Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài $2x$, chiều cao $h$ (m), $x>0$. Diện tích kính: đáy $2x^2$ cộng 4 mặt bên $2(2xh)+2(xh)=6xh$, nên $2x^2+6xh=8\Rightarrow h=\frac{8-2x^2}{6x}$ với $0<x<2$. Dung tích $V=2x^{2}h=\frac{2x(8-2x^2)}{3}=\frac{8x-2x^3}{3}$. $V^{\prime }(x)=\frac{8-6x^2}{3}=0\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ (thỏa mãn). Khi đó $V_{max}=\frac{32}{9\sqrt{3}}\approx 2,05m^3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-4t+7=(t-2{)}^2+3$. Trên đoạn $[0;5]$, hàm $v(t)$ là parabol có đỉnh tại $t=2$ (điểm nhỏ nhất $v=3$), nên giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút: $v(0)=7$, $v(5)=25-20+7=12$. Vậy $v_{\max }=12$ m/s tại $t=5$ giây. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ban đầu chi 300 triệu: $\frac{300x}{100-x}=300\Rightarrow x=50$. Chi thêm 150 nên tổng chi 450 triệu: $\frac{300x}{100-x}=450\Rightarrow 300x=45000-450x\Rightarrow 750x=45000\Rightarrow x=60$. Vậy loại bỏ thêm $60-50=10\%$ chất gây ô nhiễm. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P^{\prime }(x)=-0,9x^2+72x+1800$. Cho $P^{\prime }(x)=0\iff x^2-80x-2000=0\iff x=100$ hoặc $x=-20$ (loại vì $x>0$). Trên $(0;100)$ hàm đồng biến, trên $(100;+\infty )$ hàm nghịch biến nên $P(x)$ đạt cực đại (và là GTLN) tại $x=100$. Khi đó $P(100)=-0,3\cdot 100^3+36\cdot 100^2+1800\cdot 100-48000=-300000+360000+180000-48000=192000$ (nghìn đồng). Vậy lợi nhuận lớn nhất là 192000 nghìn đồng, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f tăng từ $-\infty$ đến 19 tại $x=4$, giảm đến 12 tại $x=6$, tăng đến 21 tại $x=7$, rồi giảm về $-\infty$ khi $x\to +\infty$.
a) Vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$ và giá trị lớn nhất trên bảng là 21 (tại $x=7$), nên GTLN của $f$ trên $\mathbb{R}$ bằng 21. Đúng.
b) Vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ (12 chỉ là cực tiểu). Sai.
c) Trên đoạn $[0;5]$: $f$ tăng trên $[0;4]$ đến 19, giảm trên $[4;5]$ (giá trị tại $x=5$ nằm giữa 12 và 19), nên $\max f=19$. Khi đó $\max h=19+m=34\iff m=15$. Đúng.
d) $g(x)=f(2x-2)$ với $x\in (-\infty ;4)$ thì $t=2x-2\in (-\infty ;6)$. Trên $(-\infty ;6)$, $f$ đạt GTLN bằng 19 tại $t=4$. Suy ra $2x-2=4\iff x=3\in (-\infty ;4)$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(x)→−∞ khi x→±∞ và giá trị lớn nhất trên bảng biến thiên là 21 tại x=7, nên GTLN trên ℝ bằng 21.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì f(x)→−∞ khi x→±∞ nên hàm số không có GTLN... không có giá trị nhỏ nhất trên ℝ; 12 chỉ là giá trị cực tiểu tại x=6.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;5], max f = 19 (tại x=4), nên max h = 19+m = 34 khi m=15.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x∈(−∞;4) thì t=2x−2∈(−∞;6); trên (−∞;6) f đạt max 19 tại t=4, suy ra 2x−2=4 ⇔ x=3.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá 1000 đồng. Giá bán: $30000+1000x$; số khăn bán: $3000-100x$ (với $0\le x\le 30$); lãi mỗi chiếc: $30000+1000x-18000=12000+1000x$. Lợi nhuận: $P(x)=(12000+1000x)(3000-100x)=-100000x^2+1800000x+36000000$. $P^{\prime }(x)=-200000x+1800000=0\Rightarrow x=9$. Khi đó: giá bán $=30000+9000=39000$ đồng; lãi mỗi chiếc $=12000+9000=21000$ đồng; số khăn bán $=3000-900=2100$ chiếc, tức giảm 900 chiếc. Vậy a) sai (cần tăng thêm 9000 đồng, không phải 10000); b) đúng; c) đúng; d) sai (giảm 900 chiếc, không phải 800).
a) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận lớn nhất khi $x=9$, tức tăng thêm 9000 đồng chứ không phải 10000 đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá bán tối ưu: $30000+9\cdot 1000=39000$ đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lãi mỗi chiếc: $39000-18000=21000$ đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số khăn bán ra: $3000-9\cdot 100=2100$, giảm 900 chiếc chứ không phải 800.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có cực tiểu tại $(-1;-1)$ và cực đại tại $(1;3)$, hai nhánh đi lên vô cực khi $x\to -\infty$ và xuống vô cực khi $x\to +\infty$. a) Sai: vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$ nên hàm số không có GTLN cũng không có GTNN trên $\mathbb{R}$; $-1$ và $3$ chỉ là giá trị cực tiểu, cực đại. b) Đúng: trên $[0;1]$ hàm đồng biến, GTLN đạt tại $x=1$ bằng $f(1)=3$. c) Sai: trên $[-1;1]$ hàm đồng biến nên GTNN là $f(-1)=-1$, không phải $0$. d) Đúng: trên $(1;+\infty )$ hàm nghịch biến từ $3$ (không đạt được) xuống $-\infty$, nên không có GTNN.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không có GTLN và GTNN trên ℝ vì hai nhánh đi tới ±∞; -1 và 3 chỉ là giá trị cực tiểu, cực đại.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] hàm đồng biến nên GTLN bằng f(1)=3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [-1;1] hàm đồng biến nên GTNN bằng f(-1)=-1, không phải 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên (1;+∞) hàm nghịch biến từ 3 xuống -∞ nên không có GTNN.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá 100000 đồng. Giá thuê: $2+0,1x$ (triệu đồng); số căn trống: $5x$; số căn có người thuê: $150-5x$ với $0\le x\le 30$. Thu nhập: $T(x)=(2+0,1x)(150-5x)=300+5x-0,5x^2$. $T^{\prime }(x)=5-x=0\Rightarrow x=5$, $T^{\prime \prime }(x)=-0,5<0$ nên $T$ đạt max tại $x=5$: giá thuê $2,5$ triệu đồng, thu nhập $T(5)=312,5$ triệu đồng, số căn có người thuê $150-25=125$.
a) Giá $2,2$ triệu $\Rightarrow x=2\Rightarrow 10$ căn trống. Đúng.
b) Thu nhập cao nhất khi giá $2,5$ triệu, không phải $2,7$ triệu. Sai.
c) $T_{\max }=312,5$ triệu đồng $=\mathrm{312.500.000}$ đồng. Đúng.
d) Số căn có người thuê khi thu nhập max là $125$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá 2,2 triệu nghĩa là tăng 2 lần (x=2), số căn trống 5·2=10.
b) (AI giải đề cho tôi)
T(x)=300+5x−0,5x² đạt max tại x=5, tức giá 2,5 triệu đồng, không phải 2,7 triệu.
c) (AI giải đề cho tôi)
T(5)=(2,5)(125)=312,5 triệu đồng = 312.500.000 đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi x=5, số căn có người thuê là 150−25=125 căn.

(AI giải đề cho tôi)
a) f'(x)=3x^2-16x+16>0 trên [-1;1] nên f đồng biến; f(-1)=-34, f(1)=0, GTLN bằng 0 → đúng.
b) Trên [1;3], f đạt cực đại tại x=4/3: f(4/3)=13/27, f(1)=0, f(3)=-6. Vậy a=13/27, b=-6, suy ra 27a-b=13+6=19≠13 → sai.
c) h(x)=x+1/(x-1) trên (1;+∞), h'(x)=1-1/(x-1)^2, đạt min tại x=2 với h(2)=3 → đúng.
d) G'(x)=0,025(60x-3x^2)=0,075x(20-x), G tăng trên (0;20), giảm trên (20;+∞), max tại x=20 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3x^2-16x+16>0 trên [-1;1] nên f đồng biến; f(-1)=-34, f(1)=0, GTLN là 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên [1;3]: f(1)=0, f(4/3)=13/27 (cực đại), f(3)=-6. Vậy a=13/27, b=-6, 27a-b=19≠13.
c) (AI giải đề cho tôi)
h(x)=x+1/(x-1), h'(x)=1-1/(x-1)^2=0 tại x=2, h(2)=3 là GTLN... GTNN trên (1;+∞) bằng 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
G'(x)=0,075x(20-x)=0 tại x=20; G tăng trên (0;20) và giảm trên (20;+∞) nên liều 20 mg cho huyết áp giảm nhiều nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x+m}{x-1}=1+\frac{m+1}{x-1}$, nên $y^{\prime }=\frac{-(m+1)}{(x-1{)}^2}$.
a) Khi $m=2$: $y=1+\frac{3}{x-1}$ nghịch biến trên $[2;5]$ (vì $m+1=3>0$). GTLN $=y(2)=1+3=4$. Đúng.
b) Cùng trường hợp, GTNN $=y(5)=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$. Đúng.
c) Khi $m<-1$ thì $m+1<0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến trên $[2;4]$, do đó GTNN là $y(2)$, không phải $y(4)$. Sai.
d) Xét ${\min }_{[2;4]}y=3$: nếu $m>-1$ hàm nghịch biến, min $=y(4)=\frac{4+m}{3}=3\Rightarrow m=5$ (thỏa $m>-1$). Nếu $m<-1$ hàm đồng biến, min $=y(2)=2+m=3\Rightarrow m=1$ (loại vì mâu thuẫn $m<-1$). Nếu $m=-1$ thì $y=1$, min $=1\ne 3$. Vậy chỉ có $m=5$, không phải $1\le m<3$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$, $y=1+\frac{3}{x-1}$ nghịch biến trên $[2;5]$ nên GTLN $=y(2)=4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$, hàm nghịch biến trên $[2;5]$ nên GTNN $=y(5)=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m<-1$, $y^{\prime }=\frac{-(m+1)}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên $[2;4]$, GTNN là $y(2)$ chứ không phải $y(4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $m>-1$: min $=y(4)=\frac{4+m}{3}=3\Rightarrow m=5$. Nếu $m<-1$: min $=y(2)=2+m=3\Rightarrow m=1$ (loại). Nếu $m=-1$: $y=1$, min $=1$. Vậy chỉ có $m=5$, khẳng định $1\le m<3$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+2$, có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.
a) Trên $[0;1]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$ (và $x=1$ là điểm cực tiểu) nên ${\min }_{[0;1]}y=0$. Đúng.
b) Trên $[0;2]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(2)=4$ nên ${\min }_{[0;2]}y=0=y(1)\ne y(0)$. Sai.
c) Trên $[-1;0]$: $y(-1)=4$, $y(0)=2$ nên ${\min }_{[-1;0]}y=2$. Trên $[0;1]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$ nên ${\max }_{[0;1]}y=2$. Tổng $=2+2=4$. Đúng.
d) Trên $[-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}]$: $y(-\frac{3}{2})=-\frac{27}{8}+\frac{9}{2}+2=\frac{25}{8}$, $y(-1)=4$, $y(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}+\frac{3}{2}+2=\frac{27}{8}$. Vậy $\min =\frac{25}{8}\ne \frac{8}{25}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$ nên ${\min }_{[0;1]}y=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(2)=4$ nên ${\min }_{[0;2]}y=0=y(1)\ne y(0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\min }_{[-1;0]}y=2$ (tại $x=0$) và ${\max }_{[0;1]}y=2$ (tại $x=0$), tổng bằng 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}]$: $y(-\frac{3}{2})=\frac{25}{8}$, $y(-1)=4$, $y(-\frac{1}{2})=\frac{27}{8}$ nên $\min =\frac{25}{8}\ne \frac{8}{25}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=24t+5t^2-\frac{t^3}{3}$ với $t\ge 0$. Có $h^{\prime }(t)=24+10t-t^2$. Cho $h^{\prime }(t)=0\iff t^2-10t-24=0\iff t=12$ (nhận, $t>0$) hoặc $t=-2$ (loại). Vì $h^{\prime }(t)>0$ khi $0<t<12$ và $h^{\prime }(t)<0$ khi $t>12$, mực nước cao nhất tại $t=12$, tức lúc $8+12=20$ giờ. Theo quy định phải thông báo trước 5 giờ nên cần thông báo lúc $20-5=15$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=3x+\frac{4}{x^2}$ trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=3-\frac{8}{x^3}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x^3=\frac{8}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\approx 1,387$. Với $0<x<\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$. Khi đó $y_{\min }=3\cdot \frac{2}{\sqrt[3]{3}}+\frac{4}{{\left(\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\right)}^2}=\frac{6}{\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{9}=3^{2/3}(2+1)=3\cdot 3^{2/3}=3^{5/3}\approx 6,2403$. Làm tròn đến chữ số đầu tiên sau dấu phẩy: $6,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x-m}{x+1}=1-\frac{m+1}{x+1}$. Trên đoạn $[1;3]$, hàm số có $y^{\prime }=\frac{m+1}{(x+1{)}^2}$ và $x+1\ne 0$ nên hàm số liên tục và đơn điệu trên $[1;3]$ (tăng nếu $m>-1$, giảm nếu $m<-1$; nếu $m=-1$ thì $y=1$ hằng, không đạt GTLN bằng 2). Do đó GTLN đạt tại một đầu mút: $y(1)=\frac{1-m}{2}$, $y(3)=\frac{3-m}{4}$.
- Nếu hàm tăng ($m>-1$): max $=y(3)=\frac{3-m}{4}=2\Rightarrow m=-5$ (loại vì $m<-1$).
- Nếu hàm giảm ($m<-1$): max $=y(1)=\frac{1-m}{2}=2\Rightarrow m=-3$, thỏa $m<-1$.
Vậy $m=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(x)=x^4-8x^2$ trên $[1;2]$. Ta có $g^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)$. Trên $[1;2]$ thì $x^2-4\le 0$ nên $g^{\prime }(x)\le 0$, hàm số nghịch biến. Do đó ${\max }_{[1;2]}g=g(1)=1-8=-7$ (và $g(2)=16-32=-16$). Vậy $M=m-7\le 12\iff m\le 19$. Các giá trị nguyên dương của $m$ là $1,2,\dots ,19$, tổng bằng $\frac{19\cdot 20}{2}=190$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x$, với $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ thì $t\in [0;1]$. Khi đó $y=\frac{3t+2}{t+1}=\frac{3(t+1)-1}{t+1}=3-\frac{1}{t+1}$. Hàm số này đồng biến trên $[0;1]$ nên $m=y(0)=2$, $M=y(1)=\frac{5}{2}$. Suy ra $M^2+m^2=\frac{25}{4}+4=\frac{41}{4}$, do đó $b=41$, $c=4$ và $T=b-c=37$.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu của hãng khi đại lí mua $x$ chiếc là $f(x)=x(6000-3x)=6000x-3x^2$ (nghìn đồng), với $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $x<2000$. Xét hàm $f(x)=-3x^2+6000x$ trên $(0;2000)$. Ta có $f^{\prime }(x)=-6x+6000$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=1000$. Vì $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<1000$ và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>1000$ nên hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất trên khoảng) tại $x=1000$. Vậy đại lí nên nhập cùng lúc 1000 chiếc điện thoại để hãng thu về nhiều tiền nhất, khi đó doanh thu là $f(1000)=3000000$ nghìn đồng (3 tỷ đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $G(x)=0,25x^2(30-x)=7,5x^2-0,25x^3$ với $x>0$. Tính đạo hàm: $G^{\prime }(x)=15x-0,75x^2=0,75x(20-x)$. Cho $G^{\prime }(x)=0$ với $x>0$ ta được $x=20$. Với $0<x<20$ thì $G^{\prime }(x)>0$ (hàm đồng biến), với $x>20$ thì $G^{\prime }(x)<0$ (hàm nghịch biến), nên $G(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=20$. Vậy để huyết áp giảm nhiều nhất cần tiêm liều lượng $20$ (mg).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm logistic $f(t)=\frac{12000}{1+23e^{-0,5t}}$ có tốc độ tăng trưởng $f^{\prime }(t)=\frac{12000\cdot 23\cdot 0,5e^{-0,5t}}{{\left(1+23e^{-0,5t}\right)}^2}$. Tốc độ tăng trưởng của hàm logistic đạt cực đại khi $1+23e^{-0,5t}=2$, tức $23e^{-0,5t}=1$, suy ra $e^{0,5t}=23\Rightarrow t=\frac{\ln 23}{0,5}=2\ln 23\approx 6,27$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $t\approx 6$ tháng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2 = 6).