Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;2)$. Mặt phẳng cần tìm đi qua $M(2;1;0)$ và chứa $d$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với $\vec{u}$ và $\overrightarrow{AM}=(1;1;-2)$.
$$\vec{n}=\vec{u}\times \overrightarrow{AM}=(1\cdot (-2)-2\cdot 1;2\cdot 1-2\cdot (-2);2\cdot 1-1\cdot 1)=(-4;6;1).$$
Phương trình mặt phẳng qua $M(2;1;0)$: $-4(x-2)+6(y-1)+1(z-0)=0$, tức $-4x+6y+z+2=0$, hay $4x-6y-z-2=0$.
Kiểm tra: điểm $A(1;0;2)$ thuộc mặt phẳng vì $4-0-2-2=0$; $\vec{n}\cdot \vec{u}=-8+6+2=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng (P): 2x+2y+3z-6=0 có VTCP (2;2;3), nên n=(-2;-2;-3) cũng là vecto pháp tuyến (cùng phương). b) Đúng: thay A(3;2;0): 2·3+2·2+3·0-6=4≠0 nên A không thuộc (P). c) Sai: (Q) song song (P) có dạng 2x+2y+3z+d=0; qua A(3;2;0): 6+4+d=0 ⇒ d=-10, vậy (Q): 2x+2y+3z-10=0, không phải -12. d) Sai: OM=t, ON=2t, OP=4t; mặt phẳng qua M(t;0;0), N(0;2t;0), P(0;0;4t) có dạng x/t + y/(2t) + z/(4t) = 1. B(1;3;-2) thuộc (R): 1/t + 3/(2t) - 1/(2t) = 1 ⇒ 2/t = 1 ⇒ t=2. Thể tích tứ diện OMNP = (1/6)·OM·ON·OP = (1/6)·2·4·8 = 32/3 ≠ 64.
a) (AI giải đề cho tôi)
n=(-2;-2;-3) cùng phương với (2;2;3) nên là vecto pháp tuyến của (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(3;2;0) vào (P): 6+4-6=4≠0 nên A không thuộc (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
(Q): 2x+2y+3z+d=0 qua A(3;2;0) ⇒ d=-10, phương trình đúng là 2x+2y+3z-10=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với OM=t, ON=2t, OP=4t và B(1;3;-2) thuộc (R) ta được t=2, V = (1/6)·2·4·8 = 32/3 ≠ 64.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $M\left(\frac{1+3}{2};\frac{6+2}{2};\frac{-7+1}{2}\right)=M(2;4;-3)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;-4;8)$, chọn vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;4)$. Mặt phẳng trung trực qua $M$: $1(x-2)-2(y-4)+4(z+3)=0\iff x-2y+4z+18=0$. Vậy $a=1,b=-2,c=4$, do đó $a-4b+3c=1-4(-2)+3(4)=1+8+12=21$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;1;3)$, đi qua điểm $A(3;-2;1)$. Đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(3;2;-2)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và song song với ${\Delta }^{\prime }$ nên vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=(1\cdot (-2)-3\cdot 2;3\cdot 3-2\cdot (-2);2\cdot 2-1\cdot 3)=(-8;13;1)$.
Nhân với $-1$ để hệ số của $x$ bằng $8$: $\vec{n}=(8;-13;-1)$, tức $b=-13$, $c=-1$.
Vì $(P)$ qua $A(3;-2;1)$: $8\cdot 3+(-13)(-2)+(-1)(1)+d=0\Rightarrow 24+26-1+d=0\Rightarrow d=-49$.
Vậy $b+c+d=-13-1-49=-63$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $A(0;0;1)$ vào $(P):ax+by+cz-1=0$ ta được $c-1=0\Rightarrow c=1$. Thay $B(1;0;0)$ vào $(P)$ ta được $a-1=0\Rightarrow a=1$. Mặt phẳng $(Oxz)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(0;1;0)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b;c)=(1;b;1)$. Góc giữa hai mặt phẳng bằng $45^{\circ }$ nên $\cos 45^{\circ }=\frac{|\vec{n}\cdot {\vec{n}}_1|}{|\vec{n}||{\vec{n}}_1|}=\frac{|b|}{\sqrt{1+b^2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Suy ra $\frac{b^2}{b^2+2}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2b^2=b^2+2\Rightarrow b^2=2$. Vì $b<0$ nên $b=-\sqrt{2}$. Vậy $a+b+2c=1-\sqrt{2}+2=3-\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Đường thẳng Δ có véc tơ chỉ phương u1=(3;2;-1) và đi qua điểm M(2;-1;7). Véc tơ MI=(0;2;-7). Pháp tuyến (Q): n = u1 × MI = (2·(-7)-(-1)·2; (-1)·0-3·(-7); 3·2-2·0) = (-12;21;6) = -3(4;-7;2). Vậy n(4;-7;2) là một pháp tuyến của (Q).
b) Sai. Khoảng cách từ I(2;1;0) đến (P): d = |2+1-0+12|/√(1+1+25) = 15/(3√3) = 5/√3, nên R² = 25/3. Mặt cầu tâm I có phương trình (x-2)² + (y-1)² + z² = 25/3, không phải (x-1)² + (y-1)² + z² = 25/3.
c) Đúng. Giao điểm với các trục: A(-12;0;0), B(0;-12;0), C(0;0;12/5). Pháp tuyến (P): n=(1;1;-5). Đường cao từ A có phương hướng n × BC với BC=(0;12;12/5): (72/5;-12/5;12) ∼ (6;-1;5), nên đường cao: (-12+6s; -s; 5s). Đường cao từ B có phương hướng n × AC với AC=(12;0;12/5): (12/5;-312/5;-12) ∼ (1;-26;-5), nên đường cao: (t; -12-26t; -5t). Giải hệ: 5s=-5t ⇒ s=-t; -12+6s=t ⇒ -12-6t=t ⇒ 27t=-12 ⇒ t=-4/9. Vậy H=(-4/9; -4/9; 20/9) (thỏa mãn cả đường cao từ A: s=4/9 cho cùng điểm). Khi đó a·b·c = (-4/9)(-4/9)(20/9) = 320/729.
d) Đúng. Δ có véc tơ chỉ phương (3;2;-1), nên u(-3;-2;1) = -(3;2;-1) cũng là một véc tơ chỉ phương của Δ.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = (3;2;-1) × (0;2;-7) = (-12;21;6) = -3(4;-7;2), nên n(4;-7;2) là một pháp tuyến của (Q).
b) (AI giải đề cho tôi)
d(I,(P)) = 15/√27 = 5/√3 nên R²=25/3, nhưng tâm là I(2;1;0) nên phương trình đúng là (x-2)²+(y-1)²+z²=25/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
A(-12;0;0), B(0;-12;0), C(0;0;12/5). Giải hệ ba đường cao được H=(-4/9;-4/9;20/9), nên a·b·c = 320/729.
d) (AI giải đề cho tôi)
u(-3;-2;1) = -(3;2;-1) cùng phương với véc tơ chỉ phương của Δ.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P): $5x-3y-4z+1=0$ có dạng $ax+by+cz+d=0$ với $a=5,b=-3,c=-4$. Véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(5;-3;-4)$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P): $6x-4z+5=0$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(6;0;-4)$. Véc tơ $(3;0;-2)$ cùng phương với $\vec{n}$ (nhân với $\frac{1}{2}$), nên là véc tơ pháp tuyến của (P). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (Oxz) có phương trình $y=0$, nên véc tơ pháp tuyến của nó có dạng $(0;b;0)$ với $b\ne 0$. Trong các đáp án, chỉ có $(0;1;0)$ thỏa mãn. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P) đi qua M(2;3;5) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(4;3;2)$ nên có phương trình: $4(x-2)+3(y-3)+2(z-5)=0$, tức $4x+3y+2z-27=0$. Kiểm tra: thay M vào: $8+9+10-27=0$ đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng BC là $\overrightarrow{BC}=C-B=(1-2;-1-1;2-0)=(-1;-2;2)$, nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng là $\vec{n}=(-1;-2;2)$. Mặt phẳng đi qua $A(-1;1;1)$: $-1(x+1)-2(y-1)+2(z-1)=0\iff -x-2y+2z-1=0\iff x+2y-2z+1=0$. Thử lại: thay A: $-1+2-2+1=0$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P) song song với (Q): $5x-3y+2z-10=0$ nên nhận cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(5;-3;2)$. Phương trình (P) có dạng $5x-3y+2z+c=0$. Thay điểm M(2; 3; -1): $5(2)-3(3)+2(-1)+c=0\Rightarrow 10-9-2+c=0\Rightarrow c=1$. Vậy $(P):5x-3y+2z+1=0$. Kiểm tra: M(2;3;-1) thỏa mãn $10-9-2+1=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(1-3;3-5;6-(-2))=(-2;-2;8)$ nên mặt phẳng trung trực (P) có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(-2;-2;8)$. Trung điểm của AB là $I\left(\frac{3+1}{2};\frac{5+3}{2};\frac{-2+6}{2}\right)=(2;4;2)$. Phương trình (P) đi qua I với pháp tuyến $\vec{n}$: $-2(x-2)-2(y-4)+8(z-2)=0\iff -2x-2y+8z-4=0$. Kiểm tra: $-2(2)-2(4)+8(2)-4=0$, thỏa mãn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-3;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;2;2)$. Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-6+2;-(4-2);4-6)=(-4;-2;-2)\parallel (2;1;1)$. Mặt phẳng qua A(2;0;3): $2(x-2)+1(y-0)+1(z-3)=0\iff 2x+y+z-7=0$. Kiểm tra: B: $8-3+2-7=0$; C: $0+2+5-7=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua 3 điểm trên ba trục tại các giao điểm A(-3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;-2) có dạng đoạn chắn: $\frac{x}{-3}+\frac{y}{4}+\frac{z}{-2}=1$. Kiểm tra: thay A: $\frac{-3}{-3}=1$ ✓; thay B: $\frac{4}{4}=1$ ✓; thay C: $\frac{-2}{-2}=1$ ✓. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ M(-2; -4; 3) đến mặt phẳng (P): $2x-y+2z-3=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2(-2)-(-4)+2(3)-3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|-4+4+6-3|}{3}=\frac{3}{3}=1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm vuông góc với cả (P) và (Q) nên là tích có hướng: $\vec{n}=\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=(3;-2;2)\times (5;-4;3)=(2;1;-2)$. Mặt phẳng có dạng $2x+y-2z+d=0$. Thay $M(3;-1;-5)$: $6-1+10+d=0\Rightarrow d=-15$. Vậy mặt phẳng là $2x+y-2z-15=0$, trùng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của $d$: $\vec{n}=(1;-3;2)$. Mặt phẳng đi qua $A(2;-1;1)$ nên có phương trình: $1(x-2)-3(y+1)+2(z-1)=0\Rightarrow x-3y+2z-2-3-2=0\Rightarrow x-3y+2z-7=0$. Kiểm tra: thay $A(2;-1;1)$: $2+3+2-7=0$ đúng. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $d(M,(P))=\frac{|2\cdot 1-3+3\cdot (-2)+4|}{\sqrt{4+1+9}}=\frac{|2-3-6+4|}{\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}\approx 0,802\ne \frac{15}{\sqrt{56}}\approx 2,004$ → Sai.
b) $\overrightarrow{n_P}=(2;-1;3)$, $\overrightarrow{n_Q}=(4;-2;6)=2\overrightarrow{n_P}$: hai vecto pháp tuyến cùng phương nên $(P)\parallel (Q)$, không vuông góc → Sai.
c) Chuẩn hóa $(Q)$: $2x-y+3z-\frac{1}{2}=0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: $d=\frac{\left|4-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|}{\sqrt{14}}=\frac{9}{2\sqrt{14}}=\frac{9\sqrt{14}}{28}=\frac{9\sqrt{56}}{56}$ → Đúng.
d) Mặt phẳng qua $M(1;3;-2)$ song song $(P)$: $2x-y+3z+d=0$ với $2-3-6+d=0\Rightarrow d=7$, tức $2x-y+3z+7=0\ne 2x-y+3z-10=0$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,(P))=\frac{|2-3-6+4|}{\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}\ne \frac{15}{\sqrt{56}}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_Q}=(4;-2;6)=2\overrightarrow{n_P}$ nên $(P)\parallel (Q)$, không vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$: $2x-y+3z-\frac{1}{2}=0$; $d=\frac{\left|4+\frac{1}{2}\right|}{\sqrt{14}}=\frac{9}{2\sqrt{14}}=\frac{9\sqrt{56}}{56}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M$ vào $2x-y+3z+d=0$ được $d=7$, phương trình là $2x-y+3z+7=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-z-2=0$ có VTPT ${\vec{n}}_0=(1;2;-1)$. a) $\vec{n}=(-2;-4;2)=-2{\vec{n}}_0$ nên là VTPT của $(\alpha )$ → đúng. b) Thay $B(3;-3;-5)$: $3+2(-3)-(-5)-2=3-6+5-2=0$ nên $B\in (\alpha )$, khẳng định 'không thuộc' → sai. c) $d(A,(\alpha ))=\frac{|-7+2(-1)-(-4)-2|}{\sqrt{1+4+1}}=\frac{|-7|}{\sqrt{6}}=\frac{7\sqrt{6}}{6}$ → đúng. d) ${\vec{n}}_R=(3;-3;-5)$, $\cos \phi =\frac{|3-6+5|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{43}}=\frac{2}{\sqrt{258}}\approx 0,1245$ nên $\phi \approx 82,85^{\circ }\approx 82,8^{\circ }$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=(-2;-4;2)=-2(1;2;-1)$ cùng phương với VTPT $(1;2;-1)$ của $(\alpha )$ nên là một VTPT của $(\alpha )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ $B(3;-3;-5)$ vào PT: $3+2(-3)-(-5)-2=0$, nên $B$ thuộc $(\alpha )$; khẳng định 'không thuộc' là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(\alpha ))=\frac{|-7+2(-1)-(-4)-2|}{\sqrt{6}}=\frac{7}{\sqrt{6}}=\frac{7\sqrt{6}}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \phi =\frac{|1\cdot 3+2\cdot (-3)+(-1)(-5)|}{\sqrt{6}\sqrt{43}}=\frac{2}{\sqrt{258}}\approx 0,1245\Rightarrow \phi \approx 82,8^{\circ }$.