Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên đi qua $(0;2),(-2;0)$ là đường thẳng $y=x+2$. Ta có $y=\frac{x^2+x-3}{x-1}=x+2-\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x+2$ và đi qua $(0;3)$. Chọn C.

Đồ thị là của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-2$, cắt trục hoành tại $(2;0)$ và cắt trục tung tại $(0;-4)$, ứng với hàm số $y=\frac{-2x+4}{x-1}$. Chọn C.

Dựa vào đồ thị ta thấy:
- Đường tiệm cận đứng là $x=1$, tiệm cận ngang là $y=1$.
- Đồ thị cắt trục hoành tại $(-2;0)$ và cắt trục tung tại $(0;-2)$.
Kiểm tra hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ thỏa mãn tất cả các tính chất trên.
Chọn A.

a) Đúng: Điều kiện xác định là $x+1\ne 0\iff x\ne -1\Rightarrow D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) Sai: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thu được từ nghiệm của mẫu số là đường thẳng $x=-1$.
c) Đúng: Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2\cdot 1-(-3)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\ne -1$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.
d) Đúng: Giao điểm hai đường tiệm cận (đứng $x=-1$, ngang $y=2$) là tâm đối xứng $I(-1;2)$. Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình đường thẳng $d$: $-1+2(2)-3=0$ (đúng), vậy tâm đối xứng nằm trên đường thẳng $d$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 579, trang 5), Câu 9 (Phần I) chọn đáp án A.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua $(1;0)$ và $(0;-1)$, ứng với $y=\frac{x-1}{x+1}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 083, trang 5), Câu 1 (Phần II, câu 13): a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $f(x)=-\frac{1}{2}x+1+\frac{2}{x-1}$ có TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, $f^{\prime }(x)<0$ trên từng khoảng xác định, tâm đối xứng $(1;\frac{1}{2})$ và đồ thị như hình vẽ.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 083, trang 5), Câu 1 (Phần III, câu 17) có đáp số là $0$.

Điểm cực tiểu $(0;-2)$ và điểm cực đại $(2;2)$ có trung điểm là tâm đối xứng $I(1;0)$ của đồ thị hàm bậc ba, nên $f(1)=0$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 221, trang 4), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án B.

Đồ thị hàm bậc ba có hệ số $a<0$, đạt cực tiểu tại $(0;-4)$ và đạt cực đại tại $(2;0)$, ứng với $y=-x^3+3x^2-4$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 10 (Phần I) chọn đáp án B.

Đồ thị là hàm số bậc ba có $a>0$, đạt cực đại tại $(-1;4)$ và cực tiểu tại $(1;0)$, nên là hàm số $y=x^3-3x+2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 2 (Phần II, câu 14): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

a) Sai (hàm số không có cực trị). b) Đúng (hàm số đồng biến trên $[3;5]$ nên GTNN là $f(3)$). c) Sai (tiệm cận ngang là $y=-1$, còn $x=2$ là tiệm cận đứng). d) Đúng.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 3 (Phần III, câu 19) có đáp số là $0,2$.

Ta có $y=2x+3+\frac{10}{x-1}$. Giao điểm của TCĐ $x=1$ và TCX $y=2x+3$ là tâm đối xứng $I(1;5)⟹\frac{c}{d}=\frac{1}{5}=0,2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 12 (Phần I) chọn đáp án A.

Giao điểm của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$ là tâm đối xứng $(-1;2)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 9 (Phần I) chọn đáp án D.

Hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có $y^{\prime }=3x^2-6x=0⟺x=0\text{ hoặc }x=2$, với $y(0)=2$ và $y(2)=-2$ đúng với bảng biến thiên.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 12 (Phần I) chọn đáp án A.

Bảng biến thiên có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=-1$ và $y^{\prime }>0$, phù hợp với hàm số $y=\frac{-x-1}{x-2}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 1 (Phần 1) chọn đáp án A.

Đồ thị là hàm số bậc ba có hệ số $a<0$, đi qua $(0;-1)$ và đạt cực trị tại $x=\pm 1$, nên là hàm số $y=-x^3+3x-1$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 3 (Phần 1) chọn đáp án B.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-1$ và đi qua $(-2;0),(0;-2)$, nên là đồ thị hàm số $y=\frac{-x-2}{x+1}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 1 (Phần 3, câu 17) có đáp số là $-12$.

Ta có $y=x-6+\frac{20}{x+3}$. Giao điểm của TCĐ $x=-3$ và TCX $y=x-6$ là tâm đối xứng $I(-3;-9)$, suy ra $a+b=-12$.

Đồ thị là của hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có nhánh cuối đi lên nên $a>0$, và đi qua các điểm $(0;-2),(-1;0),(-2;2),(1;2)$. Đối chiếu các phương án ta được hàm số $y=x^3+3x^2-2$. Chọn B.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), Câu 3 (Phần 2, câu 15): a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0,\forall x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không có cực trị, có TCĐ $x=1$, TCN $y=2$, và tiếp tuyến tại $(0;-1)$ là $y=-3x-1$.

Đồ thị là của hàm số trùng phương có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-\infty$ nên hệ số $a<0$. Vậy hàm số là $y=-x^4+2x^2-1$. Chọn D.