Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $B(0;0;0)$, $C(1;0;0)$, $A(0;1;0)$, $D(1;1;0)$, $S(0;0;2)$. Khi đó $M(\frac{1}{2};1;0)$, $N(\frac{1}{2};0;0)$, $E=\frac{S+2A}{3}=(0;\frac{2}{3};\frac{2}{3})$ (vì $SE=2EA$), $P$ trung điểm $SN=(\frac{1}{4};0;1)$.

a) $F=CM\cap BD$: đường $BD$ có dạng $(t;t;0)$, đường $CM$: $(1-\frac{s}{2};s;0)$. Suy ra $s=1-\frac{s}{2}\Rightarrow s=\frac{2}{3}$, nên $F(\frac{2}{3};\frac{2}{3};0)$. Vì $F$ thuộc $BD$ với $t=\frac{2}{3}$ nên $\frac{FD}{FB}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}$.

Mặt phẳng $(EFP)$: $\overrightarrow{EF}=(\frac{2}{3};0;-\frac{2}{3})$, $\overrightarrow{EP}=(\frac{1}{4};-\frac{2}{3};\frac{1}{3})$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EP}\propto (8;7;8)$. Phương trình mặt phẳng qua $E$: $8x+7y+8z=10$. Giao với đường thẳng $BC$ (có $y=z=0$): $8x=10\Rightarrow x=\frac{5}{4}$, tức $Q(\frac{5}{4};0;0)$ nằm trên tia kéo dài $BC$ qua $C$. Vậy $CQ=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}$ nên $\frac{CQ}{CB}=\frac{1}{4}$.

b) Khoảng cách từ $D(1;1;0)$ đến mặt phẳng $8x+7y+8z-10=0$: $d(D,(EFP))=\frac{|8+7-10|}{\sqrt{64+49+64}}=\frac{5}{\sqrt{177}}=\frac{5\sqrt{177}}{177}$.

(AI giải đề cho tôi)
A(0;-1;1) có $0-(-1)+2(1)-1=2>0$, B(1;1;-2) có $1-1+2(-2)-1=-5<0$, nên A và B nằm khác phía đối với $(\alpha )$. Do đó $MA+MB$ nhỏ nhất khi $M$ là giao điểm của $AB$ với $(\alpha )$. Đường thẳng $AB$: $(x;y;z)=(t;-1+2t;1-3t)$. Thay vào $(\alpha )$: $t+1-2t+2-6t-1=0\iff -7t+2=0\iff t=\frac{2}{7}$. Vậy $x_M=t=\frac{2}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $(\alpha ):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$, $abc\ne 0$. Vì $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $MA\perp BC$, $MB\perp AC$, $MC\perp AB$:
- $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{BC}=(2-a;4;-5)\cdot (0;-b;c)=-4b-5c=0\Rightarrow 4b+5c=0$;
- $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{AC}=(2;4-b;-5)\cdot (-a;0;c)=-2a-5c=0\Rightarrow 2a+5c=0$;
- $\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{AB}=(2;4;-5-c)\cdot (-a;b;0)=-2a+4b=0\Rightarrow a=2b$.

Từ đó $c=-\frac{2a}{5}=-\frac{4b}{5}$. Vì $M\in (\alpha )$: $\frac{2}{2b}+\frac{4}{b}+\frac{-5}{-4b/5}=1\Rightarrow \frac{1+4+25/4}{b}=1\Rightarrow b=\frac{45}{4}$, suy ra $a=\frac{45}{2}$, $c=-9$.

Phương trình: $\frac{2x}{45}+\frac{4y}{45}-\frac{z}{9}=1\iff 2x+4y-5z=45\iff 2x+4y-5z-45=0$. Kiểm tra: $M(2;4;-5)$: $4+16+25-45=0$ ✓. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng đẳng thức Leibniz: $2M{A}^2+M{B}^2=3M{G}^2+\frac{2A{B}^2}{3}$ với $G$ là trọng tâm tam giác $MAB$, tức $G=\frac{2A+B}{3}$. Tính $G=\left(\frac{2\cdot 2+(-1)}{3};\frac{2\cdot 0+(-6)}{3};\frac{2\cdot 1+7}{3}\right)=(1;-2;3)$. Ta có $A{B}^2=(-3{)}^2+(-6{)}^2+6^2=81$. Vì $M\in (P)$ nên $M{G}^2\ge d^2(G,(P))$. Khoảng cách từ $G$ đến $(P)$: $d=\frac{|1-(-2)+3-3|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $3\cdot (\sqrt{3}{)}^2+\frac{2\cdot 81}{3}=9+54=63$, đạt được khi $M$ là hình chiếu của $G$ lên $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục toạ độ với gốc tại góc tường, trục Ox dọc tường sau, trục Oy dọc tường trái. Ba đỉnh mặt gỗ: A(0;0;2) (cọc cao nhất ở góc tường), B(2;0;1) (cọc 1m ở tường sau, cách tường trái 2m), C(0;1;0,5) (cọc 0,5m ở tường trái, cách tường sau 1m). Mặt gỗ là mặt phẳng đi qua A, B, C, có dạng z = 2 + ax + by. Thay B: 1 = 2 + 2a ⟹ a = -1/2. Thay C: 0,5 = 2 + b ⟹ b = -3/2. Vậy mặt phẳng: z = 2 - x/2 - 3y/2. Cọc chống đỡ vuông góc mặt đất, đặt cách mỗi bức tường 0,5m nên chân cọc tại (0,5; 0,5; 0), đầu cọc chạm mặt gỗ tại điểm có cao độ z = 2 - 0,25 - 0,75 = 1 (m). Chiều dài cọc = 1 - 0 = 1 mét. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD)$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(0;-2;-2)$, $\overrightarrow{BD}=(-1;-1;-1)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BD}=(0;2;-2)$. Mặt phẳng $(BCD)$: $y-z+1=0$ (kiểm tra: $B(1;1;2)$: $1-2+1=0$; $D(0;0;1)$: $0-1+1=0$; $C(1;-1;0)$: $-1-0+1=0$). Đường cao từ $A$ là khoảng cách từ $A(0;1;-1)$ đến $(BCD)$: $h=\frac{|1-(-1)+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $A(0;0;0)$, $B(5;0;-0,05)$, $D(0;12;-0,08)$ (đơn vị mét). Mặt phẳng sân chứa $A,B,D$ có dạng $z=ax+by$. Thay $B$: $5a=-0,05\Rightarrow a=-0,01$. Thay $D$: $12b=-0,08\Rightarrow b=-\frac{1}{150}$. Vậy $C(5;12;z_C)$ với $z_C=5(-0,01)+12\left(-\frac{1}{150}\right)=-0,05-0,08=-0,13$ m $=-13$ cm. Suy ra vị trí $C$ thấp hơn vị trí $A$ là $13$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(1;1;2) vào (P): 1-2-4-1=-6≠0 nên A không thuộc (P) → đúng. b) d(B,(P))=|3-4+6-1|/3=4/3≠3 → sai. c) VTCP của AB là (2;1;-5) chứ không phải (3;2;-3) → sai. d) I(0;0;c): IA²=2+(2-c)², IB²=13+(-3-c)²; giải ra c=-8/5, R²=2+(18/5)²=374/25, phương trình x²+y²+z²+(16/5)z-310/25=0, khác -8z+2 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;1;2): 1-2(1)-2(2)-1=-6≠0 nên A không thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
d(B,(P))=|3-2·2-2·(-3)-1|/√(1+4+4)=|3-4+6-1|/3=4/3≠3.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2;1;-5), phương trình tham số phải là x=1+2t, y=1+t, z=2-5t, không phải phương trình đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
I(0;0,c) với IA=IB cho c=-8/5, R²=374/25, phương trình: x²+y²+z²+(16/5)z-310/25=0, khác x²+y²+z²-8z+2=0.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(2-1;7-1;9-4)=(1;6;5)=\vec{i}+6\vec{j}+5\vec{k}$ → đúng.
b) $\overrightarrow{AC}=(-1;8;9)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-1+48+45=92\ne 0$ → sai.
c) Mặt phẳng qua $B(2;7;9)$ có VTCP $\overrightarrow{AC}=(-1;8;9)$: $-(x-2)+8(y-7)+9(z-9)=0\iff x-8y-9z+135=0$. Thay $B$ vào $x-8y-9z+14=0$: $2-56-81+14=-121\ne 0$ → sai.
d) $\overrightarrow{CD}=(1;-1;-3)$; pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=(-13;8;-7)$. Mặt phẳng qua $A$: $-13(x-1)+8(y-1)-7(z-4)=0\iff 13x-8y+7z-33=0$ (thỏa $B$). Phương trình $8x-7y-13z+50=0$ không chứa $A$ ($8-7-52+50=-1\ne 0$) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;6;5)=\vec{i}+6\vec{j}+5\vec{k}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(-1;8;9)$, tích vô hướng $=-1+48+45=92\ne 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $x-8y-9z+135=0$; phương trình đã cho không thỏa điểm $B$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đúng là $13x-8y+7z-33=0$; phương trình đã cho không thỏa điểm $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A^{\prime }(0,0,1)$, $B^{\prime }(1,0,1)$, $C^{\prime }(1,1,1)$, $D^{\prime }(0,1,1)$. Trọng tâm $△A^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $G=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right)$. Hai vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-1,1,1)$, $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0,1,-1)$, nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\times \overrightarrow{A^{\prime }D}=(-2,-1,-1)$. Phương trình $(P)$: $2x+y+z=\frac{7}{3}$. Đường thẳng $C{D}^{\prime }$: $(x,y,z)=(1-t,1,t)$. Thay vào $(P)$: $2(1-t)+1+t=\frac{7}{3}\Rightarrow 3-t=\frac{7}{3}\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $K$ chia $C{D}^{\prime }$ theo tỉ số $\frac{K{D}^{\prime }}{KC}=\frac{1-t}{t}=\frac{1/3}{2/3}=0,5$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm OM là I(1/2; 3/2; 1/2), vectơ OM = (1;3;1) vuông góc với mặt phẳng trung trực, nên n = (-1;-3;-1) (cùng phương với OM) là một pháp tuyến → Đúng. b) Thay M(1;3;1) vào (P): 1 - 6 + 1 + 2 = -2 ≠ 0 → M không thuộc (P) → Sai. c) Phương trình tham số của d cho vectơ chỉ phương (2;-1;1) → Đúng. d) Vectơ chỉ phương của d là u = (2;-1;1), pháp tuyến (P) là n_P = (1;-2;1). Mặt phẳng (α) chứa d và vuông góc (P) có pháp tuyến n = u × n_P = (1;-1;-3) (kiểm tra: n·n_P = 1+2-3 = 0). (α) qua điểm (-1;1;0) trên d: (x+1) - (y-1) - 3z = 0 ⇔ x - y - 3z + 2 = 0. Khoảng cách từ M(1;3;1): |1 - 3 - 3 + 2|/√11 = 3/√11 ≠ 2/√11 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm OM là I(1/2; 3/2; 1/2), OM = (1;3;1) nên n = (-1;-3;-1) cùng phương với OM là pháp tuyến của mặt phẳng trung trực.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;3;1): 1 - 6 + 1 + 2 = -2 ≠ 0 nên M không thuộc (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số x = -1+2t, y = 1-t, z = t, vectơ chỉ phương là (2;-1;1) = u.
d) (AI giải đề cho tôi)
n = u × n_P = (1;-1;-3), (α): x - y - 3z + 2 = 0. d(M,(α)) = |1-3-3+2|/√11 = 3/√11 ≠ 2/√11.

(AI giải đề cho tôi)
Tuấn đứng tại gốc $O$, Minh đứng trên trục $Oy$, mặt đất là mặt phẳng $Oxy$. Quả bóng rơi tại $M$ lệch sang phải của Tuấn (theo phương $Ox)0,5$m so với Minh và cách Tuấn $3,5$m.

Gọi $M=(x;y;0)$. Vì $M$ lệch sang phải của Tuấn $0,5$m nên $x=0,5$. Vì $OM=3,5$ nên:
$$x^2+y^2=3,5^2\Rightarrow y=\sqrt{12,25-0,25}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$
Vậy $M=(0,5;2\sqrt{3};0)$ (Minh đứng tại $(0;2\sqrt{3};0)$, khoảng cách $M$ tới Minh đúng bằng $0,5$m).

Quỹ đạo nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):ax-y+cz=0$ đi qua $O$ và vuông góc với mặt đất, đồng thời đi qua $M$. Thay tọa độ $M$:
$$a\cdot 0,5-2\sqrt{3}+c\cdot 0=0\Rightarrow a=\frac{2\sqrt{3}}{0,5}=4\sqrt{3}\approx 6,9282.$$
Mặt phẳng vuông góc mặt đất và chứa phương thẳng đứng nên $c=0$ (thực tế từ phương trình trên đã cho $c$ tự do, chuẩn hóa theo hệ số của $y$ bằng $-1$ ta được $c=0$).

Do đó $a+c=4\sqrt{3}\approx 6,93$.

Đáp án: Đ S Đ S

a) $A(8;0;0),C(0;6;0)$. Vậy a) đúng

b) $O^{\prime }(0;0;3)$. Phương trình mặt phẳng $(AC{O}^{\prime })$ là: $\frac{x}{8}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1\Rightarrow 3x+4y+8z=24$. Vậy b) sai

c) $d\left(B,(Oyz)\right)=BC=OA=8$. Vậy c) đúng

d) Trải phẳng hình ta được:



Ta có: $AM+MN+NC$ min khi $A,M,N,C$ thẳng hàng

Khi đó: $AM+MN+NC=AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(3+6+3{)}^2+8^2}=4\sqrt{13}$. Vậy d) sai
a) $A(8;0;0),C(0;6;0)$. Vậy a) đúng
b) $O^{\prime }(0;0;3)$. Phương trình mặt phẳng $(AC{O}^{\prime })$ là: $\frac{x}{8}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1\Rightarrow 3x+4y+8z=24$. Vậy b) sai
c) $d\left(B,(Oyz)\right)=BC=OA=8$. Vậy c) đúng
d) Trải phẳng hình ta được:



Ta có: $AM+MN+NC$ min khi $A,M,N,C$ thẳng hàng

Khi đó: $AM+MN+NC=AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(3+6+3{)}^2+8^2}=4\sqrt{13}$. Vậy d) sai

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(5;0;0)$, $D(0;5;0)$, $A^{\prime }(0;0;5)$. Khi đó $M(2,5;0;0)$, $N(0;2,5;5)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(5;5;0)$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $MN$ (vectors chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(-2,5;2,5;5)$) và song song với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\propto (1;-1;1)$. Phương trình $(P)$: $x-y+z=2,5$ (thỏa mãn với $M$ và $N$). Đường thẳng $BC$: $x=5,z=0$, thay vào $(P)$: $5-y=2,5\Rightarrow y=2,5$. Vậy $Q(5;2,5;0)$ và $BQ=2,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,5.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vectơ pháp tuyến của (P): x-2y+z+1=0 là (1;-2;1), và (-1;2;-1) = -(1;-2;1) cũng là một vectơ pháp tuyến → Đúng.
b) Mặt phẳng (Q) song song với (P) có dạng x-2y+z+c=0; qua B(2;1;1): 2-2+1+c=0 ⇒ c=-1, vậy (Q): x-2y+z-1=0 ≠ x-2y+z+3=0 → Sai.
c) d(A,(P)) = |1-2(-1)+2+1|/√(1+4+1) = |1+2+2+1|/√6 = 6/√6 = √6 → Đúng.
d) Mặt phẳng (R) phải chứa A(1;-1;2). Thay A vào 3x+y-z-2=0: 3-1-2-2=-2≠0, nên (R) không đi qua A → Sai. (Thực tế: AB=(1;2;-1), n_R ⊥ AB và n_R ⊥ n_P=(1;-2;1) nên n_R = AB×n_P = (0;-2;-4) ∝ (0;1;2), (R): y+2z-3=0.) Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-S-Đ-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(-1;2;-1) = -(1;-2;1) cùng phương với vectơ pháp tuyến (1;-2;1) của (P), nên là một vectơ pháp tuyến của (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) song song (P) có dạng x-2y+z+c=0; qua B(2;1;1) suy ra c=-1, vậy (Q): x-2y+z-1=0, không phải x-2y+z+3=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(P)) = |1+2+2+1|/√6 = 6/√6 = √6.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;-1;2) vào 3x+y-z-2=0 được -2≠0 nên mặt phẳng này không chứa A. Mặt phẳng đúng là y+2z-3=0 (n_R ⊥ AB=(1;2;-1) và ⊥ n_P).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$ (hình bình hành), $S(0;0;1)$, $M$ trung điểm $BC$ nên $M(1;\frac{1}{2};0)$.

Véctor chỉ phương của $SD$ là $\overrightarrow{SD}=(0;1;-1)$, véctor $\overrightarrow{AM}=(1;\frac{1}{2};0)$. Véctor pháp tuyến của $(\alpha )$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{SD}=\left(-\frac{1}{2};1;1\right).$$
Vì $(\alpha )$ qua $A(0;0;0)$ nên phương trình: $-\frac{1}{2}x+y+z=0$.

Điểm trên $SB$: $S(0;0;1)$, $B(1;0;0)$ nên điểm dạng $(t;0;1-t)$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$$-\frac{1}{2}t+0+(1-t)=0\Rightarrow \frac{3}{2}t=1\Rightarrow t=\frac{2}{3}.$$
Vậy $N$ với $SN=\frac{2}{3}SB$, $BN=\frac{1}{3}SB$, do đó $\frac{SN}{BN}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình $(\alpha ):x+2y+2z-6=0$ ta có ngay $\vec{n}=(1;2;2)$ là vectơ pháp tuyến.

b) Sai: $(\beta )$ song song $(\alpha )$ nên có dạng $x+2y+2z+d=0$; qua $A(1;2;5)$: $1+4+10+d=0\Rightarrow d=-15$. Vậy $(\beta ):x+2y+2z-15=0$, không phải $x+2y+2z+15=0$.

c) Sai: $(\gamma )$ qua $O$ và $A$ nên chứa $\vec{u}=\overrightarrow{OA}=(1;2;5)$, vuông góc $(\alpha )$ nên chứa $\vec{n}=(1;2;2)$. Vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{\gamma }=\overrightarrow{OA}\times \vec{n}=(2\cdot 2-5\cdot 2;5\cdot 1-1\cdot 2;1\cdot 2-2\cdot 1)=(-4;3;0)$. Vậy $(\gamma ):-4x+3y=0$ tức $4x-3y=0$, không phải $2x-y=0$.

d) Đúng: $A,O,M$ thẳng hàng nên $M=tA=(t;2t;5t)$. Thay vào $(\alpha )$: $t+4t+10t-6=0\Rightarrow t=\frac{2}{5}$. Suy ra $M\left(\frac{2}{5};\frac{4}{5};2\right)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của phương trình $(\alpha ):x+2y+2z-6=0$ cho vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\beta )$ có dạng $x+2y+2z+d=0$; qua $A(1;2;5)$: $15+d=0\Rightarrow d=-15$, nên $(\beta ):x+2y+2z-15=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{\gamma }=\overrightarrow{OA}\times {\vec{n}}_{\alpha }=(1;2;5)\times (1;2;2)=(-4;3;0)$, nên $(\gamma ):4x-3y=0$, không phải $2x-y=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=tA=(t;2t;5t)$, thay vào $(\alpha )$: $15t-6=0\Rightarrow t=\frac{2}{5}$, nên $M\left(\frac{2}{5};\frac{4}{5};2\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) AB=(-3;-1;2), AC=(1;-3;0), n=AB×AC=(6;2;10)∝(3;1;5). MP(ABC): 3(x-1)+(y-2)+5(z-1)=0 ⇔ 3x+y+5z-10=0. Thử B: -6+1+15-10=0 ✓. Đúng.
b) Thay D(0;3;1): 0+3+5-10=-2≠0 nên D∉(ABC), bốn điểm không đồng phẳng, tạo thành tứ diện. Đúng.
c) CD=(-2;4;0). n=AB×CD=((-1)(0)-2·4; 2·(-2)-(-3)(0); (-3)(4)-(-1)(-2))=(-8;-4;-14)∝(4;2;7). Vectơ (4;-2;7) không cùng phương với (4;2;7). Sai.
d) M(1;2;1) chính là điểm A. Các mặt phẳng qua A,B sao cho d(C)=d(D): hoặc song song với CD (CD=(-2;4;0) không song song AB), hoặc đi qua trung điểm I của CD là I(1;1;1) (I không thuộc AB vì AI=(0;-1;0) không cùng phương AB). Vậy có đúng 2 mặt phẳng, và cả hai đều chứa A=M(1;2;1). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-3;-1;2), AC=(1;-3;0) nên n=AB×AC=(6;2;10)∝(3;1;5). Phương trình: 3(x-1)+(y-2)+5(z-1)=0 ⇔ 3x+y+5z-10=0, thỏa cả A, B, C.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay D vào 3x+y+5z-10=0 được -2≠0 nên D không thuộc (ABC); bốn điểm không đồng phẳng nên tạo thành tứ diện.
c) (AI giải đề cho tôi)
CD=(-2;4;0), n=AB×CD=(-8;-4;-14)∝(4;2;7), không cùng phương với (4;-2;7).
d) (AI giải đề cho tôi)
M(1;2;1)=A. Hai mặt phẳng qua đường thẳng AB thỏa mãn: một mặt song song với CD (CD không song song AB) và một mặt đi qua trung điểm I(1;1;1) của CD (I∉AB). Vậy có đúng 2 mặt phẳng và cả hai đều đi qua A=M(1;2;1).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;0;3)$. VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(6;6;4)=2(3;3;2)$. Vậy $(3;3;2)$ là một VTPT của $(ABC)$ → đúng.

b) Mặt phẳng qua $C(0;0;3)$ vuông góc với $AB$ có VTPT $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0)$, phương trình: $-2x+2y=0\iff x-y=0$ → đúng.

c) Mặt phẳng chứa $AB$ và vuông góc với $(ABC)$ có VTPT $\vec{u}=\overrightarrow{AB}\times \vec{n}=(-2;2;0)\times (3;3;2)=(4;4;-12)\propto (1;1;-3)$. Qua $A(2;0;0)$: $1(x-2)+y-3z=0\iff x+y-3z-2=0$. Đề bài đưa $x+y-3z+2=0$ → sai (dấu sai).

d) $M(a;b;c)\in (Oyz)\Rightarrow a=0$. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(2-3a;2-3b;3-3c)=(2;2-3b;3-3c)$. Biểu thức đạt nhỏ nhất khi $b=\frac{2}{3},c=1$. Khi đó $3(a+b)+c=3\cdot \frac{2}{3}+1=3\ne 5$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(6;6;4)\propto (3;3;2)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
VTPT là $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0)$, qua $C(0;0;3)$: $-2x+2y=0\iff x-y=0$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTPT $(1;1;-3)$, qua $A(2;0;0)$ cho $x+y-3z-2=0$, không phải $x+y-3z+2=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=0$, tổng vectơ $(2;2-3b;3-3c)$ nhỏ nhất khi $b=2/3,c=1$, khi đó $3(a+b)+c=3\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A(1;2;0)$, $B(4;1;2)$ và cách đều $C(-2;1;-1)$, $D(0;-3;1)$.

Trường hợp 1: $(\alpha )$ song song $CD$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(3;-1;2)$, $\overrightarrow{CD}=(2;-4;2)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=(3;-1;-5)$. Mặt phẳng qua $A$: $3(x-1)-(y-2)-5z=0\iff 3x-y-5z-1=0$. Kiểm tra $B$: $12-1-10-1=0$ ✓.

Trường hợp 2: $(\alpha )$ qua trung điểm $M(-1;-1;0)$ của $CD$ cho mặt phẳng $6x-4y-11z+2=0$, khi đưa về dạng hệ số tự do bằng $1$ ta được $a=3>0$, loại do điều kiện $a<0$.

Vậy chọn trường hợp 1, nhân $-1$: $-3x+y+5z+1=0$, tức $a=-3<0$, $b=1$, $c=5$. Kiểm tra khoảng cách: $d(C)=\frac{|6+1-5+1|}{\sqrt{35}}=\frac{3}{\sqrt{35}}$, $d(D)=\frac{|0-3+5+1|}{\sqrt{35}}=\frac{3}{\sqrt{35}}$ ✓.

Do đó $P=a+b+c=-3+1+5=3$.