghép nhóm ≈ 0,037, không phải 0,3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 8,0 − 7,2 = 0,8 (giờ).
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 7,525; Q3 = 7,82; khoảng tứ phân vị = 0,295 ≠ 0,259.

(AI giải đề cho tôi)
Cần tìm Q1 (vị trí thứ 25) và Q3 (vị trí thứ 75) của mẫu 100 cây. Tần số tích lũy: 5, 17, 42, 86, 100. Q1 thuộc nhóm [8,8; 9,0): $Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864$. Q3 thuộc nhóm [9,0; 9,2): $Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,15$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286\approx 0,29$.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm: 6, 10, 14, 5, 5 (n = 40). Giá trị đại diện: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 152,5+10\cdot 157,5+14\cdot 162,5+5\cdot 167,5+5\cdot 172,5}{40}=\frac{6465}{40}=161,625$.

Phương sai: $s^2=\frac{6(-9,125{)}^2+10(-4,125{)}^2+14(0,875{)}^2+5(5,875{)}^2+5(10,875{)}^2}{40}=\frac{1444,375}{40}\approx 36,109$.

Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{36,109}\approx 6,01$, thuộc khoảng $(6;6,5)$.