Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn (C): x²+y²−2x+4y−4=0 ⇔ (x−1)²+(y+2)²=9, tâm I(1;−2), bán kính R=3. a) Sai vì tâm là I(1;−2) chứ không phải I(−1;2). b) M(2;−3): IM²=(2−1)²+(−3+2)²=2<9 nên M nằm TRONG đường tròn → sai. c) (G): x²/9 − y²/34 = 1 là hyperbol với a²=9, b²=34, c²=a²+b²=43, nên tiêu điểm F₁,₂(±√43;0), không phải (±5;0) → sai. d) Hình vẽ trong đề là một elip (đường cong khép kín đi qua (±√34;0) và (0;±3)), trong khi (G) là hyperbol có hai nhánh, không có hình dạng như hình → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(C): (x−1)²+(y+2)²=9 nên tâm là I(1;−2), không phải I(−1;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
IM²=(2−1)²+(−3+2)²=2<9=R² nên M nằm trong đường tròn, không phải ngoài.
c) (AI giải đề cho tôi)
c²=a²+b²=9+34=43 nên tiêu điểm là (±√43;0), không phải (±5;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
(G) là hyperbol hai nhánh, còn hình vẽ là elip nên không giống hình.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2+4x-8y-5=0$ có tâm $I(-2;4)$, bán kính $R=\sqrt{4+16+5}=5$.
a) $d(A,\Delta )=\frac{|3(-1)-4\cdot 3+6|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-9|}{5}=\frac{9}{5}\ne 9$ → sai.
b) $E(1;0)$ thuộc $(C)$ vì $1+0+4-0-5=0$. $\overrightarrow{IE}=(3;-4)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $E$: $3(x-1)-4(y-0)=0\iff 3x-4y-3=0$ → đúng.
c) $AI=\sqrt{(-1+2{)}^2+(3-4{)}^2}=\sqrt{2}<5$ nên $A$ nằm trong đường tròn. Dây $MN$ ngắn nhất khi $d^{\prime }\perp IA$, tức $d^{\prime }$ có pháp tuyến $\overrightarrow{IA}=(1;-1)$: $1(x+1)-1(y-3)=0\iff x-y+4=0\ne x+y-2=0$ → sai.
d) $d\perp \Delta$ nên $\overrightarrow{n_d}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(4;3)$: $4(x+1)+3(y-3)=0\iff 4x+3y-5=0$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,\Delta )=\frac{|3(-1)-4(3)+6|}{5}=\frac{9}{5}\ne 9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$E\in (C)$, $\overrightarrow{IE}=(3;-4)$, tiếp tuyến: $3(x-1)-4y=0\iff 3x-4y-3=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ ngắn nhất khi $d^{\prime }\perp IA$; pháp tuyến $\overrightarrow{IA}=(1;-1)$ cho $d^{\prime }:1(x+1)-1(y-3)=0\iff x-y+4=0$, không phải $x+y-2=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d\perp \Delta$ nên $\overrightarrow{n_d}=(4;3)$: $4(x+1)+3(y-3)=0\iff 4x+3y-5=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba điểm $A(1;-3),B(5;2),C(1;2)$. Ta có $\overrightarrow{CA}=(0;-5)$ nên $CA=5$; $\overrightarrow{CB}=(4;0)$ nên $CB=4$. Vì $CA\perp CB$ (tích vô hướng bằng 0), tam giác $ABC$ vuông tại $C$, nên $AB$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp $(T)$. Do đó $AB=\sqrt{C{A}^2+C{B}^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$ và bán kính $R=\frac{\sqrt{41}}{2}\approx 3,2015\approx 3,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$ có tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=2$. Tiếp tuyến song song với $d:5x+12y-7=0$ có dạng $5x+12y+c=0$. Điều kiện tiếp tuyến: $d(I,(T))=R$ tức $\frac{|5(1)+12(-2)+c|}{\sqrt{5^2+12^2}}=2\iff \frac{|c-19|}{13}=2\iff |c-19|=26\iff c=45$ hoặc $c=-7$. Vậy có hai tiếp tuyến: $5x+12y+45=0$ và $5x+12y-7=0$ (chính là đường thẳng $d$, vì $d(I,d)=2=R$ nên $d$ cũng tiếp xúc $(C)$).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=2$.

Viết lại: $d_1:m(x-1)+(y-1)=0$ và $d_2:(x-1)-m(y-1)=0$, nên cả hai đường thẳng đều đi qua điểm $P(1;1)$. Vì $IP=1<R=2$ nên $P$ nằm trong đường tròn, do đó với mọi $m$, mỗi đường thẳng $d_1,d_2$ đều cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt.

Hai đường thẳng có hệ số góc lần lượt $-m$ và $\frac{1}{m}$ (với $m\ne 0$), tích bằng $-1$ nên $d_1\perp d_2$ (trường hợp $m=0$: $d_1:y=1$, $d_2:x=1$ cũng vuông góc). Bốn giao điểm tạo thành tứ giác có hai đường chéo là hai dây cung của $(C)$ nằm trên $d_1,d_2$, cắt nhau tại $P$ và vuông góc, nên diện tích $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$ với $d_1,d_2$ là độ dài hai dây.

Khoảng cách từ $I$ đến $d_1$: $h_1=\frac{|m+2-m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}$; từ $I$ đến $d_2$: $h_2=\frac{|1-2m+m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{|m|}{\sqrt{m^2+1}}$.

Suy ra $d_1=2\sqrt{4-\frac{1}{m^2+1}}$, $d_2=2\sqrt{4-\frac{m^2}{m^2+1}}$, nên $S=\frac{2\sqrt{(4m^2+3)(3m^2+4)}}{m^2+1}$.

Đặt $t=m^2+1\ge 1$, khi đó $m^2=t-1$ và $(4m^2+3)(3m^2+4)=(4t-1)(3t+1)=12t^2+t-1$, do đó $S=\frac{2\sqrt{12t^2+t-1}}{t}=2\sqrt{12+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}$.

Đặt $u=\frac{1}{t}\in (0;1]$, xét $f(u)=12+u-u^2$ đạt giá trị lớn nhất bằng $12+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$ khi $u=\frac{1}{2}$, tức $t=2$, suy ra $m^2=1$, tức $m=\pm 1$. Khi đó $S_{\max }=2\sqrt{\frac{49}{4}}=7$.

(Kiểm tra: tại $m=0$, $S=4\sqrt{3}\approx 6,93<7$.)

Vậy $m=\pm 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(C):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=10$ có dạng chuẩn $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với $a=2$, $b=-1$ (do $y+1=y-(-1)$), $R^2=10$ nên $R=\sqrt{10}$. Vậy tâm $I(2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{10}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình A: $x^2+y^2-2x+4y-11=0$. Ta có $x^2-2x+y^2+4y=11\iff (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=16$. Đây là phương trình đường tròn tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=4$. Phương trình B có hệ số của $x^2$ và $y^2$ khác dấu nên không phải đường tròn. Phương trình C: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=-6$ vô nghiệm (bán kính âm). Phương trình D có hệ số của $x^2$ và $y^2$ khác nhau nên không phải đường tròn. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(-2;4)$ bán kính $R=5$ có phương trình $(x+2{)}^2+(y-4{)}^2=25$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IM=\sqrt{(2-(-2){)}^2+(-3-3{)}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$. Phương trình đường tròn: $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=52$. Khai triển: $x^2+y^2+4x-6y+4+9-52=0\iff x^2+y^2+4x-6y-39=0$, khác với đáp án C ($-57$). Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(1;-3)$ tiếp xúc với trục tung nên bán kính $R$ bằng khoảng cách từ $I$ đến trục tung: $R=|x_I|=1$. Phương trình: $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ các điểm vào phương trình $(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0$.
- Qua $A(1;0)$: $1-2a+c=0\Rightarrow c=2a-1$.
- Qua $B(0;-2)$: $4+4b+c=0\Rightarrow c=-4b-4$.
- Qua $C(2;-1)$: $5-4a+2b+c=0$.
Thay $c=2a-1$ vào phương trình thứ ba: $5-4a+2b+2a-1=0\Rightarrow b=a-2$.
Kết hợp $c=-4b-4=-4a+4$ và $c=2a-1$: $2a-1=-4a+4\Rightarrow a=\frac{5}{6}$, suy ra $b=-\frac{7}{6}$, $c=\frac{2}{3}$.
Vậy $a+b+c=\frac{5}{6}-\frac{7}{6}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;-a)$ (thuộc $d:x+y=0$). Vì $IA=IB$: $(a-3{)}^2+a^2=a^2+(-a-2{)}^2\Rightarrow (a-3{)}^2=(a+2{)}^2\Rightarrow a^2-6a+9=a^2+4a+4\Rightarrow -10a=-5\Rightarrow a=\frac{1}{2}$. Vậy $I\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$. Bán kính: $R^2=I{A}^2={\left(3-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(0+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}+\frac{1}{4}=\frac{13}{2}$. Phương trình: ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{13}{2}$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$. Kiểm tra $A(3;-4)\in (C)$: $(3-1{)}^2+(-4+2{)}^2=4+4=8$, đúng. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(2;-2)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$. Phương trình tiếp tuyến: $2(x-3)-2(y+4)=0\iff x-y-7=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$(C):(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=4$ có tâm $I(3;-1)$, bán kính $R=2$. a) $IA=\sqrt{(1-3{)}^2+(-1+1{)}^2}=2=R$ nên $A$ thuộc đường tròn → đúng. b) $IB=\sqrt{(1-3{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{20}>2$ nên $B$ nằm ngoài đường tròn → sai. c) $IA$ song song với trục hoành nên tiếp tuyến tại $A$ vuông góc với $IA$, có phương trình $x=1$ → đúng. d) Đường $x=1$ có khoảng cách từ $I$ bằng $2=R$ nên là tiếp tuyến; nhưng $3x+4y-12=0$ có khoảng cách từ $I$ là $\frac{|9-4-12|}{5}=\frac{7}{5}\ne 2$ nên không phải tiếp tuyến (tiếp tuyến thứ hai phải là $3x+4y-15=0$) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$IA=2=R$ nên $A$ thuộc $(C)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IB=\sqrt{20}>2$ nên $B$ nằm ngoài đường tròn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$IA$ nằm ngang, tiếp tuyến tại $A$ là $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,3x+4y-12=0)=7/5\ne 2$; tiếp tuyến thứ hai là $3x+4y-15=0$.

(AI giải đề cho tôi)
$(C):x^2+y^2+2x-6y+5=0\iff (x+1{)}^2+(y-3{)}^2=5$, tâm $I(-1;3)$, bán kính $R=\sqrt{5}$. a) Đúng. b) $d(I,d)=\frac{|-1+2\cdot 3-15|}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$ → sai. c) Luôn có đúng hai tiếp tuyến của đường tròn song song với một đường thẳng cho trước → đúng. Cụ thể: tiếp tuyến song song với $d$ có dạng $x+2y+c=0$, điều kiện tiếp xúc $d(I,\text{đường thẳng})=R$: $\frac{|c+5|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\iff |c+5|=5\iff c=0$ hoặc $c=-10$. d) Với $c=0$ ta được tiếp tuyến $x+2y=0$ đi qua $O(0;0)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=5$ nên tâm $I(-1;3)$, $R=\sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,d)=\frac{|-1+6-15|}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ một đường thẳng cho trước luôn có đúng hai tiếp tuyến của đường tròn song song với nó: $x+2y+c=0$ với $|c+5|=5\Rightarrow c=0$ hoặc $c=-10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến $x+2y=0$ (ứng với $c=0$) song song với $d$ và đi qua $O(0;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ bằng khoảng cách từ tâm $I(3;4)$ đến $\Delta$: $R=\frac{|3\cdot 3+4\cdot 4-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|9+16-10|}{5}=\frac{15}{5}=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn $(C)$ là $I(1;1)$, bán kính $R=5$. Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :3x-4y-19=0$ là $d=\frac{|3\cdot 1-4\cdot 1-19|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-20|}{5}=4$. Vì $\Delta$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ nên $AB=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{25-16}=2\cdot 3=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9:

a) M(2;-5), N(-4;3). Tâm I là trung điểm MN: $I\left(\frac{2+(-4)}{2};\frac{-5+3}{2}\right)=I(-1;-1)$. Bán kính $R=\frac{MN}{2}$ với $MN=\sqrt{(-4-2{)}^2+(3+5{)}^2}=\sqrt{36+64}=10$, nên $R=5$. Vậy $(C):(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=25$.

b) Tâm $I(1;-2)$, bán kính bằng khoảng cách từ I đến đường thẳng $4x-3y+5=0$: $R=\frac{|4\cdot 1-3\cdot (-2)+5|}{\sqrt{16+9}}=\frac{15}{5}=3$. Vậy $(C):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$.

c) Gọi $I(a;b)$ là tâm. Vì $IA=IB=3$ nên I nằm trên trung trực của AB. Trung điểm AB là $\left(\frac{5}{2};\frac{1}{2}\right)$, vectơ $\overrightarrow{AB}=(1;1)$ nên trung trực AB: $x+y=3$, tức $b=3-a$. Từ $I{A}^2=9$: $(a-2{)}^2+(3-a{)}^2=9\iff 2a^2-10a+4=0\iff a^2-5a+2=0\iff a=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}$. Khi đó $b=3-a=\frac{1\mp \sqrt{17}}{2}$. Vậy có hai đường tròn: ${\left(x-\frac{5+\sqrt{17}}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)}^2=9$ và ${\left(x-\frac{5-\sqrt{17}}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)}^2=9$.

d) A(2;1), B(4;3), tâm $I(a;a+5)$ (vì I thuộc $x-y+5=0$). $IA=IB$: $(a-2{)}^2+(a+4{)}^2=(a-4{)}^2+(a+2{)}^2\iff 4a+20=-4a+20\iff a=0$. Vậy $I(0;5)$, $R^2=I{A}^2=4+16=20$. Đường tròn: $x^2+(y-5{)}^2=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10: a) (C): x²+y²+4x+2y−11=0 có tâm I(−2;−1), bán kính R=√(4+1+11)=√16=4. b) Kiểm tra M(2;−1): IM=√((2+2)²+0²)=4=R nên M thuộc (C). Vectơ IM=(4;0) là pháp tuyến của tiếp tuyến tại M, nên tiếp tuyến: 4(x−2)+0(y+1)=0 ⇔ x=2 (hoặc x−2=0). c) Tiếp tuyến song song với d: 3x+4y+1=0 có dạng 3x+4y+c=0. Khoảng cách từ I(−2;−1) đến tiếp tuyến bằng R: |3(−2)+4(−1)+c|/5=4 ⇔ |c−10|=20 ⇔ c=30 hoặc c=−10. Vậy có hai tiếp tuyến: 3x+4y+30=0 và 3x+4y−10=0.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: a) $x^2+y^2-4x+8y-5=0\iff (x-2{)}^2+(y+4{)}^2=25$, đây là phương trình đường tròn tâm $I(2;-4)$, bán kính $R=5$.

b) Tiếp tuyến song song với $d_1:x+y+6=0$ có dạng $x+y+c=0$. Điều kiện tiếp xúc: $\frac{|2-4+c|}{\sqrt{2}}=5\iff |c-2|=5\sqrt{2}\iff c=2\pm 5\sqrt{2}$. Vậy có hai tiếp tuyến: $x+y+2+5\sqrt{2}=0$ và $x+y+2-5\sqrt{2}=0$.

c) Tiếp tuyến vuông góc với $d_2:3x+2y+1=0$ nên có dạng $2x-3y+c=0$. Điều kiện: $\frac{|2\cdot 2-3(-4)+c|}{\sqrt{13}}=5\iff |16+c|=5\sqrt{13}\iff c=-16\pm 5\sqrt{13}$. Vậy: $2x-3y-16+5\sqrt{13}=0$ và $2x-3y-16-5\sqrt{13}=0$.

d) Điểm $C(0;-1)$: $IC=\sqrt{(0-2{)}^2+(-1+4{)}^2}=\sqrt{13}<5$, tức $C$ nằm bên trong đường tròn. Do đó qua $C$ không có tiếp tuyến nào của $(C)$ (không tồn tại tiếp tuyến thỏa yêu cầu).