Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=6,5-3,1=3,4$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=77,5;x_2=82,5;x_3=87,5;x_4=92,5;x_5=97,5$ với tần số $n_1=20,n_2=15,n_3=25,n_4=18,n_5=16$, nên $n=94$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{20\cdot 77,5+15\cdot 82,5+25\cdot 87,5+18\cdot 92,5+16\cdot 97,5}{94}=\frac{8200}{94}\approx 87,234.$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{1}{94}\sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2\approx \frac{20(9,734{)}^2+15(4,734{)}^2+25(0,266{)}^2+18(5,266{)}^2+16(10,266{)}^2}{94}\approx \frac{4418,3}{94}\approx 47,0.$$

Vậy phương sai xấp xỉ $47$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=4,2-2,7=1,5$ (km). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=15,x_2=45,x_3=75,x_4=105,x_5=135$ với tần số $n_1=9,n_2=10,n_3=9,n_4=15,n_5=7$ (tổng $n=50$).

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{9\cdot 15+10\cdot 45+9\cdot 75+15\cdot 105+7\cdot 135}{50}=\frac{135+450+675+1575+945}{50}=\frac{3780}{50}=75,6.$$

Tổng bình quân của $x_i^2$:
$$\frac{9\cdot 225+10\cdot 2025+9\cdot 5625+15\cdot 11025+7\cdot 18225}{50}=\frac{365850}{50}=7317.$$

Phương sai:
$$s^2=7317-75,6^2=7317-5715,36=1601,64.$$

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $1601,64$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Cỡ mẫu cổ phiếu A: 8+9+12+10+11 = 50 → ĐÚNG.
b) Với mẫu ghép nhóm, khoảng biến thiên = đầu nhóm cuối cùng − đầu nhóm đầu tiên = 130 − 120 = 10, không phải 2 → SAI.
c) Số trung bình của cổ phiếu B: các giá trị đại diện 121, 123, 125, 127, 129. Tổng = 16·121 + 4·123 + 3·125 + 6·127 + 21·129 = 1936 + 492 + 375 + 762 + 2709 = 6274. Số trung bình = 6274/50 = 125,48 ≠ 115,28 → SAI.
d) Số trung bình A = (8·121 + 9·123 + 12·125 + 10·127 + 11·129)/50 = 6264/50 = 125,28. Phương sai A = (8·121² + 9·123² + 12·125² + 10·127² + 11·129²)/50 − 125,28² = 15702,6 − 15695,0784 ≈ 7,52; độ lệch chuẩn ≈ 2,74. Phương sai B = 15757,64 − 125,48² ≈ 12,41; độ lệch chuẩn ≈ 3,52. Vì phương sai và độ lệch chuẩn của A nhỏ hơn B nên cổ phiếu A có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu B → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
8+9+12+10+11 = 50.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là 130 − 120 = 10, không phải 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của B là 6274/50 = 125,48, không phải 115,28.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai A ≈ 7,52 < phương sai B ≈ 12,41, nên A có độ rủi ro thấp hơn B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=65-40=25$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, các nhóm: [1;6): 14 ngày, [6;11): 30 ngày, [11;16): 25 ngày, [16;21): 18 ngày, [21;26): 5 ngày. Cỡ mẫu n = 14+30+25+18+5 = 92.
Tứ phân vị thứ nhất: vị trí n/4 = 23, thuộc nhóm [6;11): Q1 = 6 + (23-14)/30 · 5 = 6 + 1,5 = 7,5.
Tứ phân vị thứ ba: vị trí 3n/4 = 69, thuộc nhóm [11;16) (cộng dồn 14, 44, 69): Q3 = 11 + (69-44)/25 · 5 = 11 + 5 = 16.
Khoảng tứ phân vị: IQR = Q3 - Q1 = 16 - 7,5 = 8,5.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=1000-300=700$ (nghìn đồng). Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=4,x_2=6,x_3=8$ với tần số $n_1=8,n_2=17,n_3=5$, $n=30$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{8\cdot 4+17\cdot 6+5\cdot 8}{30}=\frac{174}{30}=5,8$.
Phương sai: $s^2=\frac{8\cdot 4^2+17\cdot 6^2+5\cdot 8^2}{30}-5,8^2=\frac{1060}{30}-33,64\approx 35,333-33,64=1,693\approx 1,7$.
Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (Phần II):
a) Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm: R = 45 - 25 = 20. Đúng.
b) Lớp 12A: n = 42. Cumulative: 7; 23; 38; 42. Q1 ở vị trí 10,5: Q1 = 30 + (10,5-7)/16 · 5 = 31,09375. Q3 ở vị trí 31,5: Q3 = 35 + (31,5-23)/15 · 5 = 37,8333. IQR = 37,8333 - 31,09375 ≈ 6,74 ≠ 7,78. Sai.
c) Lớp 12B: các giá trị đại diện 27,5; 32,5; 37,5; 42,5 với tần số 5; 14; 17; 6. Trung bình = 1485/42 ≈ 35,3571. Phương sai = 53312,5/42 - (1485/42)² ≈ 19,22. Đúng.
d) Lớp 12A: trung bình = 1445/42 ≈ 34,4048, phương sai ≈ 18,99, độ lệch chuẩn ≈ 4,36 < độ lệch chuẩn lớp 12B ≈ 4,38. Vậy lớp 12A đồng đều hơn. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 45 - 25 = 20.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 ≈ 31,09; Q3 ≈ 37,83; IQR ≈ 6,74 ≠ 7,78.
c) (AI giải đề cho tôi)
s² ≈ 19,22.
d) (AI giải đề cho tôi)
s_A ≈ 4,36 < s_B ≈ 4,38 nên lớp 12A đồng đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu ghép nhóm: nhóm nhỏ nhất là $[0;50)$ với giá trị nhỏ nhất $0$, nhóm lớn nhất là $[200;250)$ với giá trị lớn nhất $250$. Khoảng biến thiên $R=250-0=250$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn $s$ là căn bậc hai số học của phương sai $s^2$, tức $s=\sqrt{s^2}$, nên khẳng định B đúng. Độ lệch chuẩn (hoặc phương sai) càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán quanh giá trị trung bình, nên A và C đúng. Khẳng định D nói phương sai là căn bậc hai của độ lệch chuẩn là đảo ngược quan hệ, do đó SAI.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: giá trị đại diện nhóm [110;120) là (110+120)/2 = 115.
b) Sai: số trung bình $\bar{x}=\frac{95\cdot 2+105\cdot 3+115\cdot 4+125\cdot 6+135\cdot 3+145\cdot 2}{20}=\frac{2410}{20}=120,5\ne 120$.
c) Đúng: $s^2=\frac{2\cdot 25,5^2+3\cdot 15,5^2+4\cdot 5,5^2+6\cdot 4,5^2+3\cdot 14,5^2+2\cdot 24,5^2}{20}=\frac{4094}{20}=204,7$, nên $s=\sqrt{204,7}\approx 14,31$.
d) Sai: $\frac{3n}{4}=15$. Cộng dần tần số: 2, 5, 9, 15, 18, 20 nên nhóm chứa $Q_3$ là [120;130): $Q_3=120+\frac{15-9}{6}\cdot 10=130\ne 131$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện là trung điểm (110+120)/2 = 115.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình bằng 2410/20 = 120,5, không phải 120.
c) (AI giải đề cho tôi)
s² = 4094/20 = 204,7, s ≈ 14,31.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q3 = 120 + (15-9)/6·10 = 130, không phải 131.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=8+10+7+5+2+1=33$. Tần số tích lũy: 8; 18; 25; 30; 32; 33.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{33}{4}=8,25$ thuộc nhóm $[60;120)$ nên
$$Q_1=60+\frac{60(8,25-8)}{10}=60+1,5=61,5.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 33}{4}=24,75$ thuộc nhóm $[120;180)$ nên
$$Q_3=120+\frac{60(24,75-18)}{7}=120+\frac{405}{7}\approx 177,857.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 177,857-61,5=116,357\approx 116,36\text{ (giaˆy)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=10,3;x_2=10,5;x_3=10,7;x_4=10,9$ với tần số $n_1=3;n_2=7;n_3=8;n_4=2$, cỡ mẫu $n=20$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 10,3+7\cdot 10,5+8\cdot 10,7+2\cdot 10,9}{20}=\frac{211,8}{20}=10,59$.
Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\left[3(10,3-10,59{)}^2+7(10,5-10,59{)}^2+8(10,7-10,59{)}^2+2(10,9-10,59{)}^2\right]$
$=\frac{1}{20}(0,2523+0,0567+0,0968+0,1922)=\frac{0,598}{20}=0,0299$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=90-80=10$ (gam). Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của các nhóm: $x_1=3,25$, $x_2=3,75$, $x_3=4,25$, $x_4=4,75$ với tần số tương ứng $2,6,8,4$; cỡ mẫu $n=20$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{2\cdot 3,25+6\cdot 3,75+8\cdot 4,25+4\cdot 4,75}{20}=\frac{6,5+22,5+34+19}{20}=\frac{82}{20}=4,1$.

Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\left[2(3,25-4,1{)}^2+6(3,75-4,1{)}^2+8(4,25-4,1{)}^2+4(4,75-4,1{)}^2\right]=\frac{1,445+0,735+0,18+1,69}{20}=\frac{4,05}{20}=0,2025\approx 0,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=4,2-2,7=1,5$ (km). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 95, 105, 115, 125, 135, 145 với tần số 2, 3, 4, 6, 3, 2 (n = 20). Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{95\cdot 2+105\cdot 3+115\cdot 4+125\cdot 6+135\cdot 3+145\cdot 2}{20}=\frac{2410}{20}=120,5$. Tổng bình phương độ lệch: $2(95-120,5{)}^2+3(105-120,5{)}^2+4(115-120,5{)}^2+6(125-120,5{)}^2+3(135-120,5{)}^2+2(145-120,5{)}^2=1300,5+720,75+121+121,5+630,75+1200,5=4095$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{4095}{20}=204,75$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{204,75}\approx 14,31\approx 14,3$. Lưu ý: một số lời giải AI trung gian ghi nhầm tổng là 4084 (s² = 204,2), tuy nhiên kết quả đúng là 4095 và đáp số làm tròn vẫn là 14,3.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm: $x_1=162,x_2=166,x_3=170,x_4=174,x_5=178$ với tần số $3,8,18,12,9$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{3\cdot 162+8\cdot 166+18\cdot 170+12\cdot 174+9\cdot 178}{50}=\frac{8564}{50}=171,28$.

Phương sai mẫu: $s^2=\frac{1}{50}\sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{3(162-171,28{)}^2+8(166-171,28{)}^2+18(170-171,28{)}^2+12(174-171,28{)}^2+9(178-171,28{)}^2}{50}=\frac{1006,08}{50}=20,1216$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{20,1216}\approx 4,4857\approx 4,5$.