Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $x^2+y^2=25$ có tâm $O(0;0)$, bán kính $R=5$. Điểm $M(3;4)$ nằm trên đường tròn vì $3^2+4^2=9+16=25$. Khi văng khỏi quỹ đạo tròn, vật bay theo hướng tiếp tuyến tại $M$, nên quỹ đạo là tiếp tuyến của đường tròn tại $M$. Vectơ $\overrightarrow{OM}=(3;4)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến, nên tiếp tuyến có dạng $3x+4y+C=0$. Thay tọa độ $M(3;4)$: $3\cdot 3+4\cdot 4+C=0\Rightarrow 9+16+C=0\Rightarrow C=-25$. Vậy trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng $3x+4y-25=0$ (tức $3x+4y=25$).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là đường tròn khi $a^2+b^2-c>0$. A: $x^2+y^2-y=0$ có $a^2+b^2-c=0+\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}>0$ (tâm $(0;\frac{1}{2})$, $R=\frac{1}{2}$). B: $x^2+y^2-100y+1=0$ có $0+2500-1=2499>0$ (tâm $(0;50)$, $R=\sqrt{2499}$). C: $x^2+y^2-2=0$ có $R=\sqrt{2}>0$. D: $x^2+y^2-x+y+4=0$ có $a^2+b^2-c=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-4=-\frac{7}{2}<0$, nên không xác định đường tròn nào. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (mã đề 102, câu 10: D).

Lời giải



Quỹ đạo chuyển động là $(C):(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=4$.

$AB$ đi qua $A(-3;2)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(5;5)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=(1;-1)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là: $x-y+5=0$.

Ta có: $d(I;AB)=IH=\frac{|3-3+5|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}>R$ nên đường thẳng $AB$ và đường tròn $(C)$ không có điểm chung và gọi $K$ là giao điểm của $IH$ và đường tròn nên $HK=IH-IK=\frac{5}{\sqrt{2}}-2$.

$+$) Xét $M\in (C),N\in AB$ ta có $MN\ge IN-IM=IN-IK\ge IH-IK=HK=\frac{5}{\sqrt{2}}-2$.

(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tương ứng)

(AI giải đề cho tôi)
Xét dạng tổng quát $x^2+y^2-2ax+2by+c=0$ với điều kiện là đường tròn: $a^2+b^2-c>0$.
- A: $x^2+y^2-y=0\iff x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$: đường tròn tâm $\left(0;\frac{1}{2}\right)$, bán kính $\frac{1}{2}$.
- B: $x^2+y^2-100y+1=0\iff x^2+(y-50{)}^2=2499$: đường tròn tâm $(0;50)$, bán kính $\sqrt{2499}$.
- C: $x^2+y^2-x+y+4=0$ có $a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2},c=4$, khi đó $a^2+b^2-c=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-4=-\frac{7}{2}<0$: không phải đường tròn.
- D: $x^2+y^2=2$: đường tròn tâm $O(0;0)$, bán kính $\sqrt{2}$.
Vậy phương trình không phải đường tròn là C, trùng với đáp án của đề (mã đề 101, câu 1: C).

Lời giải



Quỹ đạo chuyển động là $(C):(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=4$.

$AB$ đi qua $A(-3;2)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(5;5)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=(1;-1)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là: $x-y+5=0$.

Ta có: $d(I;AB)=IH=\frac{|3-3+5|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}>R$ nên đường thẳng $AB$ và đường tròn $(C)$ không có điểm chung và gọi $K$ là giao điểm của $IH$ và đường tròn nên $HK=IH-IK=\frac{5}{\sqrt{2}}-2$.

$+$) Xét $M\in (C),N\in AB$ ta có $MN\ge IN-IM=IN-IK\ge IH-IK=HK=\frac{5}{\sqrt{2}}-2$.

(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tương ứng)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường tròn $(C):(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ nên tâm $I(2;-3)$ và bán kính $R=5$.

b) Kiểm tra $M(-1;1)$ thuộc $(C)$: $(-1-2{)}^2+(1+3{)}^2=9+16=25=R^2$, đúng.

Tiếp tuyến tại $M$ có phương trình: $(x_M-a)(x-a)+(y_M-b)(y-b)=R^2$
$$(-1-2)(x-2)+(1+3)(y+3)=25$$
$$-3(x-2)+4(y+3)=25\Rightarrow -3x+6+4y+12=25$$
$$\Rightarrow -3x+4y-7=0$$
Vậy tiếp tuyến tại $M$ là $-3x+4y-7=0$ (hay $3x-4y+7=0$).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đưa phương trình về dạng chính tắc: $x^2+y^2-2x-6y+1=0\iff (x-1{)}^2+(y-3{)}^2=9$. Vậy tâm $I(1;3)$, bán kính $R=3$.

b) Kiểm tra: $IM=\sqrt{(-2-1{)}^2+(3-3{)}^2}=3=R$, nên $M$ thuộc $(C)$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(-3;0)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. Phương trình tiếp tuyến: $-3(x+2)+0(y-3)=0\iff x=-2$. Vậy tiếp tuyến tại $M$ là đường thẳng $x=-2$ (đường thẳng đứng, vuông góc với bán kính nằm ngang $IM$).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là đường tròn khi $a^2+b^2-c>0$. Xét A: $x^2+y^2-4x+5y+2=0$ có $a=2,b=-\frac{5}{2},c=2$, nên $R^2=4+\frac{25}{4}-2=\frac{33}{4}>0$: là đường tròn tâm $(2;-\frac{5}{2})$ bán kính $\frac{\sqrt{33}}{2}$. B có chứa số hạng $-4xy$ nên không phải đường tròn. C có hệ số của $x^2$ và $y^2$ khác nhau ($1$ và $2$) nên không phải đường tròn. D: $R^2=49+1-2018=-1968<0$ nên không xác định đường tròn. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+6y-1=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $-2a=-2\Rightarrow a=1$ và $-2b=6\Rightarrow b=-3$. Vậy tâm là $I(1;-3)$, bán kính $R=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(3;-2)$ tiếp xúc với $\Delta :x-2y+3=0$ có bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$: $R=d(I,\Delta )=\frac{|3-2(-2)+3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$, nên $R^2=20$. Vậy phương trình đường tròn là $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=20$, khớp đáp án A (bảng đáp án mã đề 102, Câu 12: A). Ghi chú: trang 2/3 của đề gốc in phương án B và C giống hệt nhau, cả hai đều là $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=10$; đây là lỗi trùng lặp trong bản in nguồn, được giữ nguyên theo quy tắc không sửa lỗi in của đề nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm I(-1;2) đến Δ: x-2y+7=0. d(I,Δ)=|(-1)-2·2+7|/√(1²+(-2)²)=|2|/√5=2/√5.
a) Sai: d(I,Δ)=2/√5, không phải 3/√5.
b) Sai: véc tơ pháp tuyến của Δ là (1;-2) (hoặc (-1;2)), không phải (2;1) — (2;1) không vuông góc với véc tơ chỉ phương (2;1) của Δ.
c) Sai (theo cách hiểu của đề): Δ chính là một tiếp tuyến của (C), nên ngoài Δ chỉ có đúng một đường thẳng khác song song với Δ và tiếp xúc với (C); do đó không có hai đường thẳng (phân biệt, khác Δ) song song với Δ và tiếp xúc với (C).
d) Đúng: R²=(2/√5)²=4/5, tâm I(-1;2) nên phương trình đường tròn là (x+1)²+(y-2)²=4/5.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(I,Δ)=|(-1)-2·2+7|/√5=2/√5 ≠ 3/√5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Véc tơ pháp tuyến của Δ: x-2y+7=0 là (1;-2), không phải (2;1).
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ đã là tiếp tuyến của (C), nên chỉ còn đúng một đường thẳng khác Δ song song với Δ và tiếp xúc với (C).
d) (AI giải đề cho tôi)
R=d(I,Δ)=2/√5 nên R²=4/5; phương trình: (x+1)²+(y-2)²=4/5.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay hiển thị trên ra-đa khi $OM\le 500$, tức $x^2+y^2\le 250000$. Với $x=\frac{1600-1400t}{3},y=\frac{1900-1400t}{3}$, nhân cả hai vế với 9: $(1600-1400t{)}^2+(1900-1400t{)}^2\le 2250000$. Khai triển: $2560000-4480000t+1960000t^2+3610000-5320000t+1960000t^2\le 2250000$, tức $3920000t^2-9800000t+3920000\le 0$, chia cho $1960000$: $2t^2-5t+2\le 0\iff \frac{1}{2}\le t\le 2$. Vậy máy bay rời màn hình ra-đa tại $t=2$ giờ, tức lúc $7+2=9$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III câu 3 = 9).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với điều kiện $a^2+b^2-c>0$. A có chứa hạng tử $-4xy$ nên không phải đường tròn. B có hệ số $y^2$ bằng 2 nên không phải. D: $x^2+y^2-14x+2y+2018=0$ có $R^2=49+1-2018=-1968<0$ nên không là đường tròn. C: $x^2+y^2-4x+5y+2=0$ có $R^2=(-2{)}^2+(5/2{)}^2-2=4+25/4-2=33/4>0$, nên là đường tròn tâm $(2;-5/2)$ bán kính $R=\sqrt{33}/2$. Khớp với đáp án nguồn C.

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}=(3;4)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=(4;-3)$. [0,25 điểm]
Phương trình tổng quát của $BC$ là:
$$4(x+1)-3(y+1)=0\iff 4x-3y+1=0.$$ [0,25 điểm]
b) Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có dạng tổng quát:
$$(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0\text{ ( với }{a}^2+b^2-c>0\text{)}.$$
Vì $A,B,C$ thuộc đường tròn $(C)$ nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình đường tròn. Ta có hệ:
$$\{\begin{array}{l}{1}^2+2^2-2a-4b+c=0\\ (-1{)}^2+(-1{)}^2-2a(-1)-2b(-1)+c=0\\ 2^2+3^2-4a-6b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2a-4b+c=-5\\ 2a+2b+c=-2\\ -4a-6b+c=-13\end{array}$$ [0,25 điểm]
Giải hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}a=\frac{21}{2}\\ b=-\frac{13}{2}\\ c=-10\end{array}$$
Thay $a,b,c$ vào phương trình tổng quát: $x^2+y^2-21x+13y-10=0$. [0,25 điểm]

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính là khoảng cách từ $I(3;-2)$ đến $\Delta :x-2y+3=0$: $R=\frac{|3-2(-2)+3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$, nên $R^2=20$. Phương trình đường tròn: $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=20$, khớp với đáp án D (khớp với đáp án key D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+y^2-2x+6y-1=0$, ta có $-2a=-2\Rightarrow a=1$ và $2b=6\Rightarrow b=-3$. Vậy tâm của $(C)$ là $I(1;-3)$, khớp với đáp án B và bảng đáp án mã đề 101 (Câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) $AB=\sqrt{(4-2{)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Đường tròn tâm $A(2;1)$ bán kính $2\sqrt{5}$: $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=20\iff x^2+y^2-4x-2y-15=0$. Đúng.
b) $\Delta$ có VTCP $(2;-1)$ nên đường vuông góc với $\Delta$ có VTCP $(1;2)$, qua $A(2;1)$: $2(x-2)-(y-1)=0\iff 2x-y-3=0$. Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}=(2;4)=2(1;2)$ nên $\vec{u}=(1;2)$ là một VTCP của $AB$. Đúng.
d) $d(A,\Delta )=\frac{|2+2-9|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$. Nửa dây $MN=\sqrt{A{B}^2-d^2}=\sqrt{20-5}=\sqrt{15}$, nên $MN=2\sqrt{15}$. Diện tích $S_{AMN}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{15}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\ne 4\sqrt{5}$. Sai. Khớp đáp án chính thức (mã 1002): Đ Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB=2\sqrt{5}$, $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=20\iff x^2+y^2-4x-2y-15=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường vuông góc với $\Delta$ có VTCP $(1;2)$, qua $A(2;1)$: $2x-y-3=0$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;4)=2(1;2)$ nên $(1;2)$ là một VTCP. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,\Delta )=\sqrt{5}$, $MN=2\sqrt{15}$, $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{15}\cdot \sqrt{5}=5\sqrt{3}\ne 4\sqrt{5}$. Sai.

a) Ta có: ${\vec{n}}_1=(2;-1)$, ${\vec{n}}_2=(1;1)$. $\cos (d_1,d_2)=\frac{|2.1+(-1).1|}{\sqrt{5}.\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
b) $B\in d_2$ và $x_B=-1\Rightarrow y_B=-2\Rightarrow B(-1;-2)$. Tâm $I\in d_1\Rightarrow I(t;2t-2)$. Vì đường tròn tiếp xúc $d_2$ tại $B$ nên $IB\perp d_2$. VTCP của $d_2$ là $\vec{u}=(1;-1)$. $\overrightarrow{IB}=(-1-t;-2t)$. $\overrightarrow{IB}.\vec{u}=0\iff -1-t+2t=0\iff t=1\Rightarrow I(1;0)$. Bán kính $R=IB=\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm AB: I(2; 3). Bán kính R = AB/2, với AB = √((3−1)² + (5−1)²) = √20 = 2√5 nên R = √5, R² = 5. Phương trình: (x − 2)² + (y − 3)² = 5. Khớp đáp án C và bảng đáp án (Câu 3, mã 1002: C).