Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Một hòn đảo A cách bờ biển $3\text{ km}$ và cách trạm điện B $5\text{ km}$. Công ty điện lực dự định làm một tuyến đường điện từ trạm điện B dọc theo bờ biển đến một điểm C, sau đó từ C nối thẳng ra đảo A (tham khảo hình vẽ). Biết chi phí cho $1\text{ km}$ đường điện trên bờ là 30 triệu đồng và trên biển là 50 triệu đồng. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu triệu đồng để hoàn thành kế hoạch trên?

Câu 1: Cho hàm số $f(x)=x^3-2x^2-4x+9$.

Câu 2: Vào mùa du lịch hè tại Khánh Hòa, một cơ sở sản xuất “nước ép xoài đóng chai” cung cấp cho các quầy giải khát ở khu vực biển. Theo kế hoạch sản xuất, nếu trong một tháng cơ sở sản xuất và bán hết $x$ chai nước ép ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast },1\le x\le 5000$) thì doanh thu thu được (tính bằng nghìn đồng) được ước tính bởi hàm $F(x)=-0,02x^2+320x$. Do chi phí nguyên liệu, đóng chai, bảo quản và vận chuyển thay đổi theo quy mô sản xuất nên chi phí sản xuất trung bình cho mỗi chai (tính bằng nghìn đồng) được cho bởi $G(x)=\frac{24000}{x}+180$.
Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ hết trong tháng. Hỏi trong một tháng, cơ sở phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chai nước ép để lợi nhuận thu được không ít hơn 120 triệu đồng?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên trên đoạn $[0;3]$ như sau:



Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0;3]$ là

Trên một hòn đảo (kí hiệu là điểm A) có một người bị tai nạn nặng không thể di chuyển người bệnh và cần cấp cứu gấp. Do điều kiện trên đảo thiếu thuốc, máu và thiết bị y tế để cấp cứu cho bệnh nhân nên bác sĩ đã cử tàu ca nô đi về đất liền ở vị trí M. Cùng lúc tàu khởi hành, bệnh viện ở vị trí C đã cử xe cứu thương đưa thuốc, máu và vật tư y tế đến vị trí M. Biết rằng $BC=60\text{ km},AB=20\text{ km}$, tàu đi với vận tốc $60\text{ km/h}$ và xe cứu thương đi với vận tốc $80\text{ km/h}$. Tính thời gian sớm nhất để người bệnh có thể được cấp cứu. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0<x<3000$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x)=3000x-x^2$ (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x)=x^2+1440x+50$ (nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho 1 đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (nghìn đồng) ($0<t<1000$). Hỏi mức thuế phụ thu $t$ (trên 1 đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu nghìn đồng sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó?

Một công ty công nghệ GigaCloud chuẩn bị ra mắt dịch vụ lưu trữ đám mây cao cấp dành riêng cho các doanh nghiệp lớn. Qua phân tích dữ liệu lớn (Big Data), các chuyên gia kinh tế của công ty xác lập được mô hình cầu như sau: Nếu định giá gói cước hàng tháng là $x$ (triệu đồng) thì số lượng doanh nghiệp đăng ký sử dụng $S$ (nghìn doanh nghiệp) sẽ là $S(x)=\sqrt{45-x}$ (Với điều kiện mức giá $x$ phải nhỏ hơn $45$ triệu đồng). Chi phí vận hành hệ thống của GigaCloud bao gồm hai khoản: Chi phí cố định là $10$ tỷ đồng mỗi tháng (cho cơ sở hạ tầng, nhân sự cốt lõi) và chi phí vận hành. Do đặc thù bảo mật dữ liệu, khi số lượng khách hàng tăng lên thì chi phí băng thông và bảo trì tăng theo cấp số nhân. Cụ thể, chi phí này tỷ lệ thuận với bình phương số lượng khách hàng $C_v=3S^2$ (tỷ đồng). Hãy xác định mức giá cước $x$ mà GigaCloud cần niêm yết để đạt lợi nhuận ròng hàng tháng cao nhất?

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-x^3+3x+10$ trên đoạn $[0;3]$ bằng

Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ
[IMAGE_1]

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;1]$ bằng

Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm $t=0$ giây cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm $t=126$ giây, cho bởi hàm số sau:
$v(t)=0,001302t^3-0,09029t^2+23$ ($v$ được tính bằng $\text{ft/s}$, $1\text{ feet}=0,3048\text{ m}$)
*(Theo: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)*
Trong khoảng thời gian đó, tìm thời điểm mà vận tốc của tàu con thoi nhỏ nhất *(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*.

Một nhà máy sản xuất xe đạp cho thị trường Việt Nam theo đơn giá $3$ triệu đồng/chiếc. Chi phí mỗi ngày của nhà máy được cho bởi hàm số $C(x)=0,5x^3-75x^2+4350x+60000$ (nghìn đồng), trong đó $x$ là số lượng xe đạp sản xuất được trong ngày hôm đó. Mỗi ngày nhà máy có thể sản xuất tối đa $130$ xe đạp. Giả sử số xe đạp sản xuất được trong mỗi ngày đều được bán hết vào cuối ngày đó. Hỏi số lượng xe mỗi ngày cần sản xuất là bao nhiêu để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất?

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30$ nghìn đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30$ nghìn đồng mà cứ tăng giá thêm $1$ nghìn đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là $18$ nghìn đồng. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất (đơn vị tính là nghìn đồng).

Một công ty công nghệ A cung cấp nền tảng Trí tuệ nhân tạo dạng phần mềm dịch vụ cho các doanh nghiệp. Mỗi doanh nghiệp đăng ký sử dụng sẽ phải trả mức phí cố định là $50$ triệu đồng/năm. Tổng chi phí vận hành hệ thống máy chủ và bảo trì trong một năm mà công ty A phải chi trả phụ thuộc vào số lượng doanh nghiệp $x$ ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) đang sử dụng phần mềm và được mô hình hóa bởi hàm số $C(x)=100\ln (x)+200$ (triệu đồng). Để công ty công nghệ A đạt mức lợi nhuận tối thiểu là $5$ tỷ đồng trong một năm, công ty A cần có ít nhất bao nhiêu doanh nghiệp sử dụng phần mềm đó?

Cho hàm số $y=f(x)=(x^2-5x+7)e^x$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một cửa hàng kinh doanh máy lọc nước Karofi. Hàm cầu biểu thị liên hệ giữa giá bán của một chiếc máy với số lượng máy bán được trong một tháng là hàm bậc nhất. Khi giá bán là $5$ triệu đồng một chiếc thì một tháng bán được $100$ chiếc, khi giá bán là $4,5$ triệu đồng một chiếc thì một tháng bán được $120$ chiếc. Biết chi phí trung bình cho một chiếc máy khi bán được $x$ chiếc là $\frac{3x+50}{x}$. Hỏi cửa hàng cần bán với giá bao nhiêu triệu đồng một chiếc máy để lợi nhuận thu được trong một tháng lớn nhất?

Câu 5. Trong ngành hàng hải, lượng nhiên liệu tiêu thụ của một con tàu trong một đơn vị thời gian xấp xỉ tỷ lệ thuận với lập phương vận tốc của nó. Một tàu chở hàng xuất phát từ cảng Singapore đi đến cảng Tiên Sa cách 1000 hải lý. Gọi $v$ (hải lý/giờ) là vận tốc của tàu ($v>0$). Dữ liệu kỹ thuật cho thấy chi phí nhiên liệu vận hành của con tàu là $0,02\cdot v^3\text{ (USD/giờ)}$. Các chi phí vận hành cố định khác như lương thuyền viên, khấu hao, bảo hiểm,... không phụ thuộc vào vận tốc tàu là $625\text{ USD/giờ}$. Hỏi thuyền trưởng cần duy trì vận tốc trung bình là bao nhiêu hải lý/giờ để tổng chi phí cho toàn bộ chuyến đi là thấp nhất?

Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất một loại sản phẩm. Hàm tổng chi phí khi doanh nghiệp này sản xuất và bán $x$ sản phẩm là $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+e}$ (đơn vị: USD), $x\in \mathbb{N}$. Biết rằng đồ thị hàm số $f(x)$ có tâm đối xứng là $I\left(-100;\frac{2000}{3}\right)$ và có đường tiệm cận xiên đi qua điểm $B(300;2000)$.
Theo khảo sát, tổng doanh thu của doanh nghiệp này được mô tả bởi hàm số $R(x)=0,1x^2+20x$ (đơn vị USD) và lợi nhuận thu về khi bán $200$ sản phẩm bằng $5250$ USD. Hỏi doanh nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì tổng chi phí là thấp nhất?

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^4-4x^2+9$ trên đoạn $[-2;3]$ bằng

Cho hàm số $f(x)=x^3-48x+97$.

Một cửa hàng bán hoa với giá $200$ nghìn/bó hoa thì bán được $300$ bó mỗi ngày. Nếu giảm $20$ nghìn/bó thì số lượng bó hoa bán ra tăng thêm $50$ bó mỗi ngày. Chi phí hằng ngày là $C(x)=50x+50000$ (nghìn đồng), với $x$ là số bó hoa được bán ra.