Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Một vật chuyển động theo quy luật $s=-\frac{1}{3}{t}^3+6t^2$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian $9$ giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu $m/s$?

Hàm số $y=e^x(x^2-5x+7)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $[0;3]$ bằng $e^a$. Tính $a^{10}$.

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $600$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 600$) thì chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $g(x)=x+10+\frac{300000}{x}$ (nghìn đồng), trong khi doanh thu khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-2111x^2+1224010x+300000$ (nghìn đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp chữ nhật có thể tích $V=18({\mathrm{m}}^3)$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng và bể không có nắp. Giá thuê nhân công để xây bể là $500000$ đồng/${\mathrm{m}}^2$. Hỏi cần xây bể có chiều cao bằng bao nhiêu mét để chi phí thuê nhân công là thấp nhất?

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=-2x^3+3x^2+1$ trên đoạn $[-1;1]$ là:

Một xưởng sản xuất robot hút bụi thông minh đang trong giai đoạn tăng tốc sản xuất. Số lượng sản xuất mỗi tháng là $x$ (chiếc), với $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $10\le x\le 500$. Mỗi robot được bán với giá cố định là $12$ triệu đồng, tổng chi phí sản xuất mỗi tháng là $C(x)=150\cdot e^{0,005x}+450$ (triệu đồng). Hỏi để đạt lợi nhuận tối thiểu là $1,5$ tỷ đồng mỗi tháng, xưởng cần sản xuất và tiêu thụ ít nhất bao nhiêu robot một tháng?

Câu 8. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;2]$. Khi đó $M-m$ bằng

Câu 3. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh loại xe X với chi phí mua vào một chiếc là $28\text{ triệu đoˆˋng}$ và bán ra với giá $32\text{ triệu đoˆˋng}$. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là $600\text{ chieˆˊc}$. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm $1\text{ triệu đoˆˋng}$ mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm $200\text{ chieˆˊc}$. Vậy doanh nghiệp phải bán mỗi xe với giá mới bao nhiêu triệu đồng để lợi nhuận thu được là cao nhất.

Gọi $M$; $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^2+5}{x-2}$ trên $[-2;1]$. Tính $T=M+4m$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$ như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-1;3]$ bằng

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $18000$ quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau $t$ phút ($t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), số vi khuẩn được xác định theo công thức: $f(t)=900+27t^2-t^3$ với $0\le t\le 30$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?

Gọi $M$; $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^2+5}{x-2}$ trên $[-2;1]$. Tính $T=M+2m$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$ như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-1;3]$ bằng

Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau $t$ phút ($t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), số vi khuẩn được xác định theo công thức: $f(t)=1000+30t^2-t^3$ với $0\le t\le 30$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Câu 3. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 400$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là $F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là $\frac{100000x}{x^3+1}$ (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là $H(x)=2x^3+100000x-50000$ (đồng), nhưng do doanh nghiệp mua với số lượng lớn nên được ưu đãi giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu tiên và giảm 2% cho các sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một xưởng gia công đồ mỹ nghệ dự định sản xuất không quá $150$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm ($x\in \mathbb{N};1\le x\le 150$) được cho bởi hàm số $C(x)=5000+800x-3,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng $x$ sản phẩm và được cho bởi công thức $p(x)=2000-9x$ (nghìn đồng). Biết rằng sản phẩm sản xuất ra được tiêu thụ hết. Lợi nhuận lớn nhất mỗi tháng mà xưởng thu được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 6. Một cơ sở sản xuất nước mắm dự định tung ra thị trường dòng sản phẩm nước mắm đặc biệt. Dự kiến mỗi tháng cơ sở sản xuất và bán ra $x$ chai ($0\le x\le 2000$). Giá bán mỗi chai được ấn định là $350000$ đồng. Tổng chi phí sản xuất $x$ chai mỗi tháng (bao gồm nguyên liệu, nhân công, bao bì và chi phí vận hành) được ước tính bởi hàm số: $C(x)=\frac{1}{10}{x}^2+110x+30000$ (đơn vị: nghìn đồng). Hỏi cơ sở nên sản xuất bao nhiêu chai mỗi tháng để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-4;6]$ và có bảng biến thiên như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-4;6]$ bằng