Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=28$. a) Với mẫu ghép nhóm, khoảng biến thiên $R=45-20=25\ne 20$ → sai. b) $\frac{3n}{4}=21$; tần số tích lũy: 6, 11, 18, 26, 28 nên $Q_3$ thuộc nhóm $[35;40)$: $Q_3=35+\frac{21-18}{8}\cdot 5=36,875\approx 36,88\ne 37$ → sai. c) Tần số nhóm $[35;40)$ là 8. Trung điểm: 22,5; 27,5; 32,5; 37,5; 42,5. $\overline{x}=\frac{6\cdot 22,5+5\cdot 27,5+7\cdot 32,5+8\cdot 37,5+2\cdot 42,5}{28}=\frac{885}{28}\approx 31,61$ → đúng. d) $\sum n_i{x}_i^2=6\cdot 506,25+5\cdot 756,25+7\cdot 1056,25+8\cdot 1406,25+2\cdot 1806,25=29075$. $s_x^2=\frac{29075}{28}-(31,6071{)}^2\approx 1038,39-999,01\approx 39,38$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $R=45-20=25\ne 20$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{3\cdot 28}{4}=21$; $Q_3=35+\frac{21-18}{8}\cdot 5=36,875\approx 36,88\ne 37$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=\frac{885}{28}\approx 31,61$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s_x^2=\frac{29075}{28}-{\left(\frac{885}{28}\right)}^2\approx 39,38$.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 100; 300; 500; 700; 900 với tần số 29; 11; 3; 4; 3 (n=50). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{29\cdot 100+11\cdot 300+3\cdot 500+4\cdot 700+3\cdot 900}{50}=\frac{13200}{50}=264$. Tổng bình phương lệch: $29(100-264{)}^2+11(300-264{)}^2+3(500-264{)}^2+4(700-264{)}^2+3(900-264{)}^2=779984+14256+167088+760384+1213488=2935200$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{2935200}{50}=58704$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{58704}\approx 242,29\approx 242,3$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 1, 3, 5, 7 với tần số 15, 8, 7, 10. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{15\cdot 1+8\cdot 3+7\cdot 5+10\cdot 7}{40}=\frac{144}{40}=3,6$. Phương sai: $s^2=\frac{15\cdot 1^2+8\cdot 3^2+7\cdot 5^2+10\cdot 7^2}{40}-3,6^2=\frac{752}{40}-12,96=18,8-12,96=5,84$. Kết quả trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$. Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=5$, nhóm chứa giá trị thứ 5 là $[3,0;3,5)$ (cumulative 3, 8). Vậy $Q_1=3,0+\frac{0,5(5-3)}{5}=3,2$. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=15$, nhóm chứa giá trị thứ 15 là $[4,0;4,5)$ (cumulative 12, 18). Vậy $Q_3=4,0+\frac{0,5(15-12)}{6}=4,25$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=4,25-3,2=1,05$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+7+9+4+2+1=25$. Tứ phân vị thứ nhất ở vị trí $\frac{n}{4}=6,25$ thuộc nhóm $[65;70)$ (lũy tích đến 65 là 2): $Q_1=65+\frac{6,25-2}{7}\cdot 5=65+\frac{21,25}{7}\approx 68,036$. Tứ phân vị thứ ba ở vị trí $\frac{3n}{4}=18,75$ thuộc nhóm $[75;80)$ (lũy tích đến 75 là 18): $Q_3=75+\frac{18,75-18}{4}\cdot 5=75+0,9375=75,9375$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 75,9375-68,036\approx 7,90$, gần nhất với $7,9$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số lớp A: 1,6,13,25,5 (n=50); lớp B: 2,4,18,19,7 (n=50). Giá trị đại diện: 1,3,5,7,9.

a) Lớp A: tích lũy 1,7,20,45,50. Q1 ở vị trí 12,5 thuộc [4;6): Q1 = 4 + (12,5−7)/13·2 = 4 + 11/13 ≈ 4,846. Q3 ở vị trí 37,5 thuộc [6;8): Q3 = 6 + (37,5−20)/25·2 = 7,4. Khoảng tứ phân vị ≈ 7,4 − 4,846 = 2,554 > 2,5 → ý a) SAI.

b) Lớp A đạt từ điểm 4 trở lên: 13+25+5 = 43; lớp B: 18+19+7 = 44. Vì 43 < 44 nên ý b) SAI.

c) Trung bình lớp A: (1+18+65+175+45)/50 = 304/50 = 6,08; lớp B: (2+12+90+133+63)/50 = 300/50 = 6,0. Phương sai lớp A: 2010/50 − 6,08² = 40,2 − 36,9664 = 3,2336, s_A ≈ 1,798. Phương sai lớp B: 1986/50 − 6² = 39,72 − 36 = 3,72, s_B ≈ 1,929. Vì s_A < s_B nên lớp 12A học đều hơn → ý c) ĐÚNG.

d) 6,08 > 6,0 nên điểm trung bình lớp 12A lớn hơn lớp 12B → ý d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Q1 ≈ 4,846; Q3 = 7,4 nên khoảng tứ phân vị ≈ 2,554 > 2,5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Lớp A có 43 học sinh đạt từ điểm 4 trở lên, lớp B có 44 học sinh.
c) (AI giải đề cho tôi)
s_A ≈ 1,798 < s_B ≈ 1,929 nên lớp 12A học đều hơn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình lớp A là 6,08 > 6,0 của lớp B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=84$. Tứ phân vị thứ nhất ở vị trí $\frac{n}{4}=21$: tích lũy đến nhóm $[0;20)$ là 10, đến $[20;40)$ là 28, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[20;40)$: $Q_1=20+\frac{21-10}{18}\cdot 20=20+\frac{110}{9}\approx 32,22$. Tứ phân vị thứ ba ở vị trí $\frac{3n}{4}=63$: tích lũy đến $[40;60)$ là 52, đến $[60;80)$ là 72, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[60;80)$: $Q_3=60+\frac{63-52}{20}\cdot 20=71$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=71-\frac{230}{9}=\frac{409}{9}\approx 38,8$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=84$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{84}{4}=21$, nằm trong nhóm $[20;40)$ nên $Q_1=20+\frac{21-10}{18}\cdot 20=20+\frac{220}{18}\approx 32,222$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 84}{4}=63$, nằm trong nhóm $[60;80)$ (cumulative đến 60 là 52) nên $Q_3=60+\frac{63-52}{20}\cdot 20=71$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=71-\frac{1100}{54}\approx 38,8$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số $n=20$. Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=2,85;x_2=3,15;x_3=3,45;x_4=3,75;x_5=4,05$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{232,47}{20}-3,39^2=11,6235-11,4921=0,1314\approx 0,13$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

Theo bảng đáp án chính thức, mã đề 1202, câu 15 (trang 11): ĐĐĐS.
a) Đúng: khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là hiệu hai đầu mút của các nhóm $=12-0=12$ (giờ).
b) Đúng: $n=50$, $\frac{n}{4}=12,5$ nên nhóm chứa $Q_1$ là nhóm thứ hai $[3;6)$, tức $Q_1$ của mẫu gốc thuộc $[3;6)$.
c) Đúng: giá trị đại diện các nhóm là $1,5;4,5;7,5;10,5$; số trung bình $\bar{x}=7,92$ và $s^2=\frac{396,18}{50}=7,9236$.
d) Sai: $Q_1=5,85$, $Q_3=9+\frac{63}{46}\approx 10,3696$ nên $\Delta Q\approx 4,5196\ne \frac{681}{460}$.
a) Khoảng biến thiên $=12-0=12$ (giờ). Đúng.
b) Cỡ mẫu $n=50$, $\frac{n}{4}=12,5$; nhóm chứa $Q_1$ là nhóm thứ hai $[3;6)$ (vì $3<12,5\le 13$). Đúng.
c) Tần số nhóm là giá trị đại diện: $x_1=1,5$, $x_2=4,5$, $x_3=7,5$, $x_4=10,5$. Số trung bình $\bar{x}=\frac{3\cdot 1,5+10\cdot 4,5+14\cdot 7,5+23\cdot 10,5}{50}=\frac{396}{50}=7,92$. Phương sai $s^2=\frac{1}{50}\sum f_i(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{396,18}{50}=7,9236$. Đúng.
d) $Q_1=3+\frac{12,5-3}{10}\cdot 3=5,85$; $Q_3=9+\frac{37,5-27}{23}\cdot 3=9+\frac{63}{46}\approx 10,3696$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 4,5196\ne \frac{681}{460}\approx 1,4804$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=200$, nên tứ phân vị thứ nhất là giá trị đứng ở vị trí $\frac{n}{4}=50$ và tứ phân vị thứ ba là giá trị đứng ở vị trí $\frac{3n}{4}=150$.

• $Q_1$: vì tần số tích lũy của nhóm $[8,5;8,8)$ là 20 < 50 và của nhóm $[8,8;9,1)$ là 55 ≥ 50, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[8,8;9,1)$ có $n_2=35$, $c{f}_1=20$:
$$Q_1=8,8+\frac{50-20}{35}\cdot 0,3=8,8+\frac{9}{35}\approx 9,0571.$$

• $Q_3$: vì tần số tích lũy của nhóm $[9,1;9,4)$ là 115 < 150 và của nhóm $[9,4;9,7)$ là 170 ≥ 150, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[9,4;9,7)$ có $n_4=55$, $c{f}_3=115$:
$$Q_3=9,4+\frac{150-115}{55}\cdot 0,3=9,4+\frac{21}{110}\approx 9,5909.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 9,5909-9,0571=0,5338\approx 0,53.$$

Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (trang 12, mã đề 1202, dòng 22): 0,53.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 121; 123; 125; 127; 129 (nghìn đồng), mỗi mẫu có $n=50$ ngày.
Mẫu $A$: số liệu 8; 9; 12; 10; 11. Trung bình ${\bar{x}}_1=\frac{8\cdot 121+9\cdot 123+12\cdot 125+10\cdot 127+11\cdot 129}{50}=\frac{6264}{50}=125,28$. Phương sai $s_1^2=\frac{8(121-125,28{)}^2+9(123-125,28{)}^2+12(125-125,28{)}^2+10(127-125,28{)}^2+11(129-125,28{)}^2}{50}=\frac{376,08}{50}=7,5216$, nên $s_1\approx 2,74$.
Mẫu $B$: số liệu 16; 4; 3; 6; 21. Trung bình ${\bar{x}}_2=\frac{16\cdot 121+4\cdot 123+3\cdot 125+6\cdot 127+21\cdot 129}{50}=\frac{6274}{50}=125,48$. Phương sai $s_2^2=\frac{16(121-125,48{)}^2+4(123-125,48{)}^2+3(125-125,48{)}^2+6(127-125,48{)}^2+21(129-125,48{)}^2}{50}=\frac{620,48}{50}=12,4096$, nên $s_2\approx 3,52$.
Vì $s_1\approx 2,74<s_2\approx 3,52$, phát biểu đúng là $s_1<s_2$, khớp với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=168-150=18$ (cm). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, Câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=175-160=15$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=50$. Các giá trị đại diện: $1,5;hinspace4,5;hinspace7,5;hinspace10,5$.

a) Sai. Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=12,5$ thuộc nhóm $[3;6)$ nên $Q_1=3+\frac{12,5-3}{10}\cdot 3=5,85$. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=37,5$ thuộc nhóm $[9;12)$ nên $Q_3=9+\frac{37,5-27}{23}\cdot 3=9+\frac{31,5}{23}\approx 10,4348$. Khoảng tứ phân vị $\approx 10,4348-5,85\approx 4,5848\ne \frac{279}{460}$.

b) Sai. $Q_1=5,85$ thuộc $[3;6)$, không thuộc $[0;3)$.

c) Sai. Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm $R=12-0=12$ (giờ), không phải 11.

d) Đúng. Số trung bình $\bar{x}=\frac{1,5\cdot 3+4,5\cdot 10+7,5\cdot 14+10,5\cdot 23}{50}=\frac{396}{50}=7,92$. Tổng bình phương: $3\cdot 1,5^2+10\cdot 4,5^2+14\cdot 7,5^2+23\cdot 10,5^2=3532,5$, nên $\frac{3532,5}{50}=70,65$. Phương sai $s^2=70,65-7,92^2=70,65-62,7264=7,9236$. Khớp đáp án mã đề 1201: S, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=5,85$, $Q_3\approx 10,4348$, khoảng tứ phân vị $\approx 4,5848\ne \frac{279}{460}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=5,85$ thuộc nhóm $[3;6)$, không thuộc $[0;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=12-0=12$ (giờ).
d) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=7,92$, $s^2=70,65-7,92^2=7,9236$.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 42,5; 47,5; 52,5; 57,5; 62,5; 67,5 với tần số 4; 14; 8; 10; 6; 2. Tần số cộng $n=44$. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{4\cdot 42,5+14\cdot 47,5+8\cdot 52,5+10\cdot 57,5+6\cdot 62,5+2\cdot 67,5}{44}=\frac{2340}{44}\approx 53,18$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=4\cdot 1806,25+14\cdot 2256,25+8\cdot 2756,25+10\cdot 3306,25+6\cdot 3906,25+2\cdot 4556,25=126475$. Phương sai: $s^2=\frac{126475}{44}-{\left(\frac{2340}{44}\right)}^2\approx 46,1$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số của $M_2$ gấp đúng 2 lần tần số của $M_1$ tại mỗi nhóm (6=2·3, 8=2·4, 16=2·8, 12=2·6, 8=2·4), với cùng các nhóm $[8;10),[10;12),[12;14),[14;16),[16;18)$. Gọi $x_i$ là giá trị đại diện các nhóm, $n_1=25$, $n_2=50=2n_1$. Khi đó:
$${\bar{x}}_2=\frac{\sum 2n_i{x}_i}{2n_1}=\frac{\sum n_i{x}_i}{n_1}={\bar{x}}_1,$$
và phương sai:
$$s_2^2=\frac{\sum 2n_i{x}_i^2}{2n_1}-{\bar{x}}_2^2=\frac{\sum n_i{x}_i^2}{n_1}-{\bar{x}}_1^2=s_1^2.$$
Vậy $s_1=s_2$, chọn đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=20$. Tần số tích lũy: $3;9;14;18;20$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=5$, thuộc nhóm $[3,0;3,3)$ (vì tần số tích lũy trước nhóm là 3):
$$Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,0+0,1=3,1.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=15$, thuộc nhóm $[3,6;3,9)$ (vì tần số tích lũy trước nhóm là 14):
$$Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,6+0,075=3,675.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575.$$

Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\overline{x}=\frac{4.42,5+14.47,5+8.52,5+10.57,5+6.62,5+2.67,5}{44}=\frac{585}{11}$. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s^2=\frac{4{\left(42,5-\frac{585}{11}\right)}^2+14{\left(47,5-\frac{585}{11}\right)}^2+8{\left(52,5-\frac{585}{11}\right)}^2+10{\left(57,5-\frac{585}{11}\right)}^2}{44}$ $+\frac{6{\left(62,5-\frac{585}{11}\right)}^2+2.{\left(67,5-\frac{585}{11}\right)}^2}{44}\approx 46,12$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=x_M-x_m=10-3=7$. Vậy chọn đáp án A.