Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hình chiếu vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SB=SC$ và $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$, ta có $HA=HB=HC$ (do $S{A}^2=S{H}^2+H{A}^2$, v.v.). Vậy $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Mà $ABC$ vuông tại $B$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $AC$. Do đó $H$ là trung điểm cạnh $AC$ → chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$; điểm $B$ nằm trên $(ABC)$ nên hình chiếu của $B$ là chính nó. Vậy hình chiếu của đường thẳng $SB$ trên $(ABC)$ là đường thẳng $AB$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ lên mặt đáy là $A$. Các điểm $C,D$ đã nằm trên mặt phẳng $(ABCD)$ nên hình chiếu của chúng là chính chúng. Do đó hình chiếu vuông góc của tam giác $SCD$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là tam giác $ACD$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SB=SC=SD$ nên các tam giác $SAB,SBC,SCD,SDA$ cân tại $S$, suy ra hình chiếu của $S$ xuống $(ABCD)$ là tâm $O$ của hình vuông (điểm cách đều $A,B,C,D$). a) Đúng. b) Hình chiếu của $S$ là $O$, của $A$ là $A$, nên hình chiếu của đường thẳng $SA$ là $OA$, không phải $SO$ → Sai. c) $ABCD$ hình vuông nên $BD\perp AC$; $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp BD$; do đó $BD\perp (SAC)\Rightarrow BD\perp SA$ → Đúng. d) Hình chiếu của $S$ là $O$, của $O$ là $O$, của $B$ là $B$, nên hình chiếu của $\Delta SOB$ là $\Delta OAB$, không phải $\Delta OBC$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S$ cách đều bốn đỉnh của hình vuông nên hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$ là tâm $O$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $SA$ trên $(ABCD)$ là đoạn $OA$ (vì $S\mapsto O$, $A\mapsto A$), không phải $SO$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AC$ (hình vuông) và $BD\perp SO$ nên $BD\perp (SAC)$, suy ra $BD\perp SA$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $\Delta SOB$ trên $(ABCD)$ là $\Delta OAB$ (các đỉnh $S,O,B$ chiếu thành $O,O,B$), không phải $\Delta OBC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$. Lại có đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AD\perp AB$. Từ đó $AD\perp (SAB)$ (vì $AD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Vậy hình chiếu vuông góc của $D$ lên mặt phẳng $(SAB)$ chính là điểm $A$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Mặt khác $H$ là hình chiếu của $S$ lên $BC$ nên $SH\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAH)$, suy ra $BC\perp AH$ (vì $AH\subset (SAH)$). Các khẳng định A, C, D không được suy ra từ giả thiết. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$. Vì $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, do đó $HA=HC$, tức $H$ nằm trên trung trực của đoạn $AC$. Tương tự, $SB=SD$ suy ra $HB=HD$, tức $H$ nằm trên trung trực của đoạn $BD$. Trong hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ và $O$ là trung điểm của cả $AC$ lẫn $BD$, nên $O$ vừa thuộc trung trực của $AC$ vừa thuộc trung trực của $BD$. Hai trung trực này không trùng nhau (vì $AC$ và $BD$ không cùng nằm trên một đường thẳng) nên chúng cắt nhau tại đúng một điểm là $O$. Vậy $H=O$, tức hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $O$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CB\perp AB$. Mặt khác $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CB$. Do đó $CB\perp (SAB)$. Hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$ là $B$; $S$ và $B$ thuộc $(SAB)$ nên giữ nguyên. Vậy hình chiếu của tam giác $SBC$ trên $(SAB)$ là đoạn thẳng $SB$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (8A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Mặt khác $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Từ đó $CD\perp (SAD)$ (vì $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$). Suy ra hình chiếu của $C$ trên $(SAD)$ là $D$; các điểm $S$ và $D$ đã thuộc $(SAD)$ nên hình chiếu của tam giác $SCD$ trên $(SAD)$ là đoạn thẳng $SD$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (8B).

a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CB$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp CB$. Do đó $CB\perp (SAB)$. Hình chiếu vuông góc của $C$ trên $(SAB)$ là $B$, nên hình chiếu của $SC$ trên $(SAB)$ là $SB$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1103, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CB\perp AB$. Mặt khác $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CB$. Do đó $CB\perp (SAB)$ (vì $CB$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Suy ra hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$ là $B$, và vì $S\in (SAB)$ nên hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $(SAB)$ là $SB$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp BC$. Do đó $BC\perp (SAB)$ (vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong $(SAB)$). Suy ra $BC\perp SB$, tức $B$ là hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$, vậy hình chiếu của $SC$ lên $(SAB)$ là $SB$. Khớp đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $A$, do đó hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$ là $AB$ → a) Đúng. Tam giác $ABC$ đều nên $AB=AC=a$, kết hợp $SA$ chung và $\widehat{SAB}=\widehat{SAC}=90^{\circ }$, suy ra $△SAB=△SAC$ (c.g.c) nên $SB=SC$ → tam giác $SBC$ cân tại $S$ → b) Đúng. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$ → c) Đúng. Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$ với $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra góc bằng $60^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$ → d) Sai. Khớp với đáp án chính thức mã đề 1102: Đ Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $A$; hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$ là $AB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{SAB}=\widehat{SAC}=90^{\circ }$, $AB=AC=a$, $SA$ chung nên $△SAB=△SAC$ (c.g.c) $\Rightarrow SB=SC$, tam giác $SBC$ cân tại $S$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABC)$ mà $BC\subset (ABC)$ nên $SA\perp BC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$; $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp BC$. Giả sử $ABCD$ là hình bình hành (hoặc hình chữ nhật) với $AB\perp BC$ (chuẩn của bài này: $BC\perp AB$ do đáy có $AB\perp BC$). Khi đó $BC\perp SA$ và $BC\perp AB$ nên $BC\perp (SAB)$. Suy ra hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$ là $B$, do đó hình chiếu của $SC$ trên $(SAB)$ là $SB$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SB=SC$ nên các tam giác $SAH$, $SBH$, $SCH$ vuông tại $H$ có chung cạnh $SH$ và cạnh huyền bằng nhau, suy ra $HA=HB=HC$. Do đó $H$ cách đều ba đỉnh $A,B,C$, tức $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABCD)$. Đường thẳng $SD$ đi qua $S$ và $D$, trong đó $D\in (ABCD)$, nên hình chiếu vuông góc của $SD$ trên $(ABCD)$ là đường thẳng đi qua hình chiếu của $S$ (là $A$) và hình chiếu của $D$ (là $D$), tức là đường thẳng $AD$. Kết quả khớp với đáp án D trong bảng đáp án (đề 102, câu 6: D).

Đáp án mã đề 1014: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Do đó $BC\perp (SAB)$ (cùng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Vậy hình chiếu vuông góc của $C$ trên mặt phẳng $(SAB)$ là điểm $B$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Do đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Hình chiếu vuông góc của $C$ trên $(SAB)$ là giao của đường thẳng qua $C$ vuông góc với $(SAB)$, tức đường thẳng $CB$, với mặt phẳng $(SAB)$, chính là điểm $B$. Khớp với đáp án nguồn: C.