Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do đó đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0103, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của dữ liệu: $R=10-0=10$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án trong hướng dẫn chấm (mã đề 0101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm đại diện: 45 (3), 75 (5), 105 (5), 135 (25), 165 (2).
a) n = 3+5+5+25+2 = 40 → Đúng.
b) X̄ = (3·45+5·75+5·105+25·135+2·165)/40 = 4740/40 = 118,5 → Đúng.
c) Σn_i x_i² = 3·2025+5·5625+5·11025+25·18225+2·27225 = 599400; s² = 599400/40 − 118,5² = 14985 − 14042,25 = 942,75 ≠ 945 → Sai.
d) s = √942,75 ≈ 30,70, còn 3√105 ≈ 30,74 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = 3+5+5+25+2 = 40.
b) (AI giải đề cho tôi)
X̄ = 4740/40 = 118,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
s² = 599400/40 − 118,5² = 942,75 ≠ 945.
d) (AI giải đề cho tôi)
s = √942,75 ≈ 30,70 ≠ 3√105 ≈ 30,74.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=23+40+56+33+8=160$. Vị trí tứ phân vị: $\frac{n}{4}=40$, $\frac{3n}{4}=120$. Tần số tích lũy: 23; 63; 119; 152; 160.
- $Q_1$ thuộc nhóm $[26;29)$: $Q_1=26+\frac{3(40-23)}{40}=26+\frac{51}{40}=27,275$.
- $Q_3$ thuộc nhóm $[32;35)$: $Q_3=32+\frac{3(120-119)}{33}=32+\frac{3}{33}\approx 32,0909$.
Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 32,0909-27,275=4,8159\approx 4,8$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do đó đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 0101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=56$. a) Khoảng biến thiên $=24,5-9,5=15$ → đúng. b) Vị trí $Q_3$: $0,75\cdot 56=42$; tần số tích lũy: $4,16,30,53$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[18,5;21,5)$, không phải $[15,5;18,5)$ → sai. c) Vị trí $Q_1$: $0,25\cdot 56=14$, thuộc nhóm $[12,5;15,5)$: $Q_1=12,5+\frac{14-4}{12}\cdot 3=15$ → đúng. d) $Q_3=18,5+\frac{42-30}{23}\cdot 3=18,5+\frac{36}{23}\approx 20,065$; khoảng tứ phân vị $=Q_3-Q_1\approx 5,065<6$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=24,5-9,5=15$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$0,75\cdot 56=42$; tần số tích lũy đến nhóm $[15,5;18,5)$ là $30$, đến nhóm $[18,5;21,5)$ là $53$, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[18,5;21,5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$0,25\cdot 56=14$ thuộc nhóm $[12,5;15,5)$: $Q_1=12,5+\frac{14-4}{12}\cdot 3=15$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_3=18,5+\frac{42-30}{23}\cdot 3\approx 20,065$; $IQR\approx 20,065-15=5,065<6$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: tổng tần số 6+2+4+4+6+8=30 nên kích thước mẫu là 30.

b) Sai: Các giá trị đại diện: 48,75; 49,25; 49,75; 50,25; 50,75; 51,25 với tần số 6;2;4;4;6;8. Tần số tích lũy: 6; 8; 12; 16; 22; 30. Q1 ở vị trí 30/4=7,5 thuộc nhóm [49,5;50): Q1=49,5+(7,5−6)/4·0,5=49,6875. Q3 ở vị trí 22,5 thuộc nhóm [51;51,5): Q3=51+(22,5−22)/8·0,5=51,03125. IQR=51,03125−49,6875=1,34375≠3.

c) Sai: x̄=(6·48,75+2·49,25+4·49,75+4·50,25+6·50,75+8·51,25)/30=1505,5/30≈50,18≠50,32.

d) Sai: Σn_i x_i²=75576,875, nên (1/30)Σn_i x_i²≈2519,2292; s²=2519,2292−(50,1833)²≈0,8597≠0,7009 (độ lệch chuẩn ≈0,9272).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số 6+2+4+4+6+8=30, nên kích thước mẫu ghép nhóm là 30.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1=49,6875 (nhóm [49,5;50)), Q3=51,03125 (nhóm [51;51,5)), nên khoảng tứ phân vị IQR=1,34375, không phải 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
x̄=1505,5/30≈50,18, không phải 50,32.
d) (AI giải đề cho tôi)
s²=(1/30)Σn_i x_i²−x̄²≈2519,2292−2518,3694≈0,8597, độ lệch chuẩn ≈0,9272, không phải 0,7009.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=1+4+8+12+3+2=30$. Tần số tích lũy: 1; 5; 13; 25; 28; 30.
Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=7,5$ thuộc nhóm $[95;100)$:
$$Q_1=95+\frac{7,5-5}{8}\cdot 5=95+1,5625=96,5625.$$
Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=22,5$ thuộc nhóm $[100;105)$:
$$Q_3=100+\frac{22,5-13}{12}\cdot 5=100+\frac{47,5}{12}\approx 103,9583.$$
Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 103,9583-96,5625=7,3958\approx 7,4.$$

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $x_1=19,25;x_2=19,75;x_3=20,25;x_4=20,75;x_5=21,25$ với tần số $13;45;24;12;6$, cỡ mẫu $n=100$.

Tần số tích lũy: 13, 58, 82, 94, 100.

Số trung bình: $$\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015.$$

Tính $\sum n_i{x}_i^2=13\cdot 370,5625+45\cdot 390,0625+24\cdot 410,0625+12\cdot 430,5625+6\cdot 451,5625=40087,75$.

Phương sai: $$s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275.$$

Độ lệch chuẩn: $$s=\sqrt{0,277275}\approx 0,5266\approx 0,53.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=65-40=25$ (cm). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tính số trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 42,5+14\cdot 47,5+8\cdot 52,5+10\cdot 57,5+6\cdot 62,5+2\cdot 67,5}{44}=\frac{2340}{44}\approx 53,18$. Tính $\sum n_i{x}_i^2=4\cdot 1806,25+14\cdot 2256,25+8\cdot 2756,25+10\cdot 3306,25+6\cdot 3906,25+2\cdot 4556,25=126475$. Phương sai: $s^2=\frac{126475}{44}-{\left(\frac{2340}{44}\right)}^2\approx 2874,43-2828,31\approx 46,1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=6+10+14+5+5=40$. Các giá trị đại diện: $152,5;157,5;162,5;167,5;172,5$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 152,5+10\cdot 157,5+14\cdot 162,5+5\cdot 167,5+5\cdot 172,5}{40}=\frac{6465}{40}=161,625$.
Phương sai: $s^2=\frac{6(152,5-161,625{)}^2+10(157,5-161,625{)}^2+14(162,5-161,625{)}^2+5(167,5-161,625{)}^2+5(172,5-161,625{)}^2}{40}=\frac{1444,375}{40}\approx 36,109$.
Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{36,109}\approx 6,01\in (6;6,5)$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay mỗi nhóm bằng giá trị đại diện: 10,3; 10,5; 10,7; 10,9 với tần số 3; 7; 8; 2. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 10,3+7\cdot 10,5+8\cdot 10,7+2\cdot 10,9}{20}=\frac{211,8}{20}=10,59$. Phương sai: $s^2=\frac{3(-0,29{)}^2+7(-0,09{)}^2+8(0,11{)}^2+2(0,31{)}^2}{20}=\frac{0,2523+0,0567+0,0968+0,1922}{20}=\frac{0,598}{20}=0,0299$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{0,0299}\approx 0,17$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu hai đầu mút của nhóm chứa giá trị lớn nhất và nhóm chứa giá trị nhỏ nhất. Nhóm nhỏ nhất là $[10;15)$, nhóm lớn nhất là $[35;40)$. Vậy khoảng biến thiên $R=40-10=30$.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $x_1=42,5;x_2=47,5;x_3=52,5;x_4=57,5;x_5=62,5;x_6=67,5$ với tần số $n_i=4;14;8;10;6;2$ ($n=44$).

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{42,5\cdot 4+47,5\cdot 14+52,5\cdot 8+57,5\cdot 10+62,5\cdot 6+67,5\cdot 2}{44}=\frac{2340}{44}=\frac{585}{11}\approx 53,18.$$

Tính $\sum n_i{x}_i^2=4\cdot 1806,25+14\cdot 2256,25+8\cdot 2756,25+10\cdot 3306,25+6\cdot 3906,25+2\cdot 4556,25=126475$.

Phương sai mẫu:
$$s^2=\frac{126475}{44}-{\left(\frac{585}{11}\right)}^2\approx 2874,43-2828,31\approx 46,1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cả hai lớp có khoảng biến thiên như nhau $R=10-5=5$, nên không thể kết luận lớp 12A phân tán hơn qua khoảng biến thiên → a) sai.

Lớp 12A ($n=30$): tần số tích lũy $0;2;8;20;30$. Q1 thuộc nhóm $[7;8)$: $Q_1=7+\frac{7,5-2}{6}\cdot 1\approx 7,917$; Q3 thuộc nhóm $[8;9)$: $Q_3=8+\frac{22,5-8}{12}\cdot 1\approx 9,208$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q\approx 1,292>1$ → b) đúng.

Lớp 12B: tần số tích lũy $2;14;24;30;30$. $Q_1=6+\frac{7,5-2}{12}\approx 6,458$; $Q_3=7+\frac{22,5-14}{10}=7,85$; ${\Delta }_Q\approx 1,392$. So sánh: $1,292<1,392$, khoảng tứ phân vị của 12A nhỏ hơn của 12B → c) sai.

Điểm trung bình đại diện: 12A: ${\bar{x}}_A=\frac{2\cdot 6,5+6\cdot 7,5+12\cdot 8,5+10\cdot 9,5}{30}=\frac{255}{30}=8,5$; 12B: ${\bar{x}}_B=\frac{2\cdot 5,5+12\cdot 6,5+10\cdot 7,5+6\cdot 8,5}{30}=\frac{215}{30}\approx 7,167$. Vậy ${\bar{x}}_B<{\bar{x}}_A$ → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai lớp đều có khoảng biến thiên $R=10-5=5$, bằng nhau nên không kết luận 12A phân tán hơn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1\approx 7,917$, $Q_3\approx 9,208$ nên ${\Delta }_Q\approx 1,292>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_Q(12A)\approx 1,292<{\Delta }_Q(12B)\approx 1,392$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=8,5>{\bar{x}}_B\approx 7,167$ nên điểm trung bình của 12B nhỏ hơn của 12A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=26$. Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=6,5$ nằm trong nhóm $[7;11)$ nên $Q_1=7+\frac{6,5}{14}\cdot 4=7+\frac{13}{7}\approx 8,857$. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=19,5$; tần số tích lũy: 14, 15, 16, 24 nên nằm trong nhóm $[19;23)$: $Q_3=19+\frac{19,5-16}{8}\cdot 4=19+1,75=20,75$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 20,75-8,857=11,893\approx 11,9$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Tính khoảng tứ phân vị IQR = Q3 − Q1 cho từng lớp bằng nội suy theo tần số tích lũy.

Lớp 12B1: n = 41; tần số tích lũy: 7; 10; 25; 37; 41. Q1 = 6 + (10,25 − 10)/3 ≈ 6,083; Q3 = 7 + (30,75 − 25)/15 ≈ 7,383; IQR ≈ 1,30.

Lớp 12B2: n = 40; tần số tích lũy: 5; 14; 26; 37; 40. Q1 = 6 + (10 − 5)/9 ≈ 6,556; Q3 = 7 + (30 − 26)/12 ≈ 7,333; IQR ≈ 0,778.

Lớp 12B3: n = 36; tần số tích lũy: 10; 20; 29; 35; 36. Q1 = 5 + (9 − 0)/10 = 5,9; Q3 = 7 + (27 − 20)/9 ≈ 7,778; IQR ≈ 1,878.

Lớp 12B4: n = 42; tần số tích lũy: 14; 17; 32; 41; 42. Q1 = 5 + 10,5/14 = 5,75; Q3 = 7 + (31,5 − 17)/15 ≈ 7,967; IQR ≈ 2,217.

Lớp 12B2 có khoảng tứ phân vị nhỏ nhất (≈ 0,778), nên điểm kiểm tra của lớp 12B2 đồng đều nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: 11,5; 13,5; 15,5; 17,5; 19,5 với tần số 3; 12; 15; 24; 2 (n = 56). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 11,5+12\cdot 13,5+15\cdot 15,5+24\cdot 17,5+2\cdot 19,5}{56}=\frac{888}{56}\approx 15,857$. Tổng bình phương: $3\cdot 11,5^2+12\cdot 13,5^2+15\cdot 15,5^2+24\cdot 17,5^2+2\cdot 19,5^2=14298$, nên $\frac{14298}{56}\approx 255,321$. Phương sai: $s^2\approx 255,321-(15,857{)}^2\approx 3,87$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ tần số: nhóm $[5;10)$ có 2, $[10;15)$ có 4, $[15;20)$ có 7, $[20;25)$ có 5, $[25;30)$ có 3 nhà đầu tư, nên $n=21$. Lấy giá trị đại diện là trung điểm nhóm: $7,5;12,5;17,5;22,5;27,5$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2\cdot 7,5+4\cdot 12,5+7\cdot 17,5+5\cdot 22,5+3\cdot 27,5}{21}=\frac{382,5}{21}\approx 18,2143$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=2\cdot 56,25+4\cdot 156,25+7\cdot 306,25+5\cdot 506,25+3\cdot 756,25=7681,25$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{7681,25}{21}-{\left(\frac{382,5}{21}\right)}^2\approx 365,7738-331,7602=34,0136$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{34,0136}\approx 5,83$ (triệu đồng).