Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$ nên $-c=2\Rightarrow c=-2$. Tiệm cận ngang $y=1$ nên $a=1$. Kiểm tra giao với trục tung: $y(0)=\frac{3}{c}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$, khớp với hình vẽ (điểm $-\frac{3}{2}$ trên trục tung). Vậy $T=a-2c=1-2(-2)=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại bên trái trục tung và cực tiểu bên phải trục tung. Xét $y=x^3-3x$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Tại $x=-1$ hàm đạt cực đại, tại $x=1$ đạt cực tiểu, và $y(0)=0$ nên đồ thị đi qua gốc tọa độ — khớp với hình vẽ. Các phương án A, B có $y(0)\ne 0$ (A qua gốc nhưng cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$ và dạng đi xuống bên phải không khớp; B cắt trục tung tại $y=1$), phương án C là hàm lẻ $y=-x^3+3x$ có cực tiểu bên trái và cực đại bên phải, ngược với hình vẽ. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi xuống rồi lên (đi lên vô cực khi x→−∞... thực tế khi x→−∞ thì y→−∞? Xét kỹ: đồ thị có điểm cực tiểu tại (0;−4), đi qua (1;−2) và cực đại tại (2;0). Xét $y=-x^3+3x^2-4$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $y(0)=-4$ là cực tiểu, $y(2)=-8+12-4=0$ là cực đại, và $y(1)=-1+3-4=-2$, khớp hoàn toàn với đồ thị. Loại A, B vì là hàm phân thức có tiệm cận (đồ thị không có). Loại D vì $y=x^3-3x^2+4$ có $y(0)=4$ (cực đại) và $y(2)=0$ (cực tiểu), ngược với đồ thị. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 11 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ (khớp mẫu số $x-1$), tiệm cận ngang là $y=-1$ nên $a=-1$. Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $(2;0)$ nên $\frac{2a-b}{2-1}=0\Rightarrow b=2a=-2$. Khi đó $a^2-8b=(-1{)}^2-8(-2)=1+16=17$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (17).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 10 là hàm bậc ba đi lên hai đầu, có cực đại tại $(0;2)$ và cực tiểu tại $(2;-2)$.
- Loại A, B vì đồ thị không có tiệm cận (A, B là hàm phân thức có tiệm cận đứng $x=0$ hoặc $x=1$).
- Xét C: $y=-x^3+3x^2+2$, $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\Rightarrow x=0,x=2$; nhưng $y(2)=-8+12+2=6\ne -2$, và $a<0$ nên nhánh trái đi lên, phải đi xuống — trái với đồ thị.
- Xét D: $y=x^3-3x^2+2$, $y(0)=2$; $y^{\prime }=3x^2-6x=0\Rightarrow x=0$ (cực đại $y=2$), $x=2$ (cực tiểu $y=8-12+2=-2$); $a>0$ nên hai nhánh đi lên vô cực, hoàn toàn khớp đồ thị.
Đáp án khớp với đáp án nguồn (Mã đề 121, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=1$ và đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=2$.

- $f(0)=d=1$; $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$, cực tiểu tại $x=0$ nên $c=0$; cực đại tại $x=-1$ nên $3a-2b=0$.
- $f(-1)=-a+b+d=2\Rightarrow -a+b=1$. Kết hợp $b=\frac{3a}{2}$ ta được $a=2,b=3,c=0,d=1$.

a) Đúng: đồ thị có điểm cực tiểu tại gốc tọa độ $x=0$.
b) Sai: đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$, không phải $(0;2)$.
c) Đúng: với $a=2>0$, hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$ (khoảng từ điểm cực tiểu).
d) Sai: $2a+b-c=2\cdot 2+3-0=7\ne 5$.

Khớp với đáp án nguồn: a) Đ; b) S; c) Đ; d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực tiểu tại $x=0$ (điểm thấp nhất gần gốc, $f(0)=1$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(0)=d=1$, đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$, không phải $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực tiểu tại $x=0$ với $a>0$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $d=1$, $c=0$, $3a-2b=0$, $-a+b=1$ nên $a=2,b=3$. Khi đó $2a+b-c=7\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một hyperbol có tiệm cận đứng $x=0$ (trục $Oy$) và tiệm cận ngang $y=1$ (đường đứt nét ngang qua mức $y=1$). Tâm đối xứng của đồ thị là giao hai tiệm cận: $I(0;1)$, nên $a=0$, $b=1$, suy ra $S=a+b=0+1=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 121: đáp số 1).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ (nên loại C, D vì chúng có tiệm cận đứng $x=2$) và tiệm cận xiên có hệ số góc dương. Xét phương án B: $y=\frac{x^2+3x+1}{x+2}=x+1+\frac{-1}{x+2}$, có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x+1$, khớp với đồ thị. Phương án A: $y=\frac{-x^2+x-1}{x+2}=-x-1+\frac{1}{x+2}$ có tiệm cận xiên $y=-x-1$ (hệ số góc âm), không khớp. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-2$ (đường màu xanh đậm), đồ thị có tiệm cận xiên và cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $2$. Xét $y=\frac{-x^2-3x+4}{x+2}$ (đáp án D): $y(0)=\frac{4}{2}=2$ phù hợp; mẫu số $x+2=0$ cho tiệm cận đứng $x=-2$ phù hợp. Chia đa thức: $-x^2-3x+4=(x+2)(-x-1)+6$, nên tiệm cận xiên là $y=-x-1$, đường thẳng này cắt trục hoành tại $x=-1$, đúng như đường thẳng tiệm cận xiên trong hình. Các phương án A, B có tiệm cận đứng $x=-2$ hoặc $x=-1$ nhưng là hàm bậc nhất trên bậc nhất (không có nhánh đi lên vô cực ở hai bên như hình với tiệm cận xiên), phương án C có tiệm cận đứng $x=-1$ (không phù hợp hình vẽ) và $y(0)=2$ nhưng tiệm cận xiên $y=-x-2$ cắt trục hoành tại $-2$, không khớp. Vậy đồ thị là của hàm số ở phương án D, trùng với đáp án ma trận đề 3102 (Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}$. Từ hình vẽ (trang 6), tiệm cận đứng là $x=1$ và tiệm cận ngang là $y=2$. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai tiệm cận, tức $(1;2)$. Kết quả khớp với đáp án A (bảng đáp án mã đề 3102, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực đại $(-2;2)$, điểm cực tiểu $(0;-2)$ và đi qua $(-1;0)$. Xét $y=x^3+3x^2-2$: $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$. Khi đó $f(-2)=-8+12-2=2$ (cực đại), $f(0)=-2$ (cực tiểu), và $f(-1)=-1+3-2=0$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các hàm còn lại cho cực trị sai (ví dụ B có cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$; C, D có $a<0$ nên ngược hướng với đồ thị đi lên ở hai đầu). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 3101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có dạng đường cong bậc ba với điểm cực tiểu tại $(-1;-2)$ và điểm cực đại $(1;2)$, đi qua gốc tọa độ, nên là hàm bậc ba dạng $y=a{x}^3+bx$ với $a>0$. a) Đúng: đồ thị có hình dạng đường cong bậc ba với hai nhánh đi lên hai đầu vô cực. b) Sai: hàm $y=-x^3-3x$ có $a<0$ (nhánh đi xuống phía bên phải) và là hàm nghịch biến trên ℝ, không có cực trị, trong khi đồ thị đã cho có hai cực trị và tăng rồi giảm. Thực tế đồ thị khớp với $y=x^3-3x$ (cực tiểu $(-1;-2)$, cực đại $(1;2)$). c) Đúng: đồ thị có một điểm cực tiểu tại $x=-1$ và một điểm cực đại tại $x=1$, tức hai điểm cực trị. d) Sai: trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu đến điểm cực đại, nên hàm số đồng biến (không nghịch biến) trên $(-1;1)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có dạng đường cong bậc ba với hai nhánh đi lên hai đầu vô cực, nên là đồ thị hàm số bậc ba.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=-x^3-3x$ nghịch biến trên ℝ và không có cực trị, trong khi đồ thị đã cho có cực tiểu $(-1;-2)$ và cực đại $(1;2)$. Đồ thị khớp với $y=x^3-3x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có một điểm cực tiểu tại $x=-1$ và một điểm cực đại tại $x=1$: hai điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu đến điểm cực đại, nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba có hệ số a<0 (nhánh trái đi lên, nhánh phải đi xuống), đạt cực tiểu tại điểm (0;−4) và cực đại tại điểm (2;0), đồng thời đi qua điểm (−1;0). Kiểm tra phương án A: y=−x³+3x²−4 có y(0)=−4 (cực tiểu vì y'=−3x²+6x=−3x(x−2), y'<0 khi x<0, y'>0 khi 0<x<2), y(2)=−8+12−4=0 (cực đại), y(−1)=1+3−4=0. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án B có a>0 (sai chiều nhánh); phương án C cho y(0)=−2 (sai); phương án D không có cực đại tại x=2 (y'=−3x² chỉ có 1 nghiệm x=0). Đáp án khớp với mã đề 1002, câu 5: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm bậc ba có điểm cực tiểu tại $(0;-4)$ và điểm cực đại tại $(2;0)$, đồng thời nhánh trái đi lên khi $x\to -\infty$ nên hệ số $a<0$. Xét $y=-x^3+3x^2-4$: có $y(0)=-4$ (cực tiểu), $y(2)=-8+12-4=0$ (cực đại), $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, phù hợp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có $a>0$ và $y(0)=-4$ nhưng cực đại tại $x=0$; C cho $y(0)=-2\ne -4$; D không có cực trị (đạo hàm $-3x^2\le 0$). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba có cực tiểu tại $x=-1$ với $f(-1)=-2$ và cực đại tại $x=1$ với $f(1)=2$, đi qua gốc tọa độ, nên $f(x)=x^3-3x$ (dạng $y=a{x}^3+bx$ với $a=1,b=-3$; kiểm tra: $f(1)=1-3=-2$... thực tế đồ thị cho $f(1)=2$, phù hợp $f(x)=x^3-3x$ tại cực đại $x=1$: $f(1)=1-3=-2$? Xét lại: cực đại tại $x=1$ có $y=2$ và cực tiểu tại $x=-1$ có $y=-2$ tương ứng $f(x)=x^3-3x$ đảo dấu, tức đồ thị có dạng đi lên từ trái, cực tiểu bên trái tại $x=-1$, cực đại bên phải tại $x=1$ — đúng là $f(x)=x^3-3x$ với $f(-1)=-1+3=2$? Kiểm tra kỹ: $f(x)=x^3-3x$ có $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, cực đại tại $x=-1$ ($f(-1)=2$), cực tiểu tại $x=1$ ($f(1)=-2$). Đồ thị vẽ cho thấy nhánh trái đi xuống từ $+\infty$... thực chất đồ thị có cực tiểu tại $x=-1$ ($y=-2$) và cực đại tại $x=1$ ($y=2$), tức $f(x)=-x^3+3x$. Dù hệ số cụ thể là $x^3-3x$ hay $-x^3+3x$, các kết luận không đổi:
a) Đúng: đồ thị có dạng đường cong bậc ba với hai cực trị, xác định trên $\mathbb{R}$, nên là hàm bậc ba.
b) Sai: $y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x$, hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$, không có cực trị — mâu thuẫn với đồ thị có hai cực trị.
c) Sai: trên $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu đến điểm cực đại, hàm đồng biến trên khoảng này.
d) Đúng: đồ thị có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại, tức hai điểm cực trị.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong liên tục trên $\mathbb{R}$, có hai cực trị và hai nhánh đi ra vô cực theo hai phía khác nhau, đặc trưng của hàm số bậc ba.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x$ nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị, mâu thuẫn với đồ thị có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị đi từ điểm cực tiểu (tại $x=-1$) lên điểm cực đại (tại $x=1$), nên hàm đồng biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại, vậy hàm số có hai điểm cực trị.

a) Phép chia: $\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x+1$ → Sai.
b) Với đạo hàm đúng $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, trên $(-3;1)$ có $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đó → Đúng.
c) Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, khác công thức in trong đề → Sai (đáp án đề 1001: S).
d) Theo công thức đạo hàm in trong đề $y^{\prime }=\frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}>0$ trên $(0;2)$, hàm số đồng biến nên khẳng định nghịch biến là Sai (đáp án đề 1001: S). Lưu ý: đề in công thức đạo hàm $x^2+2x$ trong khi đạo hàm đúng là $x^2-2x$; với đạo hàm đúng, hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ — mâu thuẫn nội tại của đề gốc, giữ nguyên theo đáp án chính thức SDSS.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba: nhánh phải đi xuống nên $a<0$. Hàm số có cực tiểu tại $x_1<0$ và cực đại tại $x_2>0$. Ta có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ với $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$, do $a<0$ nên $c>0$. Tổng $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$, do $a<0$ nên $b>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$. Vậy $a<0,b>0,c>0,d<0$, khớp đáp án A (đáp án nguồn: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi qua các điểm đặc biệt: cắt trục $Oy$ tại $(0;-2)$, đi qua $(1;0)$, có điểm cực tiểu tại $(0;-2)$ và điểm cực đại tại $(2;2)$. Xét phương án B: $y=-x^3+3x^2-2$. Ta có $y(0)=-2$ (khớp giao với $Oy$), $y(1)=-1+3-2=0$ (khớp giao $Ox$ tại $x=1$), $y(2)=-8+12-2=2$ (khớp điểm cực đại). Đạo hàm $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; với $x<0$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến), $0<x<2$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến), $x>2$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến) — đúng dạng cực tiểu tại $(0;-2)$ và cực đại tại $(2;2)$ như hình vẽ. Các phương án khác loại: A là parabol (không phải đường cong bậc ba có 2 cực trị dạng chữ S), C là hyperbol có tiệm cận, D có $y(0)=-2$ nhưng $y^{\prime }=3x^2+3>0$ luôn đồng biến nên không có cực trị. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. → Đúng.
b) $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$, nhưng hàm số không liên tục tại $x=1$ nên chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn tập xác định. → Sai.
c) Vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x-2}{x-1}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$. → Đúng.
d) Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua điểm $(0;2)$ và $(2;0)$, các nhánh đồng biến — khớp với hình vẽ. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x\ne 1$, nên TXĐ là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nhưng hàm số gián đoạn tại $x=1$, nên chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn tập xác định.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$, qua $(0;2)$, $(2;0)$, các nhánh đồng biến — đúng như hình vẽ.

Thang điểm (mỗi bước 0,25 điểm):
TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$
$y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

Kết luận đúng hàm số db, nb và CD, CT
Vẽ đúng đồ thị:
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f2]