Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ $Oxyz$. Điểm $A$ là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc đường thẳng $a:\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{4}$ và $a$ cắt mặt bàn $(P):x+y-2z+6=0$ tại điểm $F$. Độ dài chân bàn $FA=40\sqrt{3}\text{ cm}$, khi đó độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là bao nhiêu?

Nhân dịp kỷ niệm $50$ năm ngày Giải phóng miền Nam thống nhất đất nước ($30/04/1975-30/04/2025$), một nhóm học sinh thiết kế mô hình đài tưởng niệm các anh hùng liệt sĩ, phần mái của mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$.
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (các trục tọa độ có cùng đơn vị độ dài), hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tâm $O$ của hình vuông $ABCD$ trùng với gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và các điểm $A(1;1;0),B(-1;1;0),C(-1;-1;0),S(0;0;2)$ (xem hình minh họa).

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=2-2t\\ z=-1+2t\end{array},t\in \mathbb{R}$ và mặt phẳng $(P):x+y-z+3=0$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Nhà Bác Cẩn cần thi công lắp đặt đường điện đi theo các ống ghen để luồn dây điện cho một căn phòng. Vị trí nguồn điện tại điểm $A(1;2;3)$. Đường điện thiết kế được mô hình hoá là đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;2)$ và nối từ nguồn điện $A$ đến một giá đỡ tại điểm $G$ trên bức tường, giả sử giá đỡ đó được mô tả bởi mặt phẳng có phương trình là $(P):2x-y-2z+10=0$. Biết rằng hệ tọa độ được đo bằng mét và giá tiền thi công hoàn thiện một mét đường điện là $200000$ đồng.