Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=7+10+17+24+13+8+5=84$. Tần số tích lũy: 7; 17; 34; 58; 71; 79; 84.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=21$. Vì tần số tích lũy trước nhóm $[7,5;8)$ là 17 và tần số tích lũy sau nhóm là 34 (17 < 21 ≤ 34), $Q_1$ thuộc nhóm $[7,5;8)$:
$$Q_1=7,5+\frac{21-17}{17}\cdot 0,5=7,5+\frac{2}{17}\approx 7,6176.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=63$. Vì 58 < 63 ≤ 71, $Q_3$ thuộc nhóm $[8,5;9)$:
$$Q_3=8,5+\frac{63-58}{13}\cdot 0,5=8,5+\frac{2,5}{13}\approx 8,6923.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 8,6923-7,6176=1,0747\approx 1,1.$$

Vậy chọn đáp án A. (Lưu ý: lời giải AI trước đó sai ở bước xác định nhóm chứa $Q_1$ — dùng nhầm tần số tích lũy trước nhóm là 7 thay vì 17, dẫn tới $Q_1=7,7$ và kết luận sai là B.)

(AI giải đề cho tôi)
Cộng dồn tần số: 4; 10; 18; 22; 25 (n=25).
Q1: vị trí 25/4 = 6,25 thuộc nhóm [10;12): Q1 = 10 + (6,25 - 4)/6 · 2 = 10,75 = 43/4.
Q3: vị trí 75/4 = 18,75 thuộc nhóm [14;16) (vì 18,75 > 18): Q3 = 14 + (18,75 - 18)/4 · 2 = 14,375 = 115/8.
Khoảng tứ phân vị: IQR = 115/8 - 43/4 = 115/8 - 86/8 = 29/8, tối giản với a=29, b=8. Vậy P = a + b = 37.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$, nên $\frac{n}{4}=7,5$ và $\frac{3n}{4}=22,5$. Tần số tích lũy: $6;11;21;27;30$.

Tứ phân vị thứ nhất: vì $7,5>6$ và $7,5\le 11$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[800;850)$:
$$Q_1=800+\frac{7,5-6}{5}\cdot 50=800+15=815.$$

Tứ phân vị thứ ba: vì $22,5>21$ và $22,5\le 27$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[900;950)$:
$$Q_3=900+\frac{22,5-21}{6}\cdot 50=900+12,5=912,5.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=912,5-815=97,5.$$

(AI giải đề cho tôi)
Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm: $s^2=\frac{n_1{c}_1^2+n_2{c}_2^2+\dots +n_k{c}_k^2}{n}-{\overline{x}}^2$ với $n=n_1+\dots +n_k$. Đây chính là đáp án A. B thiếu bình phương $(c_i-\overline{x}{)}^2$; C đặt ${\overline{x}}^2$ sai vị trí (thiếu chia cho $n$); D là công thức số trung bình trừ $\overline{x}$, cho kết quả 0.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu nhóm có khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }$, với $x_{\min }$ là đầu mút trái của nhóm đầu tiên và $x_{\max }$ là đầu mút phải của nhóm cuối cùng. Ở đây $x_{\min }=25$, $x_{\max }=45$, nên $R=45-25=20$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: 152, 156, 160, 164, 168 với tần số 25, 50, 200, 175, 50 (n = 500). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{25\cdot 152+50\cdot 156+200\cdot 160+175\cdot 164+50\cdot 168}{500}=\frac{80700}{500}=161.4$. Phương sai: $s^2=\frac{25(-9.4{)}^2+50(-5.4{)}^2+200(-1.4{)}^2+175(2.6{)}^2+50(6.6{)}^2}{500}=\frac{2209+1458+392+1183+2178}{500}=\frac{7420}{500}=14.84$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{14.84}\approx 3.8523\approx 3.85$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa hai đầu mút của nhóm có giá trị lớn nhất và nhóm có giá trị nhỏ nhất: $R=175-150=25$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Cả hai mẫu đều có giá trị nhỏ nhất thuộc nhóm [1;1,5) và lớn nhất thuộc nhóm [3,5;4), nên khoảng biến thiên $R=4-1=3$ cho cả hai mẫu. Đúng.

b) Năm 2023, $n=100$, trung vị là trung bình của giá trị thứ 50 và 51. Tần số tích lũy: 10, 30, 55 nên trung vị thuộc nhóm $[2;2,5)$: $Q_2=2+\frac{50-30}{25}\cdot 0,5=2+0,4=2,4=\frac{12}{5}$. Đúng.

c) Năm 2024, giá trị đại diện: 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25; 3,75 với tần số 14; 20; 24; 26; 10; 6. Tổng $=17,5+35+54+71,5+32,5+22,5=233$, suy ra $\bar{x}=2,33$ kg, không phải 2,47 kg. Sai.

d) Năm 2023: $\bar{x}=2,47$; $\sum n_i{x}_i^2=666,75$ nên $s^2=6,6675-2,47^2\approx 0,5666$. Năm 2024: $\bar{x}=2,33$; $\sum n_i{x}_i^2=591,25$ nên $s^2=5,9125-2,33^2\approx 0,4836$. Vì phương sai năm 2024 nhỏ hơn, cân nặng năm 2024 đồng đều hơn năm 2023. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu có min thuộc [1;1,5) và max thuộc [3,5;4), nên $R=4-1=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy 10, 30, 55; $Q_2=2+\frac{50-30}{25}\cdot 0,5=2,4=\frac{12}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $n_i{x}_i=233$ nên $\bar{x}=2,33$ kg $\ne 2,47$ kg.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s_{2023}^2\approx 0,5666>s_{2024}^2\approx 0,4836$, nên năm 2024 đồng đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=90-30=60$ (phút). Vậy chọn C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp 12A có n=40, Q3 ở vị trí thứ 30. Tần số tích lũy: 5, 12, 24, 34, 40 nên Q3 thuộc nhóm [40;50): Q3 = 40 + 10·(30−24)/10 = 46 ≠ 45 → a) Sai. Lớp 12B có n=30, giá trị đại diện 15,25,35,45,55: trung bình = (3·15+5·25+8·35+2·45+12·55)/30 = 1200/30 = 40 phút ≠ 39 → b) Sai. Giá trị đại diện nhóm [10;20) là (10+20)/2 = 15 → c) Đúng. Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm = 60 − 10 = 50 phút cho cả hai lớp → d) Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
n=40, Q3 ở vị trí 30, thuộc nhóm [40;50): Q3 = 40 + 10·(30−24)/10 = 46 ≠ 45.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình lớp 12B = (3·15+5·25+8·35+2·45+12·55)/30 = 1200/30 = 40 phút ≠ 39.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện = (10+20)/2 = 15.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên mẫu ghép nhóm = 60 − 10 = 50 phút cho cả hai lớp.

(AI giải đề cho tôi)
Thay mỗi nhóm bằng giá trị đại diện: 75; 125; 175; 225; 275 với tần số tương ứng 5; 10; 9; 4; 2 (n = 30). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 75+10\cdot 125+9\cdot 175+4\cdot 225+2\cdot 275}{30}=\frac{4650}{30}=155$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=5\cdot 75^2+10\cdot 125^2+9\cdot 175^2+4\cdot 225^2+2\cdot 275^2=28125+156250+275625+202500+151250=813750$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{813750}{30}-155^2=27125-24025=3100$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{3100}\approx 55,68\approx 55,7$ km. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Phần III Câu 6: 55,7).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 75; 125; 175; 225; 275 với tần số tương ứng 5; 10; 9; 4; 2, nên n = 30. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{5\cdot 75+10\cdot 125+9\cdot 175+4\cdot 225+2\cdot 275}{30}=\frac{4650}{30}=155$ (km). Phương sai mẫu: $s^2=\frac{5(75-155{)}^2+10(125-155{)}^2+9(175-155{)}^2+4(225-155{)}^2+2(275-155{)}^2}{30}=\frac{32000+9000+3600+19600+28800}{30}=\frac{93000}{30}=3100$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{3100}\approx 55,7$ km. Kết quả khớp với đáp án nguồn 55,7.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 15, 25, 35, 45, 55.
a) Lớp 12A: n=40, tổng = 5·15+7·25+12·35+10·45+6·55 = 1450, mean = 36,25 phút. Lớp 12B: n=30, tổng = 3·15+5·25+8·35+2·45+12·55 = 1200, mean = 40 phút. Hai mean khác nhau nên khẳng định sai.
b) Mẫu ghép nhóm: khoảng biến thiên = 60 − 10 = 50 phút cho cả hai lớp, đúng.
c) 12A: s² = (5·21,25² + 7·11,25² + 12·1,25² + 10·8,75² + 6·18,75²)/40 = 6037,5/40 ≈ 150,94, s ≈ 12,29. 12B: s² = (3·25² + 5·15² + 8·5² + 2·5² + 12·15²)/30 = 5950/30 ≈ 198,33, s ≈ 14,08. Vì 12,29 < 14,08 nên lớp 12A đồng đều hơn, đúng.
d) Giá trị đại diện nhóm [10;20) = (10+20)/2 = 15, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Mean 12A = 1450/40 = 36,25 phút; mean 12B = 1200/30 = 40 phút. Hai giá trị khác nhau nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với mẫu ghép nhóm, khoảng biến thiên = 60 − 10 = 50 phút cho cả hai lớp.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
s(12A) ≈ 12,29 < s(12B) ≈ 14,08 nên lớp 12A đồng đều hơn.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện = (10+20)/2 = 15.

Tần số tích lũy: 5; 15; 24; 28; 30 với $n=30$.
• Ta có $\frac{n}{4}=7,5$. Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{n}{4}$:
$$Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}\cdot 50=\frac{225}{2}$$
• Ta có $\frac{3n}{4}=22,5$. Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{3n}{4}$:
$$Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}\cdot 50=\frac{575}{3}$$
• Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=\frac{475}{6}\approx 79,2$.

a) Khoảng biến thiên về thời gian tập thể dục của học sinh lớp 12A và 12B là: $$60-10=50\text{ phuˊt}.$$ » Chọn ĐÚNG.
b) Giá trị đại diện của nhóm $[10;20)$ là 15. » Chọn ĐÚNG.
c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở lớp 12A là: $s_{12A}\approx \sqrt{150,94}\approx 12,29$ phút. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở lớp 12B là: $s_{12B}\approx \sqrt{198,33}\approx 14,08$ phút. Do $s_{12A}<s_{12B}$ nên học sinh lớp 12A có thời gian tập thể dục đồng đều hơn học sinh lớp 12B. » Chọn ĐÚNG.
d) Thời gian tập thể dục trung bình của học sinh hai lớp 12A và 12B lần lượt là: ${\overline{x}}_{12A}\approx 36,25$ phút; ${\overline{x}}_{12B}\approx 40$ phút. » Chọn SAI.
a) Khoảng biến thiên về thời gian tập thể dục của học sinh lớp 12A và 12B là: $$60-10=50\text{ phuˊt}.$$ » Chọn ĐÚNG.
b) Giá trị đại diện của nhóm $[10;20)$ là 15. » Chọn ĐÚNG.
c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở lớp 12A là: $s_{12A}\approx \sqrt{150,94}\approx 12,29$ phút. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở lớp 12B là: $s_{12B}\approx \sqrt{198,33}\approx 14,08$ phút. Do $s_{12A}<s_{12B}$ nên học sinh lớp 12A có thời gian tập thể dục đồng đều hơn học sinh lớp 12B. » Chọn ĐÚNG.
d) Thời gian tập thể dục trung bình của học sinh hai lớp 12A và 12B lần lượt là: ${\overline{x}}_{12A}\approx 36,25$ phút; ${\overline{x}}_{12B}\approx 40$ phút. » Chọn SAI.

Tần số tích lũy: 5; 15; 24; 28; 30 với $n=30$.
• Ta có $\frac{n}{4}=7,5$. Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{n}{4}$: $$Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}.50=\frac{225}{2}$$
• Ta có $\frac{3n}{4}=22,5$. Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{3n}{4}$: $$Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}.50=\frac{575}{3}$$
• Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=\frac{475}{6}\approx 79,2$

Tìm $Q_1:Q_1-7+\frac{12.5-6}{9}.(8-7)\approx 7.722$. Tìm $Q_3:Q_3-9+\frac{37.5-35}{15}.(10-9)\approx 9.167$. Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1-9.167-7.722-1.445\approx 1.45$. (Ghi chú: bản gốc in dấu trừ trong công thức ${\Delta }_Q$; về toán học ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9.167-7.722=1.445\approx 1.45$.)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=50$. Vị trí tứ phân vị: $\frac{n}{4}=12,5$ và $\frac{3n}{4}=37,5$.

Tần số tích lũy: $1;6;15;35;50$.

- $Q_1$ thuộc nhóm $[7;8)$ (vì $6<12,5\le 15$):
$$Q_1=7+\frac{12,5-6}{9}\cdot 1=7+\frac{6,5}{9}\approx 7,7222.$$

- $Q_3$ thuộc nhóm $[9;10)$ (vì $35<37,5\le 50$):
$$Q_3=9+\frac{37,5-35}{15}\cdot 1=9+\frac{2,5}{15}\approx 9,1667.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 9,1667-7,7222=1,4444\approx 1,44.$$

Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của các nhóm: 4; 6; 8; 10; 12 (nghìn bước) với tần số 6; 7; 6; 6; 5, n = 30. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 4+7\cdot 6+6\cdot 8+6\cdot 10+5\cdot 12}{30}=\frac{234}{30}=7,8$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=6\cdot 16+7\cdot 36+6\cdot 64+6\cdot 100+5\cdot 144=2052$, nên $s^2=\frac{2052}{30}-7,8^2=68,4-60,84=7,56$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{7,56}\approx 2,75$. Vậy chọn C.