Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng biến thiên và IQR mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

Cỡ mẫu $n=56$. Tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm $[12,5;15,5)$: $Q_1=12,5+\frac{14-3}{12}\cdot 3=15,25$. Tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm $[18,5;21,5)$: $Q_3=18,5+\frac{42-30}{24}\cdot 3=20$. Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=20-15,25=4,75$.

Điểm trung bình hai lớp đều bằng $7,5$. Khoảng tứ phân vị của lớp 12C là ${\Delta }_Q(C)=8,8-\frac{19}{3}\approx 2,47$, lớn hơn của lớp 12D (${\Delta }_Q(D)\approx 8,075-7,054=1,021$).

Khoảng biến thiên $R=180-30=150$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=180-155=25$.

a) Đúng: $R=10-1=9$.
b) Đúng (theo đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hưng Yên).
c) Sai: Tổng số học sinh khối 11 là $540$, điểm trung bình ${\bar{x}}_{11}=\frac{2736}{540}\approx 5,07\ne 4,83$.
d) Đúng: Độ lệch chuẩn của khối 10 ($s_{10}\approx 1,59$) nhỏ hơn độ lệch chuẩn của khối 11 ($s_{11}\approx 1,76$), nên học sinh khối 10 có điểm đồng đều hơn.

Cỡ mẫu $n=11+16+12+15+10+16=80$.
Ta có $Q_1\in [500;1000)\Rightarrow Q_1=500+\frac{20-11}{16}\cdot 500=781,25$.
$Q_3\in [2000;2500)\Rightarrow Q_3=2000+\frac{60-54}{10}\cdot 500=2300$.
Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=2300-781,25=1518,75\approx 1519$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=a_{m+1}-a_1$.

Cỡ mẫu $n=130$. Tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm $[7;9)$ nên $Q_1=7+\frac{\frac{130}{4}-31}{29}\cdot 2=\frac{206}{29}$. Tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm $[9;11)$ nên $Q_3=9+\frac{\frac{390}{4}-60}{40}\cdot 2=\frac{87}{8}$. Vậy ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{87}{8}-\frac{206}{29}=\frac{875}{232}$. Chọn D.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=11-5=6$. Chọn A.

a) Đúng: $R=210-60=150$ (phút).
b) Đúng: $Q_1=90+\frac{8,75-6}{6}\cdot 30=103,75$; $Q_3=150+\frac{26,25-23}{6}\cdot 30=166,25\Rightarrow {\Delta }_Q=Q_3-Q_1=62,5$ (phút).
c) Sai: Độ lệch chuẩn của nhóm $A$ ($s_A\approx 33,72$) nhỏ hơn độ lệch chuẩn của nhóm $B$ ($s_B=45$), nên nhóm $A$ đồng đều hơn nhóm $B$.
d) Đúng: Có $6$ học sinh tự học từ $180$ phút trở lên ($2$ nhóm $A$, $4$ nhóm $B$) và $29$ học sinh dưới $180$ phút ($17$ nhóm $A$, $12$ nhóm $B$). Số cách chọn thỏa mãn là $C_6^2{C}_{29}^2-C_2^2{C}_{17}^2-C_4^2{C}_{12}^2=6090-136-396=5558$, xác suất là $\frac{5558}{C_{35}^4}=\frac{5558}{52360}$.
Đáp án (Phần II Câu 4, trang 7): Đ, Đ, S, Đ.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=18-3=15{\text{ m}}^3$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 5): B.

Cỡ mẫu $n=50$. Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là $[8;10)$: $Q_1=8+\frac{\frac{50}{4}-6}{14}\cdot (10-8)=8+\frac{6,5}{14}\cdot 2=\frac{125}{14}$. Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là $[12;14)$: $Q_3=12+\frac{\frac{3\cdot 50}{4}-36}{12}\cdot (14-12)=12+\frac{1,5}{12}\cdot 2=\frac{49}{4}$. Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{49}{4}-\frac{125}{14}=\frac{93}{28}\approx 3,32$.

Dựa vào bảng số liệu, các nhóm có điểm của lớp 12A trải từ $[2;4)$ đến $[8;10]$ nên $R_A=10-2=8$. Các nhóm có điểm của lớp 12B trải từ $[0;2)$ đến $[8;10]$ nên $R_B=10-0=10$. Vậy $R_A+R_B=8+10=18$.

**a) Đúng.** Khoảng biến thiên $R=6-1=5$.

**b) Đúng.** Ta có $Q_1=3$ và nhóm chứa $Q_3$ là $[4;5)$ nên $Q_3=4+\frac{30-22}{10}\cdot (5-4)=4,8$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=4,8-3=1,8$.

**c) Sai.** Giá trị đại diện các nhóm là $1,5;2,5;3,5;4,5;5,5$. Số trung bình $\bar{x}=\frac{4\cdot 1,5+6\cdot 2,5+12\cdot 3,5+10\cdot 4,5+8\cdot 5,5}{40}=3,8$. Phương sai $s^2=\frac{4\cdot 1,5^2+6\cdot 2,5^2+12\cdot 3,5^2+10\cdot 4,5^2+8\cdot 5,5^2}{40}-3,8^2=1,51$.

**d) Đúng.** Nhóm 1 có $4+6=10$ em; Nhóm 2 có $12+10=22$ em; Nhóm 3 có $8$ em. Không gian mẫu $n(\Omega )=C_{40}^4=91390$. Số cách chọn $4$ học sinh có đủ $3$ nhóm là $n(A)=C_{10}^2{C}_{22}^1{C}_8^1+C_{10}^1{C}_{22}^2{C}_8^1+C_{10}^1{C}_{22}^1{C}_8^2=7920+18480+6160=32560$. Xác suất $P(A)=\frac{32560}{91390}=\frac{88}{247}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=7-2=5$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=70-45=25$.

- **a) Đúng:** $R=18-8=10$ (giờ).
- **b) Sai:** Cỡ mẫu $n=40$. Vị trí $Q_1$ thuộc nhóm $[10;12)$ nên $Q_1=10+\frac{10-7}{7}\cdot 2=\frac{76}{7}$. Vị trí $Q_3$ thuộc nhóm $[14;16)$ nên $Q_3=14+\frac{30-26}{7}\cdot 2=\frac{106}{7}$. Suy ra ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{30}{7}\approx 4,3$ (giờ).
- **c) Sai:** Trung bình hai dòng máy đều bằng ${\overline{x}}_A={\overline{x}}_B=\frac{260}{20}=13$ (giờ). Phương sai dòng A là $s_A^2=\frac{1}{20}(2\cdot 9^2+4\cdot 11^2+8\cdot 13^2+4\cdot 15^2+2\cdot 17^2)-13^2=\frac{3476}{20}-169=4,8$. Phương sai dòng B là $s_B^2=\frac{1}{20}(5\cdot 9^2+3\cdot 11^2+4\cdot 13^2+3\cdot 15^2+5\cdot 17^2)-13^2=\frac{3564}{20}-169=9,2$. Vì $s_A^2<s_B^2$ nên thời lượng pin của dòng A đồng đều hơn dòng B.
- **d) Đúng:** Nhóm từ $16$ giờ trở lên có $7$ máy ($2$ máy dòng A, $5$ máy dòng B); nhóm còn lại có $33$ máy ($18$ máy dòng A, $15$ máy dòng B). Số cách chọn $2$ máy từ nhóm $[16;18)$ và $2$ máy từ nhóm còn lại sao cho có cả A và B là $C_7^2{C}_{33}^2-C_2^2{C}_{18}^2-C_5^2{C}_{15}^2=11088-153-1050=9885$. Không gian mẫu $n(\Omega )=C_{40}^4=91390$, xác suất bằng $\frac{9885}{91390}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=10-3=7$.

Mẫu số liệu có cỡ mẫu $n=20$. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$. Tứ phân vị thứ ba $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$.