Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $x^2+y^2-10y-24=0$ có dạng $x^2+(y-5{)}^2=49$ (tâm $I(0;5)$). Bán kính $R=\sqrt{49}=7$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, ta có $I(1;-2)$ và $R^2=1^2+(-2{)}^2-1=4\Rightarrow R=2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+2y-1=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a=2$, $b=-1$, $c=-1$. Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(-1;2)$ và $R^2=9\Rightarrow R=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$, bán kính $R=\sqrt{9}=3$. So sánh: $a=1$, $-b=2\Rightarrow b=-2$. Vậy tâm $I(1;-2)$, $R=3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+y^2+6x-2y+6=0$ ta có $a=6,b=-2,c=6$. Tâm $I\left(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2}\right)=I(-3;1)$, bán kính $R=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}=\sqrt{9+1-6}=2$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương trình: A có $(2x-5{)}^2+(y+4{)}^2=9$ với hệ số của $x^2$ là 4 khác hệ số của $y^2$ là 1 nên không phải phương trình đường tròn. B có dấu trừ giữa hai bình phương nên là phương trình hypebol. C tương đương $(x+2{)}^2+(y+5{)}^2=-16<0$ vô nghiệm. D viết lại $x^2+(y+2{)}^2=7$ là phương trình đường tròn tâm $(0;-2)$ bán kính $\sqrt{7}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ cần hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau (bằng 1) và $a^2+b^2-c>0$.
- A: $x^2+y^2-2x-8y+20=0\iff (x-1{)}^2+(y-4{)}^2=-3<0$: không là đường tròn.
- B: hệ số $4x^2\ne y^2$: không là đường tròn.
- C: $x^2+y^2-4x+6y-12=0\iff (x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$: là đường tròn tâm $(2;-3)$ bán kính $5$.
- D: hệ số $x^2\ne 2y^2$: không là đường tròn.
Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+2mx+2(m-1)y+2m^2=0$ có hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng 1 (bằng nhau và khác 0), nên là phương trình đường tròn khi bán kính dương: $R^2=m^2+(m-1{)}^2-2m^2=m^2-2m+1-m^2=1-2m>0\iff m<\frac{1}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(1;-3)$, bán kính $R=\sqrt{8}$ có phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$, tức $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=(\sqrt{8}{)}^2=8$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(3-2{)}^2+(2+1{)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$, nên $R^2=10$. Phương trình đường tròn: $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=10$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm I(2; 2) đến tiếp tuyến d: $4x+3y-4=0$: $R=\frac{|4\cdot 2+3\cdot 2-4|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{10}{5}=2$. Suy ra $R^2=4$ và phương trình đường tròn là $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm I là trung điểm AB: I(0; 3). Bán kính R = ½·AB, với AB = √((−1−1)² + (4−2)²) = √8 = 2√2 nên R² = 2. Phương trình đường tròn: x² + (y−3)² = 2. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Thay A(-1; 1): $2a-2b+c=-2$; thay B(3; 1): $-6a-2b+c=-10$; thay C(1; 3): $-2a-6b+c=-10$. Trừ phương trình thứ nhất cho thứ hai: $8a=8\Rightarrow a=1$. Trừ phương trình thứ nhất cho thứ ba: $4b=4\Rightarrow b=1$, suy ra $c=-2$. Kiểm tra lại bằng trung trực: trung điểm AB là (1; 1), AB nằm ngang nên trung trực của AB là $x=1$; trung điểm AC là (0; 2), hệ số góc AC = $\frac{3-1}{1+1}=1$ nên trung trực của AC có hệ số góc $-1$ đi qua (0; 2): $y=-x+2$. Giao hai trung trực: tâm $I(1;1)$. Bán kính $IA=\sqrt{(-2{)}^2+0^2}=2$. Phương trình: $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4\iff x^2+y^2-2x-2y-2=0$. Thử lại với C(1; 3): $1+9-2-6-2=0$ ✓. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2=25$ có tâm $I(0;0)$, bán kính $R=5$. Kiểm tra $A(3;4)$: $3^2+4^2=9+16=25$ nên $A$ thuộc $(C)$. Tiếp tuyến tại $A$ nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IA}=(3;4)$, phương trình: $3(x-3)+4(y-4)=0\iff 3x+4y-25=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn (C): $x^2+y^2+4x+4y-17=0$ có tâm $I(-2;-2)$, bán kính $R=\sqrt{4+4+17}=5$. Kiểm tra $A(2;1)$ thuộc (C): $4+1+8+4-17=0$ ✓. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(4;3)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại A. Phương trình tiếp tuyến: $4(x-2)+3(y-1)=0\iff 4x+3y-11=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
(C): x²+y²−6x−2y−15=0 ⇔ (x−3)²+(y−1)²=25, tâm I(3;1), R=5. a) Thay A(0;5): 0+25−0−10−15=0 → A thuộc (C), đúng. b) Đường kính = 2R = 10 ≠ 5, sai. c) B(6;−3): 36+9−36+6−15=0 nên B thuộc (C); IB=(3;−4), tiếp tuyến: 3(x−6)−4(y+3)=0 ⇔ 3x−4y−30=0 ≠ 4x−5y−39=0, sai. d) d(I,(d))=|4·3+3·1+10|/5=25/5=5=R nên (d) tiếp tuyến, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(0;5) vào phương trình: 0+25−0−10−15=0 nên A thuộc (C).
b) (AI giải đề cho tôi)
R=5 nên đường kính bằng 10, không phải 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
B thuộc (C), tiếp tuyến tại B: 3x−4y−30=0, khác 4x−5y−39=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(I,(d))=|12+3+10|/5=5=R nên (d) là tiếp tuyến của (C).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5: a) Đường tròn tâm I(5;-2), bán kính R=7 có phương trình: $(x-5{)}^2+(y+2{)}^2=49$.

b) Vì (C) tiếp xúc với Δ: 4x-3y+5=0 nên bán kính bằng khoảng cách từ I(1;-2) đến Δ: $R=\frac{|4\cdot 1-3\cdot (-2)+5|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|4+6+5|}{5}=3$. Phương trình: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$.

c) Tâm là trung điểm AB: $I\left(\frac{2+4}{2};\frac{-9+1}{2}\right)=(3;-4)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(4-2{)}^2+(1+9{)}^2}}{2}=\frac{\sqrt{104}}{2}=\sqrt{26}$. Phương trình: $(x-3{)}^2+(y+4{)}^2=26$.

d) Viết phương trình dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Thay tọa độ ba điểm:
- M(2;-1): $5-4a+2b+c=0$
- N(1;3): $10-2a-6b+c=0$
- P(0;2): $4-4b+c=0\Rightarrow c=4b-4$

Thay vào hai phương trình đầu: $-4a+6b+1=0$ và $-2a-2b+6=0\Rightarrow a+b=3$. Suy ra $-4(3-b)+6b+1=0\Rightarrow 10b=11\Rightarrow b=\frac{11}{10}$, $a=\frac{19}{10}$, $c=\frac{22}{5}-4=\frac{2}{5}$.

Vậy tâm $I\left(\frac{19}{10};\frac{11}{10}\right)$, $R^2=a^2+b^2-c=\frac{361}{100}+\frac{121}{100}-\frac{40}{100}=\frac{221}{50}$.

Phương trình: $x^2+y^2-\frac{19}{5}x-\frac{11}{5}y+\frac{2}{5}=0$, tức ${\left(x-\frac{19}{10}\right)}^2+{\left(y-\frac{11}{10}\right)}^2=\frac{221}{50}$.

Kiểm tra: M(2;-1): $5-\frac{38}{5}+\frac{11}{5}+\frac{2}{5}=0$ ✓; N(1;3): $10-\frac{19}{5}-\frac{33}{5}+\frac{2}{5}=0$ ✓; P(0;2): $4-\frac{22}{5}+\frac{2}{5}=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Đường tròn (1): $x^2+y^2-4x+8y-5=0$.
a) Ta có $x^2-4x=(x-2{)}^2-4$ và $y^2+8y=(y+4{)}^2-16$, nên (1) tương đương $(x-2{)}^2+(y+4{)}^2=25$. Vậy tâm $I(2;-4)$, bán kính $R=5$.
b) Kiểm tra $A(-1;0)$: $(-1-2{)}^2+(0+4{)}^2=9+16=25=R^2$, nên $A$ thuộc đường tròn. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(-3;4)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$. Phương trình tiếp tuyến: $-3(x+1)+4(y-0)=0$, tức $-3x+4y-3=0$, hay $3x-4y+3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: (C): $(x-3{)}^2+(y+5{)}^2=37$.
a) So sánh với dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ ta được tâm $I(3;-5)$, bán kính $R=\sqrt{37}$.
b) Kiểm tra $M(4;1)$: $(4-3{)}^2+(1+5{)}^2=1+36=37$ nên $M\in (C)$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(4-3;1+5)=(1;6)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. Phương trình tiếp tuyến: $1(x-4)+6(y-1)=0\iff x+6y-10=0$. Vậy tiếp tuyến tại $M$ là $x+6y-10=0$.