Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $A(1;-2;2)$ với véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-1;-2)$ có phương trình $3(x-1)-(y+2)-2(z-2)=0$, tức $3x-y-2z-1=0$. Thử lại: $3(1)-(-2)-2(2)=3+2-4=1$, nên $3x-y-2z-1=0$ thỏa mãn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-4y+3z-12=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1,B=-4,C=3$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-4;3)$. Xét các đáp án: ${\vec{n}}_3=(-1;4;-3)=-\vec{n}$ cũng là vectơ pháp tuyến của $(P)$ vì hai vectơ này cùng phương. Các đáp án A $(1;4;3)$, C $(-4;3;-2)$, D $(1;3;-12)$ đều không cùng phương với $(1;-4;3)$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi mặt phẳng cắt các trục tại A(p;0;0), B(0;q;0), C(0;0;r) với p,q,r≠0, tức ax+by+cz=14 với a=14/p, b=14/q, c=14/r. Vì M(1;2;3) là trực tâm tam giác ABC: AM⊥BC nên (1−p;2;3)·(0;−q;r)=0 ⇒ −2q+3r=0 ⇒ 2q=3r. BM⊥AC: (1;2−q;3)·(−p;0;r)=0 ⇒ −p+3r=0 ⇒ p=3r. CM⊥AB: (1;2;3−r)·(−p;q;0)=0 ⇒ −p+2q=0, thỏa mãn với p=2q=3r. M thuộc (α): 14/p+28/q+42/r=14. Thay q=3r/2, p=3r: 14/(3r)+56/(3r)+126/(3r)=196/(3r)=14 ⇒ r=14/3, p=14, q=7. Suy ra a=14/14=1, b=14/7=2, c=14/(14/3)=3. Kiểm tra: a+2b+3c=1+4+9=14 đúng. Vậy T=a+b+c=1+2+3=6.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến: $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}=(1\cdot 1-(-1)(-2),(-1)\cdot 1-3\cdot 1,3(-2)-1\cdot 1)=(-1,-4,-7)$. Mặt phẳng qua $B(3,4,-1)$: $-1(x-3)-4(y-4)-7(z+1)=0\iff -x-4y-7z+12=0\iff x+4y+7z-12=0$. Kiểm tra: $3+16-7-12=0$ đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Mặt phẳng qua M(1;1;1) vuông góc với Ox có dạng x=1, tức x-1=0, không phải x+1=0.
b) Đúng. Trung điểm I của MN là I(2;1;3), bán kính R = MN/2 với MN = √(4+0+16) = 2√5 nên R² = 5. Mặt cầu: (x-2)²+(y-1)²+(z-3)²=5.
c) Sai. d(M,(P)) = |1-2+2-1|/√(1+4+4) = 0/3 = 0 (M nằm trên (P)), không phải 2/3.
d) Đúng. Hình chiếu của N(3;1;5) lên (P): x-2y+2z-1=0. Nghiệm thức tại N: 3-2+10-1 = 10, mẫu 1+4+4 = 9, t = 10/9. H = N - t(1;-2;2) = (17/9; 29/9; 25/9). T = a+b-c = (17+29-25)/9 = 21/9 = 7/3. Khớp đáp án mã đề 1204: SDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua M(1;1;1) vuông góc với Ox có dạng x=1, tức x-1=0, không phải x+1=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm I(2;1;3), R² = MN²/4 = 20/4 = 5, nên (x-2)²+(y-1)²+(z-3)²=5.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(P)) = |1-2+2-1|/3 = 0 vì M thuộc (P), không phải 2/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
t = (3-2+10-1)/9 = 10/9, H = (17/9; 29/9; 25/9), T = 21/9 = 7/3.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ABC)$ có dạng $\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1$, tức $x+2y+2z-6=0$. Khoảng cách từ $O(0;0;0)$ đến mặt phẳng: $d=\frac{|-6|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2$. Khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1204.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $M(1;2;-3)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(2;1;2)$ có dạng $2x+y+2z+d=0$. Thay tọa độ $M$: $2(1)+2+2(-3)+d=0\Rightarrow 2+2-6+d=0\Rightarrow d=2$. Vậy phương trình là $2x+y+2z+2=0$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba trục tại $M(8;0;0)$, $N(0;-2;0)$, $P(0;0;4)$ nên có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{8}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{4}=1$. Nhân cả hai vế với 8 ta được $x-4y+2z-8=0$. Kiểm tra: $M$: $8-8=0$; $N$: $8-8=0$; $P$: $8-8=0$. Vậy đáp án là D. (A sai vì mẫu số không phải là các đoạn chắn; B sai vì thiếu hằng số, không đi qua ba điểm đã cho; C sai vì vế phải bằng 0 thay vì 1.)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình (P): 2x - y + 2z - 3 = 0, vectơ pháp tuyến là n = (2; -1; 2). b) Đúng: (Q) song song (P) nên có dạng 2x - y + 2z + c = 0; thay M(1;2;3): 2 - 2 + 6 + c = 0 => c = -6, được 2x - y + 2z - 6 = 0. c) Sai: d vuông góc (P) nên vectơ chỉ phương phải là pháp tuyến của (P), tức u = (2; -1; 2), không phải (2; 1; 2). d) Đúng: R = d(M, (P)) = |2·1 - 2 + 2·3 - 3|/√(4+1+4) = |3|/3 = 1.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình (P): 2x - y + 2z - 3 = 0, vectơ pháp tuyến là n = (2; -1; 2).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) song song (P) có dạng 2x - y + 2z + c = 0; thay M(1;2;3): 2 - 2 + 6 + c = 0 => c = -6, nên (Q): 2x - y + 2z - 6 = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
d vuông góc (P) nên vectơ chỉ phương của d là pháp tuyến của (P): u = (2; -1; 2), không phải (2; 1; 2).
d) (AI giải đề cho tôi)
R = d(M, (P)) = |2·1 - 2 + 2·3 - 3|/√(4+1+4) = 3/3 = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(1;1;1)$ vuông góc với $(P):x+y+z-6=0$ có vectơ chỉ phương $
=(1;1;1)$,phươngtr\grave{ı}nhthams\acute{\hat{o}}:$x=1+t,\ y=1+t,\ z=1+t$.Thayv\grave{a}ophươngtr\grave{ı}nhmặtphẳng:$(1+t)+(1+t)+(1+t)-6=0 \Rightarrow 3t-3=0 \Rightarrow t=1$.Vậy$H(2;2;2)$,tức$a=b=c=2$,n\hat{e}n$T=a+b+c=6$.Kiểmtra:$2+2+2-6=0$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;-2;3)$ đến $(P):3x+4y+2z+4=0$ là $d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot (-2)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\frac{|3-8+6+4|}{\sqrt{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua ba điểm trên ba trục có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $a=3$, $b=1$, $c=-2$. Vậy $(ABC):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$, tương ứng đáp án A. Kiểm tra: thay $A(3;0;0)$: $1=1$; $B(0;1;0)$: $1=1$; $C(0;0;-2)$: $\frac{-2}{-2}=1$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $A(1;2;-3)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$: $1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0\Rightarrow x-2y+3z+12=0$. Kiểm tra: $1-4-9+12=0$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;2)$. Mặt phẳng cần tìm đi qua $M(2;1;0)$ và chứa $d$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với $\vec{u}$ và $\overrightarrow{AM}=(1;1;-2)$. Tính $\vec{n}=\vec{u}\times \overrightarrow{AM}=(1\cdot (-2)-2\cdot 1;2\cdot 1-2\cdot (-2);2\cdot 1-1\cdot 1)=(-4;6;1)$. Phương trình mặt phẳng: $-4(x-2)+6(y-1)+(z-0)=0\iff 4x-6y-z-2=0$. Kiểm tra: điểm $A(1;0;2)$ thuộc mặt phẳng vì $4-0-2-2=0$; điểm $M(2;1;0)$: $8-6-0-2=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng $(P):2x+2y+3z-6=0$ có VTPT $(2;2;3)$, nên $\vec{n}=(-2;-2;-3)$ cũng là VTPT (cùng phương, khác hệ số tỉ lệ $-1/2$... thực tế $\vec{n}=-(2;2;3)$). b) Thay $A(3;2;0)$: $2.3+2.2+3.0-6=4\ne 0$ nên $A$ không thuộc $(P)$ → Đúng. c) Mặt phẳng qua $A$ song song $(P)$ dạng $2x+2y+3z+d=0$ với $d=-(2.3+2.2+3.0)=-10$, tức $2x+2y+3z-10=0$; phương trình $2x+2y+3z-12=0$ cho giá trị tại $A$ bằng $-2\ne 0$ → Sai. d) Gọi $OM=a$ ($M$ trên tia $Ox$), thì $ON=2a$, $OP=4a$. Mặt phẳng $(R)$ qua các điểm $(a;0;0),(0;2a;0),(0;0;4a)$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{4a}=1$. Vì $(R)$ chứa $B(1;3;-2)$: $\frac{1}{a}+\frac{3}{2a}-\frac{2}{4a}=1⟺\frac{1+1,5-0,5}{a}=1⟺a=2$. Thể tích tứ diện $OMNP$: $V=\frac{1}{6}.OM.ON.OP=\frac{1}{6}.2.4.8=\frac{32}{3}\ne 64$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(P):2x+2y+3z-6=0$ có VTPT $(2;2;3)$, nên $\vec{n}=(-2;-2;-3)=-(2;2;3)$ cũng là một VTPT của $(P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(3;2;0)$ vào $(P)$: $2.3+2.2+3.0-6=4\ne 0$, nên $A$ không thuộc $(P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $A(3;2;0)$ song song $(P)$: $2x+2y+3z+d=0$ với $d=-(6+4)=-10$, tức $2x+2y+3z-10=0$, không phải $2x+2y+3z-12=0$ (vì $2.3+2.2-12=-2\ne 0$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$OM=a$, $ON=2a$, $OP=4a$; $(R):\frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{4a}=1$. Chứa $B(1;3;-2)$: $\frac{1+1,5-0,5}{a}=1\Rightarrow a=2$. $V=\frac{1}{6}.2.4.8=\frac{32}{3}\ne 64$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay B(0;1;-6) vào (P): 4·0 - 1 + 2·(-6) + 13 = 0, nên B thuộc (P): đúng.
b) AB = (-1;-1;-9), v = (-2;-2;-18) = 2·AB nên cùng hướng AB. Độ dài AB = √(1+1+81) = √83 ≈ 9,11 km. Trong 1 phút với vận tốc 800 m/s viên đạn đi được 800·60 = 48000 m = 48 km ≠ √83 km, nên sau một phút viên đạn đã đi qua B từ lâu (không 'đi qua điểm B' tại thời điểm đó): sai.
c) n(P) = (4;-1;2), |n| = √21, |AB| = √83. sinθ = |AB·n|/(|AB||n|) = |-4+1-18|/(√83·√21) = 21/√1743 ≈ 0,5030 → θ ≈ 30° (không phải 60°): sai.
d) Hình chiếu vuông góc của A(1;2;3) trên (Oxy) là H(1;2;0), không phải (0;2;3): sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
4·0 - 1 + 2·(-6) + 13 = 0 nên B thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
v cùng hướng AB, |AB| = √83 ≈ 9,11 km; sau 1 phút viên đạn đi được 48 km ≠ √83 km nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
sinθ = 21/(√83·√21) ≈ 0,503 → θ ≈ 30°, không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A trên (Oxy) là (1;2;0).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(3-1;2-6;1+7)=(2;-4;8)$, trung điểm $I(2;4;-3)$. Mặt phẳng trung trực đi qua $I$ với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}$: $2(x-2)-4(y-4)+8(z+3)=0\iff 2x-4y+8z+36=0\iff x-2y+4z+18=0$. Vậy $a=1,b=-2,c=4$, nên $a-4b+3c=1-4(-2)+3(4)=1+8+12=21$.

(AI giải đề cho tôi)
Δ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;3)$, Δ' có ${\vec{u}}^{\prime }=(3;2;-2)$. Vecto pháp tuyến của (P): $\vec{n}=\vec{u}\times {\vec{u}}^{\prime }=(1\cdot (-2)-3\cdot 2;3\cdot 3-2\cdot (-2);2\cdot 2-1\cdot 3)=(-8;13;1)$. Chọn $\vec{n}=(8;-13;-1)$, (P): $8x-13y-z+d=0$. (P) qua điểm $(3;-2;1)$ trên Δ: $24+26-1+d=0\Rightarrow d=-49$. Vậy $b=-13,c=-1,d=-49$, $b+c+d=-63$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua ba điểm trên ba trục có dạng phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $a=3,b=1,c=-2$ (các giao điểm với trục). Vậy $(ABC)$: $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$. Kiểm tra: thay $A(3;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;-2)$ đều thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $A(1;2;-3)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$ có phương trình: $1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0\iff x-2y+3z+12=0$. Kiểm tra: thay $A(1;2;-3)$: $1-4-9+12=0$ đúng. Vậy đáp án A.