Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 14,5; 15,5; 16,5; 17,5; 18,5 với tần số 1; 3; 8; 6; 2 (n = 20).
a) Giá trị đại diện nhóm [15;16) là (15+16)/2 = 15,5 → đúng.
b) x̄ = (14,5·1 + 15,5·3 + 16,5·8 + 17,5·6 + 18,5·2)/20 = 335/20 = 16,75 ≠ 16,25 → sai.
c) E(X²) = (210,25·1 + 240,25·3 + 272,25·8 + 306,25·6 + 342,25·2)/20 = 5631/20 = 281,55; s² = 281,55 − 16,75² = 281,55 − 280,5625 = 0,9875 → đúng.
d) s = √0,9875 = √(395/400) = √395/20 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Giá trị đại diện của nhóm [15;16) là (15+16)/2 = 15,5.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) x̄ = 335/20 = 16,75, không phải 16,25.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) s² = 281,55 − 16,75² = 0,9875.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) s = √0,9875 = √395/20.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$. Tần số tích lũy: 3, 15, 30, 54, 56.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=14$, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[12,5;15,5)$ (tần số tích lũy trước là 3, tần số nhóm 12):
$$Q_1=12,5+\frac{3(14-3)}{12}=12,5+2,75=15,25.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=42$, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[18,5;21,5)$ (tần số tích lũy trước là 30, tần số nhóm 24):
$$Q_3=18,5+\frac{3(42-30)}{24}=18,5+1,5=20.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=20-15,25=4,75\text{ (phuˊt)}.$$

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là $c{f}_1=3,c{f}_2=9,c{f}_3=28,c{f}_4=51,c{f}_5=60$. Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{60}{4}=15$ mà $9<15<28$ suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15. Xét nhóm 3 là nhóm $[60;70]$ có $s=60,h=10,n_3=19$ và nhóm 2 là nhóm $[50;60]$ có $c{f}_2=9$. Ta có tứ phân vị thứ nhất là: $Q_1=s+\left(\frac{15-c{f}_2}{n_3}\right)\cdot h=60+\left(\frac{15-9}{19}\right)\cdot 10=\frac{1200}{19}$. Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.60}{4}=45$ mà $28<45<51$ suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 45. Xét nhóm 4 là nhóm $[70;80]$ có $t=70,l=10,n_4=23$ và nhóm 3 là nhóm $[60;70]$ có $c{f}_3=28$. Ta có tứ phân vị thứ ba là: $Q_3=t+\left(\frac{45-c{f}_3}{n_4}\right)\cdot l=70+\left(\frac{45-28}{23}\right)\cdot 10=\frac{1780}{23}$. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $Q_3-Q_1=\frac{1780}{23}-\frac{1200}{19}\approx 14,23$

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 3, 6, 5, 4, 2 (n = 20). Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$, $x_5=4,05$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.
Phương sai: $s^2=\frac{3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2}{20}=\frac{2,628}{20}=0,1314$.
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,1314}\approx 0,3625\approx 0,36$. Vậy chọn D.

Ta có khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: $11-6=5$.

Cỡ của mẫu số liệu là: $n=15+10+5+2=32$. a) Đúng: Giá trị đại diện của nhóm thứ I, II, III, IV theo chiều từ trái sang phải lần lượt là: $x_1=\frac{0+10}{2}=5$, $x_2=\frac{10+20}{2}=15$, $x_3=\frac{20+30}{2}=25$, $x_4=\frac{30+40}{2}=35$. b) Sai: Thời gian trung bình dùng Facebook của mỗi bạn trong lớp 12C1 là: $\overline{x}=\frac{1}{32}\left(15.5+10.15+5.25+2.35\right)=13,125$. c) Đúng: Phương sai của mẫu số liệu trên là $s^2=\frac{1}{32}\left[15.(5{)}^2+10.(15{)}^2+5.(25{)}^2+2.(35{)}^2\right]-(13,125{)}^2\approx 251$. d) Sai: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: $s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{251}\approx 15,8$.
a) Đúng: Giá trị đại diện của nhóm thứ I, II, III, IV theo chiều từ trái sang phải lần lượt là: $x_1=\frac{0+10}{2}=5$, $x_2=\frac{10+20}{2}=15$, $x_3=\frac{20+30}{2}=25$, $x_4=\frac{30+40}{2}=35$.
b) Sai: Thời gian trung bình dùng Facebook của mỗi bạn trong lớp 12C1 là: $\overline{x}=\frac{1}{32}\left(15.5+10.15+5.25+2.35\right)=13,125$.
c) Đúng: Phương sai của mẫu số liệu trên là $s^2=\frac{1}{32}\left[15.(5{)}^2+10.(15{)}^2+5.(25{)}^2+2.(35{)}^2\right]-(13,125{)}^2\approx 251$.
d) Sai: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: $s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{251}\approx 15,8$.

Ta có $Q_1=10+\frac{\frac{25}{4}-4}{6}.2=10,75$ và $Q_3=14+\frac{\frac{25.3}{4}-4-6-8}{4}.2=14,375$. Do đó ${\Delta }_Q=14,375-10,75=3,625$. Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, làm tròn đến hàng phần chục, là ${\Delta }_Q\approx 3,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=18-3=15$ ($m^3$). Vậy chọn A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2022, câu 11: A).

a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm: 3, 6, 5, 4, 2 với $N=20$. Giá trị đại diện: $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$, $x_5=4,05$. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\left[3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2\right]=\frac{2,628}{20}=0,1314\approx 0,13$. Vậy chọn B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=2,85;x_2=3,15;x_3=3,45;x_4=3,75;x_5=4,05$ với tần số $n_i=3;6;5;4;2$, $N=20$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3(2,85)+6(3,15)+5(3,45)+4(3,75)+2(4,05)}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.
Tính $\frac{\sum n_i{x}_i^2}{N}$: $3(8,1225)+6(9,9225)+5(11,9025)+4(14,0625)+2(16,4025)=232,47$, nên $\frac{232,47}{20}=11,6235$.
Phương sai: $s^2=11,6235-3,39^2=11,6235-11,4921=0,1314\approx 0,13$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=18-3=15(m^3)$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án của đề (mã đề 1101, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 5,10,9,4,2; n=30. Khoảng biến thiên = 300 − 50 = 250 km → a) Đúng. Tần suất gốc: 75,125,175,225,275; trung bình = 4650/30 = 155. Phương sai = [5·80² + 10·30² + 9·20² + 4·70² + 2·120²]/30 = 93000/30 = 3100 > 3000 → c) Sai. Độ lệch chuẩn = √3100 ≈ 55,68 → b) Đúng. Q1 = 100 + (7,5−5)/10·50 = 112,5; Q3 = 150 + (22,5−15)/9·50 ≈ 191,67; IQR ≈ 79,17 → d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 − 50 = 250 (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình 155, phương sai 3100, s = √3100 ≈ 55,68.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai = 3100 > 3000.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 112,5; Q3 ≈ 191,67; IQR ≈ 79,17.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$. Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1$ là giá trị thứ $\frac{n}{4}=5$. Lũy tích: 3, 9, 14, 18, 20 nên giá trị thứ 5 nằm trong nhóm $[3,0;3,3)$ có 6 giá trị: $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$. Tứ phân vị thứ ba: $Q_3$ là giá trị thứ $\frac{3n}{4}=15$, nằm trong nhóm $[3,6;3,9)$ có 4 giá trị: $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$. Kết quả trùng với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu ghép nhóm có n = 27, giá trị đại diện các nhóm lần lượt là 2,5; 5,5; 8,5; 11,5; 14,5; 17,5.
a) Khoảng biến thiên R = 19 − 1 = 18 → Đúng.
b) x̄ = (2·2,5 + 4·5,5 + 7·8,5 + 5·11,5 + 6·14,5 + 3·17,5)/27 = 283,5/27 = 10,5 → Đúng.
c) Σf·x² = 2·6,25 + 4·30,25 + 7·72,25 + 5·132,25 + 6·210,25 + 3·306,25 = 3480,75 nên s² = 3480,75/27 − 10,5² = 128,9167 − 110,25 ≈ 18,7 ≠ 21,5 → Sai.
d) n/4 = 6,75; tần số tích lũy: 2, 6, 13 nên Q₁ thuộc nhóm [7;10): Q₁ = 7 + (6,75 − 6)/7 · 3 = 7 + 2,25/7 ≈ 7,3 ≠ 7,1 → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 19 − 1 = 18.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = 283,5/27 = 10,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
s² = 3480,75/27 − 110,25 ≈ 18,7 ≠ 21,5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q₁ = 7 + (6,75 − 6)/7 · 3 = 7 + 2,25/7 ≈ 7,3 ≠ 7,1.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=24-0=24$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 2793: 24).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=3+4+7+2+5+2=23$. Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge \frac{n}{4}=5,75$, tức nhóm $[3;5)$ (tần số tích lũy 7). Suy ra $Q_1=3+\frac{5,75-3}{4}\cdot 2=4,375$. Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge \frac{3n}{4}=17,25$, tức nhóm $[9;11)$ (tần số tích lũy 21). Suy ra $Q_3=9+\frac{17,25-16}{5}\cdot 2=9,5$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,5-4,375=5,125$. Khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=16-4=12$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2793, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm: $x_1=2,5;x_2=5,5;x_3=8,5;x_4=11,5;x_5=14,5;x_6=17,5$ với tần số $n_i=2;3;4;3;3;1$, nên $n=16$.

Tần số tích lũy: $2;5;9;12;15;16$, nên nhóm chứa trung bình là $[7;10)$, tuy nhiên ở đây chỉ cần tính độ lệch chuẩn.

Tổng: $\sum n_i{x}_i=2(2,5)+3(5,5)+4(8,5)+3(11,5)+3(14,5)+1(17,5)=5+16,5+34+34,5+43,5+17,5=151$.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{151}{16}=9,4375$.

Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=2(6,25)+3(30,25)+4(72,25)+3(132,25)+3(210,25)+1(306,25)=12,5+90,75+289+396,75+630,75+306,25=1726$.

Phương sai: $S^2=\frac{1726}{16}-(9,4375{)}^2=107,875-89,0664\approx 18,8086$.

Độ lệch chuẩn: $S=\sqrt{18,8086}\approx 4,337\approx 4,3$.

Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2793, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm là giá trị đại diện: 1, 3, 5, 7, 9, 11 với tần số 2, 3, 6, 3, 4, 1; n = 19. Trung bình: $\bar{x}=\frac{2\cdot 1+3\cdot 3+6\cdot 5+3\cdot 7+4\cdot 9+1\cdot 11}{19}=\frac{109}{19}\approx 5,7368$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=2\cdot 1+3\cdot 9+6\cdot 25+3\cdot 49+4\cdot 81+1\cdot 121=771$, nên $\frac{771}{19}\approx 40,5789$. Phương sai: $S^2=40,5789-(5,7368{)}^2\approx 7,67\approx 7,7$. Khớp với đáp án nguồn C.