Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax+2by+c=0$ phải có hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau (bằng 1) và $a^2+b^2-c>0$.
- A: $4x^2+y^2-10x-6y-2=0$ có hệ số $x^2\ne y^2$ → loại.
- B: $x^2+y^2-4x+6y-12=0$: tâm $(2;-3)$, $R^2=2^2+(-3{)}^2+12=25>0$ → là đường tròn.
- C: $x^2+2y^2-4x-8y+1=0$ có hệ số $x^2\ne y^2$ → loại.
- D: $x^2+y^2-2x-8y+20=0$: $R^2=1^2+4^2-20=-3<0$ → không là đường tròn.
Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^2+y^2-5y=0\iff x^2+(y-\frac{5}{2}{)}^2=\frac{25}{4}$. Vậy bán kính $R=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2,5$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+4mx-2my+2m+3=0$ là đường tròn khi $R^2=(2m{)}^2+(-m{)}^2-(2m+3)=5m^2-2m-3>0$. Giải: $5m^2-2m-3=(5m+3)(m-1)>0\Rightarrow m<-\frac{3}{5}$ hoặc $m>1$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x+5{)}^2+(y-4{)}^2=16$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(-5;4)$ và $R=\sqrt{16}=4$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$(C):x^2+y^2+4x+6y-12=0\iff (x+2{)}^2+(y+3{)}^2=25$. Tâm $I(-2;-3)$, bán kính $R=5$. a) Sai vì tâm là $I(-2;-3)$ chứ không phải $(2;3)$. b) Đúng, $R=\sqrt{4+9+12}=5$. c) Đúng, đúng dạng khai triển. d) Thay $M(2;-6)$: $4+36+8-36-12=0$, nên $M$ thuộc đường tròn → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn là $I(-2;-3)$, không phải $I(2;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=\sqrt{2^2+3^2+12}=\sqrt{25}=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(x+2{)}^2+(y+3{)}^2=25$ khai triển ra đúng phương trình đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(2;-6)$: $4+36+8-36-12=0$ nên $M$ thuộc $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$ thuộc $d:2x-y-5=0$ nên $b=2a-5$, tức $I(a;2a-5)$. Vì đường tròn đi qua $A(1;2)$ và $B(4;1)$ nên $IA=IB$: $(a-1{)}^2+(2a-7{)}^2=(a-4{)}^2+(2a-6{)}^2$. Khai triển: $a^2-2a+1+4a^2-28a+49=a^2-8a+16+4a^2-24a+36$, suy ra $-30a+50=-32a+52$, nên $2a=2\Rightarrow a=1$. Vậy $I(1;-3)$. Bán kính $R=IA=\sqrt{(1-1{)}^2+(-3-2{)}^2}=\sqrt{25}=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(t;\frac{2-t}{2})$ thuộc $d:x+2y-2=0$. Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :3x-4y-11=0$ bằng $R=5$: $\frac{|3t-4\cdot \frac{2-t}{2}-11|}{5}=\frac{|5t-15|}{5}=|t-3|=5$, suy ra $t=8$ hoặc $t=-2$. Vì hoành độ dương nên $t=8$, $I(8;-3)$. Phương trình đường tròn: $(x-8{)}^2+(y+3{)}^2=25\iff x^2+y^2-16x+6y+48=0$. So sánh với $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ ta có $a=8,b=-3,c=48$, do đó $a+b+c=8-3+48=53$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+4y-4=0$ có tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+4}=3$. Kiểm tra $M(4;-2)$: $IM=\sqrt{(4-1{)}^2+0^2}=3=R$ nên $M$ thuộc $(C)$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(3;0)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. Tiếp tuyến: $3(x-4)+0(y+2)=0\iff x-4=0$, tức $1x+0y-4=0$. Vậy $a=1,b=0$, suy ra $a+b=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vùng phủ sóng là hình tròn tâm $I(-2;1)$ bán kính $R=3$ km. Người ở vị trí $A(-3;4)$. Khoảng cách từ $A$ đến tâm: $AI=\sqrt{(-3+2{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$. Vì $AI=\sqrt{10}\approx 3,162>3$, điểm $A$ nằm ngoài vùng phủ sóng. Khoảng cách ngắn nhất từ $A$ tới vùng phủ sóng (đường chim bay) là $AI-R=\sqrt{10}-3\approx 3,1623-3=0,1623\approx 0,16$ km. Vậy khoảng cách ngắn nhất cần di chuyển là $\sqrt{10}-3\approx 0,16$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau và khác 0, đồng thời $a^2+b^2-c>0$.
- A: $x^2+2y^2-4x-8y+1=0$ có hệ số $x^2\ne y^2$ → loại.
- B: $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ có $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=4+9+12=25>0$, đường tròn tâm $(2;-3)$ bán kính $5$ → đúng.
- C: $x^2+y^2-2x-8y+20=0$ có $(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=1+16-20=-3<0$ → không phải đường tròn.
- D: $4x^2+y^2-10x-6y-2=0$ có hệ số $x^2\ne y^2$ → loại.
Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình 3x-4y+10=0, một vector pháp tuyến là n=(3;-4). b) Sai: đường tròn (x-1)^2+(y-2)^2=4 có tâm I(1;2) và bán kính R=2 (không phải 4). c) Sai: thay M(1;2) vào Δ: 3(1)-4(2)+10=5≠0, nên M không thuộc Δ. d) Đúng: khoảng cách từ I(1;2) đến Δ là d(I,Δ)=|3(1)-4(2)+10|/√(9+16)=5/5=1<2=R, nên Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình 3x-4y+10=0, vector pháp tuyến là n=(3;-4).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn (x-1)^2+(y-2)^2=4 có tâm I(1;2) và bán kính R=2, không phải R=4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;2): 3(1)-4(2)+10=5≠0 nên M không thuộc Δ.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(I,Δ)=|3-8+10|/5=1<2=R nên Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Đưa phương trình về dạng chính tắc: $x^2+y^2-6x-8y=0\iff (x-3{)}^2+(y-4{)}^2=9+16=25$. Vậy bán kính $R=\sqrt{25}=5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm của AB là I(1;3). Vectơ AB = (4;2) nên đường trung trực của AB có vectơ pháp tuyến (4;2), tức phương trình: 4(x-1)+2(y-3)=0 ⟺ 4x+2y-10=0 ⟺ 2x+y-5=0. Vậy đường trung trực của AB là 2x+y-5=0 (trùng với Δ).

b) Đường tròn (C) tâm A(-1;2) tiếp xúc với Δ: 2x+y-5=0 có bán kính R = d(A,Δ) = |2·(-1)+2-5|/√(2²+1²) = |-5|/√5 = √5. Vậy (C): (x+1)² + (y-2)² = 5.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(C):x^2+y^2-2x+4y+1=0$. Tâm $I$ có tọa độ $I(1;-2)$ vì $-2a=-2\Rightarrow a=1$, $2b=4\Rightarrow b=-2$. Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{1+4-1}=\sqrt{4}=2$. Vậy $I(1;-2)$, $R=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y-25=0$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}$. Với $M(2;1)$, ta có $IM=\sqrt{(2-1{)}^2+(1-2{)}^2}=\sqrt{2}<\sqrt{30}$ nên $M$ nằm trong đường tròn. Dây cung đi qua $M$ có độ dài nhỏ nhất khi dây vuông góc với $IM$ (khi đó $M$ là trung điểm dây). Độ dài dây nhỏ nhất là $2\sqrt{R^2-I{M}^2}=2\sqrt{30-2}=2\sqrt{28}=4\sqrt{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(-1;2)$ bán kính $R=3$ có phương trình $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$ (vì $R^2=9$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(-1;2)$ bán kính $R=3$ có phương trình $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$. So với các đáp án, đây là phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(-1;2)$, bán kính $R=3$ có phương trình $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$. Khai triển: $x^2+2x+1+y^2-4y+4=9\iff x^2+y^2+2x-4y-4=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(1;2)$, bán kính $R=5$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$. Khai triển: $x^2-2x+1+y^2-4y+4=25\iff x^2+y^2-2x-4y-20=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $x^2+y^2+4x+6y-12=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với tâm $I(a;b)$. Ta có $-2a=4\Rightarrow a=-2$ và $-2b=6\Rightarrow b=-3$. Vậy tâm là $I(-2;-3)$, tương ứng đáp án A. Kiểm tra: $(x+2{)}^2+(y+3{)}^2=25$ khai triển ra $x^2+y^2+4x+6y-12=0$, đúng.