Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

$\overrightarrow{AB}=(4;0;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;2;-1)$, $\vec{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(2;3;8)$. Phương trình tổng quát là $2(x-0)+3(y-0)+8(z-1)=0\iff 2x+3y+8z-8=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):2x-3y-z+1=0$ có một véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3;-1)$. Véc tơ đối $-\vec{n}=(-2;3;1)$ cũng là một véc tơ pháp tuyến của $(\alpha )$, tương ứng với phương án C. Đáp án nguồn (C) khớp với kết quả giải độc lập.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ là hằng số (bậc nhất theo $x,y,z$). Phương trình $2x-y^2+3z+7=0$ chứa $y^2$ (bậc hai), nên không phải phương trình tổng quát của mặt phẳng. Các phương trình B, C, D đều bậc nhất nên là phương trình mặt phẳng. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD với S(0;0;5), A(0;0;0), B(4;0;0), D(0;8;0), suy ra C(4;8;0).
a) Mặt phẳng (SBD) đi qua B(4;0;0), D(0;8;0), S(0;0;5) nên có phương trình theo đoạn chắn: x/4 + y/8 + z/5 = 1, tức 10x + 5y + 8z = 40. Kiểm tra: S(0;0;5): 8·5 = 40 ✓. Đúng.
b) (ABCD) là mặt phẳng Oxy (z = 0), vectơ pháp tuyến có dạng (0;0;k), ví dụ n = (0;0;10). Đúng.
c) C(4;8;0). Khoảng cách từ C đến (SBD): 10x+5y+8z−40=0 là d = |10·4 + 5·8 + 0 − 40| / √(100+25+64) = 40/√189 ≈ 2,91 ≈ 3. Đúng.
d) Mặt phẳng qua C(4;8;0) song song (SBD) có pháp tuyến (10;5;8): 10(x−4) + 5(y−8) + 8z = 0 ⇔ 10x + 5y + 8z − 80 = 0, khác 8x + 3y + 4z + 80 = 0. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SBD) đi qua B(4;0;0), D(0;8;0), S(0;0;5) nên có phương trình x/4 + y/8 + z/5 = 1 ⇔ 10x + 5y + 8z = 40.
b) (AI giải đề cho tôi)
(ABCD) trùng với mặt phẳng Oxy (z = 0) nên một vectơ pháp tuyến là n = (0;0;10).
c) (AI giải đề cho tôi)
C(4;8;0); d(C,(SBD)) = |10·4 + 5·8 − 40|/√(10²+5²+8²) = 40/√189 ≈ 2,91 ≈ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua C(4;8;0) song song với (SBD) là 10x + 5y + 8z − 80 = 0, không phải 8x + 3y + 4z + 80 = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào $7x-43y-6z+264=0$:
- $B(7;7;2)$: $49-301-12+264=0$ → thuộc $(Q)$.
- $C(-1;5;7)$: $-7-215-42+264=0$ → thuộc $(Q)$.
- $H(-7;5;0)$: $-49-215+264=0$ → thuộc $(Q)$.
- $D(0;-1;-5)$: $0+43+30+264=337\ne 0$ → không thuộc $(Q)$.
Vậy điểm không thuộc mặt phẳng là $D(0;-1;-5)$, khớp với đáp án nguồn.

$\overrightarrow{AB}=(4;0;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;1;-1)$, $\vec{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(1;3;4)$. Phương trình tổng quát là $1(x-0)+3(y-0)+4(z-1)=0\iff x+3y+4z-4=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):2x-3y-4z+1=0$ có một véc tơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_0=(2;-3;-4)$. Mọi véc tơ cùng phương với ${\vec{n}}_0$ (khác $\vec{0}$) đều là pháp tuyến của $(\alpha )$. Xét các đáp án: A $(2;-3;4)$ không cùng phương vì thành phần $z$ trái dấu; B $(-2;3;4)=-1\cdot (2;-3;-4)$ cùng phương với ${\vec{n}}_0$, nên là pháp tuyến của $(\alpha )$; C $(-2;3;1)$ và D $(2;3;-4)$ không cùng phương với ${\vec{n}}_0$. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-y+z-2=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2,B=-1,C=1$. Do đó một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-1;1)$. Vậy đáp án C.

a) Đúng. Tọa độ của điểm $D$ là $(0;3;12)$.
b) Sai. $A(0;0;12)$, $B(4;0;12)\Rightarrow M(2;0;12)$. $D(0;3;12)\Rightarrow \overrightarrow{MD}(-2;3;0)$, khác $(2;-3;0)$.
c) Đúng. $C^{\prime }(4;3;0)$. $(MD{C}^{\prime })$ có hai VTCP là $\overrightarrow{MD}(-2;3;0)$ và $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}(2;3;-12)$, tích có hướng $(-36;-24;-12)$, suy ra $\vec{n}=-\frac{1}{12}\cdot (-36;-24;-12)=(3;2;1)$.
d) Sai. Mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$: $3x+2y+z-18=0$. Khoảng cách từ điểm $A^{\prime }$ đến mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$: $$d(A^{\prime };(MD{C}^{\prime }))=\frac{18}{\sqrt{14}}\approx 4,81<5$$
a) Đúng. Tọa độ của điểm $D$ là $(0;3;12)$.
b) Sai. $A(0;0;12)$, $B(4;0;12)\Rightarrow M(2;0;12)$. $D(0;3;12)\Rightarrow \overrightarrow{MD}(-2;3;0)$, khác $(2;-3;0)$.
c) Đúng. $C^{\prime }(4;3;0)$. $(MD{C}^{\prime })$ có hai VTCP là $\overrightarrow{MD}(-2;3;0)$ và $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}(2;3;-12)$. $$\left[\overrightarrow{MD},\overrightarrow{M{C}^{\prime }}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 3& -12\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& -2\\ -12& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ 2& 3\end{array}\right|\right)=(-36;-24;-12).$$ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$ là $$\vec{n}=-\frac{1}{12}\cdot \left[\overrightarrow{MD},\overrightarrow{M{C}^{\prime }}\right]=-\frac{1}{12}\cdot (-36;-24;-12)=(3;2;1).$$
d) Sai. Mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$ đi qua điểm $C^{\prime }(4;3;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(3;2;1)$ $\Rightarrow$ có phương trình: $3(x-4)+2(y-3)+1(z-0)=0\iff 3x+2y+z-18=0$. Khoảng cách từ điểm $A^{\prime }(0;0;0)$ đến mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$: $$d(A^{\prime };(MD{C}^{\prime }))=\frac{\left|3\cdot 0+2\cdot 0+0-18\right|}{\sqrt{3^2+2^2+1^2}}=\frac{18}{\sqrt{14}}\approx 4,81<5$$

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là $(1;-2;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ song song với $(Q):x+y-z+3=0$ nên có dạng $x+y-z+c=0$. Đi qua $A(0;1;-2)$: $0+1-(-2)+c=0\Rightarrow c=-3$. Vậy $(P):x+y-z-3=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(R)$ vuông góc với cả ${\vec{n}}_P=(1;-1;-1)$ và ${\vec{n}}_Q=(2;-1;1)$, nên ${\vec{n}}_R={\vec{n}}_P\times {\vec{n}}_Q=(-2;-3;1)$. Mặt phẳng $(R)$: $-2x-3y+z+d=0$. Đi qua $A(1;0;-2)$: $-2(1)+0+(-2)+d=0\Rightarrow d=4$. Vậy $(R)$: $-2x-3y+z+4=0$, tức $a=-2$, $b=-3$, $c=1$. Do đó $a+b+c=-2-3+1=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M(1+t;2-t;3+2t)$ thuộc $d$. Khoảng cách từ $M$ đến $(P):2x+2y+z=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2(1+t)+2(2-t)+(3+2t)|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{|9+2t|}{3}=3\Rightarrow |9+2t|=9\Rightarrow t=0$ hoặc $t=-9$. Với $t=0$: $M(1;2;3)$, thỏa $a>0$, khi đó $abc=1\cdot 2\cdot 3=6$. Với $t=-9$: $M(-8;11;-15)$ có $a<0$, loại. Vậy $abc=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-3y+1=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1,B=-3,C=0,D=1$. Do đó một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-3;0)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):ax+3y+cz+d=0$ chứa trục $Ox$ nên đi qua gốc $O(0;0;0)$, suy ra $d=0$. Đồng thời $(P)$ chứa vectơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\vec{i}=(1;0;0)$, nên vectơ pháp tuyến $(a;3;c)$ vuông góc với $\vec{i}$, suy ra $a=0$. Vậy $(P):3y+cz=0$. Vì $(P)$ đi qua $A(1;2;-3)$ nên $3\cdot 2+c\cdot (-3)=0\Rightarrow 6-3c=0\Rightarrow c=2$. Do đó $2a+3c-d=2\cdot 0+3\cdot 2-0=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(2;1;5) đến (P): 2x−y−2z+13=0 là d = |2·2−1−2·5+13|/√(4+1+4) = |6|/3 = 2. Vùng quan sát trên (P) là hình tròn tạo bởi mặt nón với đỉnh A, góc ở đỉnh 116° nên nửa góc 58°. Bán kính hình tròn: r = d·tan58° = 2·tan58° ≈ 2·1,60033 ≈ 3,2006. Đường kính: 2r ≈ 6,401 ≈ 6,4 (làm tròn đến hàng chục phần mười).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ song song với $(Q):x-y+3z-18=0$ nên có dạng $x-y+3z+c=0$. Vì $(P)$ qua $M(1;2;-3)$: $1-2+3(-3)+c=0\Rightarrow -10+c=0\Rightarrow c=10$. Vậy $(P):x-y+3z+10=0$. Kiểm tra các đáp án: A có VTCP $(1;1;-3)$ không song song; B có dạng $-x+y-3z+10=0$, tức $x-y+3z-10=0$, thay $M$: $1-2-9-10=-20\ne 0$, sai; D sai hệ số. Đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của hai véc tơ chỉ phương: $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$. Với $\vec{u}(1;1;-2)$, $\vec{v}(2;-1;-1)$: $\vec{n}=(1\cdot (-1)-(-2)(-1);(-2)\cdot 2-1\cdot (-1);1\cdot (-1)-1\cdot 2)=(-3;-3;-3)$. Chia cho $-3$ ta được $\vec{n}\parallel (1;1;1)$. Kiểm tra: $(1;1;1)\cdot (1;1;-2)=0$ và $(1;1;1)\cdot (2;-1;-1)=0$, thỏa mãn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình $x-3y-4z+5=0$, véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-3;-4)$. b) Đúng: thay $M(-1;0;1)$: $-1-0-4+5=0$, nên $M\in (P)$. c) Đúng: đường thẳng $\Delta$ có $\vec{u}=(1;-1;1)$, $\vec{n}\cdot \vec{u}=1+3-4=0$ nên $\Delta \parallel (P)$ hoặc $\Delta \subset (P)$; điểm $(-2;1;0)$ thuộc $\Delta$ có $-2-3-0+5=0$ nên $\Delta \subset (P)$, góc giữa $(P)$ và $\Delta$ bằng $0^0$. d) Sai: tâm $I(-6;3;4)$, $d(I,(P))=\frac{|-6-9-16+5|}{\sqrt{1+9+16}}=\frac{26}{\sqrt{26}}=\sqrt{26}\approx 5,099\ne 5=R$, nên $(P)$ không tiếp xúc $(S)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Véc-tơ pháp tuyến của $(P):x-3y-4z+5=0$ là $\vec{n}=(1;-3;-4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(-1;0;1)$: $-1-0-4+5=0$ nên $(P)$ đi qua $M$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(1;-1;1)$, $\vec{n}\cdot \vec{u}=1+3-4=0$ và điểm $(-2;1;0)$ của $\Delta$ thuộc $(P)$ nên $\Delta \subset (P)$, góc bằng $0^0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=\frac{26}{\sqrt{26}}=\sqrt{26}\approx 5,099\ne 5$ nên $(P)$ không tiếp xúc mặt cầu.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x,y,z)=3x+4y-12z+5$, mặt phẳng $(P):f=0$ có pháp tuyến $\vec{n}=(3;4;-12)$ với $|\vec{n}|=\sqrt{9+16+144}=13$. Ta có $f(A)=3\cdot 2+4\cdot 4-12\cdot (-1)+5=6+16+12+5=39$, nên khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ là $\frac{39}{13}=3$. Vì $M\in (P)$ nên $f(M)=0$. Điểm $B$ thỏa $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}$ tức $B=A+3(M-A)$. Do $f$ tuyến tính: $f(B)=f(A)+3(f(M)-f(A))=39+3(0-39)=-39$. Vậy $d(B,(P))=\frac{|f(B)|}{13}=\frac{39}{13}=3$.