Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng trung trực của AB gồm các điểm cách đều A(1;1;1) và B(1;3;-5). Kiểm tra từng điểm: Với M(0;2;-2): MA²=(0-1)²+(2-1)²+(-2-1)²=1+1+9=11; MB²=(0-1)²+(2-3)²+(-2+5)²=1+1+9=11, nên MA=MB, M thuộc mặt phẳng trung trực. Với N(1;-2;1): NA²=0+9+0=9, NB²=0+25+36=61, loại. Với P(3;-1;5): PA²=4+4+16=24, PB²=4+16+100=120, loại. Với Q(0;6;1): QA²=1+25+0=26, QB²=1+9+36=46, loại. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;-5;0)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y-2z-3=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2-2(-5)-2(0)-3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}}=\frac{|2+10-3|}{3}=\frac{9}{3}=3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: từ $(P):2x+y+2z-3=0$ ta có pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(2;1;2)$, không phải $(2;1;-2)$. b) Đúng: $d(A,(P))=\frac{|2\cdot 3+4+2\cdot (-1)-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|6+4-2-3|}{3}=\frac{5}{3}$. c) Đúng: thay $A(3;4;-1)$ vào $(Q)$: $3-4+(-1)+2=0$, nên $A\in (Q)$. d) Đúng: $(\alpha )\perp (P),(Q)$ nên ${\vec{n}}_{\alpha }={\vec{n}}_P\times {\vec{n}}_Q=(2;1;2)\times (1;-1;1)=(1\cdot 1-2\cdot (-1);2\cdot 1-2\cdot 1;2\cdot (-1)-1\cdot 1)=(3;0;-3)\parallel (1;0;-1)$. Mặt phẳng qua $A(3;4;-1)$: $1(x-3)+0(y-4)-1(z+1)=0\iff x-z-4=0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(P)$ là $(2;1;2)$, không phải $(2;1;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(P))=\frac{|6+4-2-3|}{3}=\frac{5}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3-4-1+2=0$ nên $A\in (Q)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{\alpha }={\vec{n}}_P\times {\vec{n}}_Q=(3;0;-3)\parallel (1;0;-1)$, qua $A$ cho $x-z-4=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt các trục tại $A(-5;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;2)$ nên có dạng phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{-5}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=1$. Kiểm tra: thay $A$: $\frac{-5}{-5}=1$ ✓; thay $B$: $\frac{3}{3}=1$ ✓; thay $C$: $\frac{2}{2}=1$ ✓. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt các trục tại $A(3;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;-2)$ nên theo dạng đoạn cắt, phương trình là $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$. Kiểm tra: thay tọa độ $A$, $B$, $C$ đều thỏa mãn. Vậy đáp án $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ là $d(M,(P))=\frac{|1-2(-2)+2(3)-3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{|1+4+6-3|}{3}=\frac{8}{3}$. Vậy đáp án A.

Gọi mặt phẳng trung trực của $AB$ là: $(P)$

Có: $\overrightarrow{AB}=(2;-2;2)\Rightarrow$ mặt phẳng $(P)$ có 1 vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(1;-1;1)$

Mà $(P)$ đi qua điểm $A(1;2;2)\Rightarrow (P):x-y+z-1=0$

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng $(\alpha ):2x-y-3z-1=0$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;-3)$, nên $\vec{n}=(-2;1;3)$ cũng là một pháp tuyến (cùng phương).
b) Sai: $d(B,(\alpha ))=\frac{|2\cdot 1-(-2)-3\cdot (-1)-1|}{\sqrt{4+1+9}}=\frac{|2+2+3-1|}{\sqrt{14}}=\frac{6}{\sqrt{14}}\ne \frac{10}{\sqrt{14}}$.
c) Đúng: $(P)$ song song $(\alpha )$ nên có dạng $2x-y-3z+c=0$; qua $A(1;2;3)$: $2-2-9+c=0\Rightarrow c=9$, vậy $2x-y-3z+9=0$.
d) Sai: $\overrightarrow{AB}=(0;-4;-4)$, pháp tuyến $(\alpha )$ là $(2;-1;-3)$, nên ${\vec{n}}_Q=\overrightarrow{AB}\times (2;-1;-3)=(8;-8;8)\parallel (1;-1;1)$. Mặt phẳng qua $A$: $x-y+z-2=0$ (thỏa mãn cả $B$). Phương trình $3x-2y-z+3=0$ không chứa $A$ (thay vào được $-1\ne 0$) và $(3;-2;-1)\cdot (2;-1;-3)=11\ne 0$ nên không vuông góc với $(\alpha )$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(\alpha ):2x-y-3z-1=0$ có pháp tuyến $(2;-1;-3)$, nên $(-2;1;3)$ cũng là một pháp tuyến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(B,(\alpha ))=\frac{|2+2+3-1|}{\sqrt{14}}=\frac{6}{\sqrt{14}}\ne \frac{10}{\sqrt{14}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2x-y-3z+c=0$ qua $A(1;2;3)$ cho $c=9$, được $2x-y-3z+9=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_Q=\overrightarrow{AB}\times (2;-1;-3)\parallel (1;-1;1)$, mặt phẳng đúng là $x-y+z-2=0$; phương trình $3x-2y-z+3=0$ không chứa $A$ và không vuông góc với $(\alpha )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-2;0)$, $\overrightarrow{AC}=(3;1;-4)$. Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(8;12;9)$. Mặt phẳng đi qua $A(-1;1;3)$: $8(x+1)+12(y-1)+9(z-3)=0\iff 8x+12y+9z-31=0$. Kiểm tra với $B(2;-1;3)$: $16-12+27-31=0$; với $C(2;2;-1)$: $16+24-9-31=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)$ song song với trục $Oy$ nên vectơ pháp tuyến có dạng $\vec{n}=(a;0;c)$. Vì $(P)$ vuông góc với $(Q):x-2y+z-8=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(1;-2;1)$ nên $\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_Q}=0\Rightarrow a+c=0\Rightarrow c=-a$. Chọn $a=1$, ta có $\vec{n}=(1;0;-1)$. Mặt phẳng $(P)$ qua $N(2;1;-2)$: $1(x-2)+0(y-1)-1(z+2)=0\Rightarrow x-z-4=0$. Kiểm tra: $N$: $2-(-2)-4=0$ đúng; vuông góc $(Q)$: $1\cdot 1+0\cdot (-2)+(-1)\cdot 1=0$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-(-1);1-0;0-1)=(3;1;-1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Mặt phẳng đi qua $A(-1;0;1)$ nên có phương trình: $3(x+1)+1(y-0)-1(z-1)=0\iff 3x+y-z+4=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)$ song song với $(Q)$: $2x-3z+2025=0$ nên $(P)$ có dạng $2x-3z+c=0$. Đi qua $A(0;1;3)$: $2\cdot 0-3\cdot 3+c=0\Rightarrow c=9$. Vậy $(P)$: $2x-3z+9=0$. Thử lại: $2(0)-3(3)+9=0$ đúng. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song với trục $Oz$ nên có dạng $Ax+By+C=0$ (không chứa $z$). Ta có $\overrightarrow{MN}=(1;2;1)$, vectơ chỉ phương của trục $Oz$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \vec{k}=(2;-1;0)$. Vậy mặt phẳng có dạng $2x-y+C=0$. Thay $M(1;-1;1)$: $2+1+C=0\Rightarrow C=-3$. Phương trình: $2x-y-3=0$. Kiểm tra $N(2;1;2)$: $4-1-3=0$ ✓. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $A(1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(P):3x+4y+2z+4=0$: $d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot (-2)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\frac{|3-8+6+4|}{\sqrt{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;2;-3)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z-2=0$ là $d(M,(P))=\frac{|1+2\cdot 2-2\cdot (-3)-2|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|1+4+6-2|}{3}=\frac{9}{3}=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (8C).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-2y+z+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;1)$. Xét các đường thẳng: A có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_A=(1;-2;1)$, thấy ${\vec{u}}_A$ cùng phương với $\vec{n}$ (tỉ số thành phần $1/1=(-2)/(-2)=1/1=1$). Các đáp án khác: B có ${\vec{u}}_B=(4;-1;-5)$, C có ${\vec{u}}_C=(2;-3;-4)$, D có ${\vec{u}}_D=(1;-3;-7)$, đều không cùng phương với $\vec{n}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai vectơ chỉ phương $\vec{a}=(1;1;-2)$, $\vec{b}=(1;0;3)$ là $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}=(1\cdot 3-(-2)\cdot 0;(-2)\cdot 1-1\cdot 3;1\cdot 0-1\cdot 1)=(3;-5;-1)$. Vậy mặt phẳng có dạng $3x-5y-z+d=0$. So với các phương án, chỉ có phương án C: $3x-5y-z+2=0$ có pháp tuyến $(3;-5;-1)$ cùng phương với $\vec{n}$ (thực chất trùng). Kiểm tra thêm: $\vec{a}\cdot \vec{n}=3-5+2=0$, $\vec{b}\cdot \vec{n}=3+0-3=0$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(1-0;2-1;3-1)=(1;1;2)$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với đường thẳng $AB$ nên có vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}=(1;1;2)$. Vì $(P)$ đi qua $A(0;1;1)$ nên phương trình là: $1(x-0)+1(y-1)+2(z-1)=0\iff x+y+2z-3=0$. Thử lại: điểm $A$ thỏa $0+1+2-3=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua ba điểm trên ba trục tọa độ với các đoạn chắn $a=2$, $b=-1$, $c=3$ nên có dạng phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{3}=1$, tức $\frac{x}{2}-y+\frac{z}{3}=1$. Kiểm tra: $A(2;0;0)$: $1=1$ ✓; $B(0;-1;0)$: $0-(-1)+0=1$ ✓; $C(0;0;3)$: $1$ ✓. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB là $I(2;0;4)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-2)$ nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là $\vec{n}=(1;-1;1)$. Phương trình: $1(x-2)-1(y-0)+1(z-4)=0\iff x-y+z-6=0$. Vậy đáp án A.