Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng x+y+z-4=0 có pháp tuyến n=(1;1;1). b) Sai: trung điểm I(2;0;2), d(I,(α))=|2+0+2-4|/√3=0 (I thuộc (α)), không bằng √3. c) Đúng: AB=(-2;2;0), pháp tuyến cần tìm vuông góc với n_α=(1;1;1) và AB, lấy tích có hướng n=(1;1;1)×(-2;2;0)=(-2;-2;4)∼(1;1;-2). Mặt phẳng qua A(3;-1;2): x+y-2z+2=0 (thử: 3-1-4+2=0 ✓, B: 1+1-4+2=0 ✓, và (1;1;-2)·(1;1;1)=0 nên vuông góc (α)). d) Đúng: A và B đều thỏa mãn phương trình (α) (3-1+2-4=0, 1+1+2-4=0) nên H≡A, K≡B, HK=AB=√((-2)²+2²+0)=2√2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng x+y+z-4=0 có véc-tơ pháp tuyến n=(1;1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
I(2;0;2) nên d(I,(α))=|2+0+2-4|/√3=0, vì I thuộc (α); khoảng cách không bằng √3.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-2;2;0); n=(1;1;1)×(-2;2;0)=(-2;-2;4)∼(1;1;-2). Mặt phẳng qua A: x+y-2z+2=0, kiểm tra qua B và vuông góc (α) đều đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
A, B đều thuộc (α) nên H≡A, K≡B, HK=AB=√8=2√2.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ACD)$ đi qua $A(1;1;1)$, có vectơ $\overrightarrow{AC}=(-2;1;0)$, $\overrightarrow{AD}=(1;-2;2)$. Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}=(1\cdot 2-0\cdot (-2);0\cdot 1-(-2)\cdot 2;(-2)(-2)-1\cdot 1)=(2;4;3)$. Phương trình mặt phẳng: $2(x-1)+4(y-1)+3(z-1)=0\iff 2x+4y+3z-9=0$. Chiều cao của khối lỗi là khoảng cách từ $B(4;3;2)$ đến mặt phẳng này: $h=d(B,(ACD))=\frac{|2\cdot 4+4\cdot 3+3\cdot 2-9|}{\sqrt{2^2+4^2+3^2}}=\frac{|8+12+6-9|}{\sqrt{29}}=\frac{17}{\sqrt{29}}=\frac{17\sqrt{29}}{29}\approx 3,157$ mm. Vậy chiều cao khối lỗi xấp xỉ $3,16$ mm.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $A(1;2;-3)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;3)$ có dạng $2(x-1)-(y-2)+3(z+3)=0$, tức $2x-y+3z+9=0$. Kiểm tra: thay $A$ vào $2(1)-2+3(-3)+9=0$ đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ song song với $(Q)$ có dạng $2x-4y+4z+d=0$. Khoảng cách từ $A(2,-3,4)$ đến $(P)$: $\frac{|2\cdot 2-4(-3)+4\cdot 4+d|}{\sqrt{4+16+16}}=\frac{|32+d|}{6}=3$, suy ra $|32+d|=18$, tức $d=-14$ hoặc $d=-50$. Vậy $(P)$: $2x-4y+4z-14=0$ hoặc $2x-4y+4z-50=0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm BC: $M(\frac{1}{2};1;\frac{5}{2})$. Khoảng cách đến $(Oxy)$ là $|z_M|=\frac{5}{2}$ → đúng.
b) $\overrightarrow{BC}=C-B=(3;-2;-3)\ne (1;-2;-3)$ → sai.
c) Mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $BC$ có pháp tuyến $\overrightarrow{BC}=(3;-2;-3)$: $3(x-1)-2y-3(z+2)=0\iff 3x-2y-3z-9=0$ → đúng.
d) Mặt phẳng qua $A$, song song $BC$ và vuông góc $(Oxy)$ có pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \vec{k}=(-2;-3;0)$, phương trình $2x+3y-2=0$. Mặt phẳng $3x-y-3z-1=0$ có pháp tuyến $(3;-1;-3)$ với $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=9+2+9=20\ne 0$ nên không song song $BC$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $BC$ là $M(\frac{1}{2};1;\frac{5}{2})$, khoảng cách đến $(Oxy)$ là $|z_M|=\frac{5}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(3;-2;-3)$, không phải $(1;-2;-3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(3;-2;-3)$, qua $A(1;0;-2)$: $3x-2y-3z-9=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng phải là $2x+3y-2=0$; mặt phẳng $3x-y-3z-1=0$ không song song với $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt tiền là mặt phẳng đứng, vết của nó trên mặt đất (mặt phẳng $Oxy$) là hướng phố Đông - Tây, tức phương của tia sáng lệch $38^{\circ }$ so với hướng tây. Theo Hình 2, đường thẳng vết này đi qua $O$ và lệch xuống phía nam nên có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-\cos 38^{\circ };-\sin 38^{\circ };0)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ qua $O$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$: $\vec{n}=(\sin 38^{\circ };-\cos 38^{\circ };0)$ (đã là vectơ đơn vị). Vậy $(P):\sin 38^{\circ }x-\cos 38^{\circ }y=0$. Mặt phẳng $(Q)$ song song $(P)$, cách nhau $30$ m nên $\sin 38^{\circ }x-\cos 38^{\circ }y+c_0=0$ với $|c_0|=30$. Chia cho $\sin 38^{\circ }$ để đưa về dạng $x+ay+bz+c=0$: $c=\frac{c_0}{\sin 38^{\circ }}$. Vì $m<0$ nên chọn $c_0=-30$, suy ra $c=\frac{-30}{\sin 38^{\circ }}=\frac{-30}{\cos 52^{\circ }}$. Vậy $m=-30$, $n=52$, do đó $n-m=52-(-30)=82$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(25;0;0)$, $D(0;15;0)$, $C(25;18;0)$ trong mặt phẳng nằm ngang, với độ sâu (cm) là tọa độ $z$. Độ sâu: $B_1$ sâu 10, $D_1$ sâu 6, $C_1$ sâu $3a$.

Mặt phẳng đi qua $A$ có dạng $z=px+qy$. Vì $B_1(25;0;10)$: $25p=10\Rightarrow p=0,4$. Vì $D_1(0;15;6)$: $15q=6\Rightarrow q=0,4$.

Vì $A,B_1,C_1,D_1$ đồng phẳng, điểm $C_1(25;18;3a)$ thuộc mặt phẳng này:
$$3a=0,4\cdot 25+0,4\cdot 18=10+7,2=17,2\Rightarrow a=\frac{17,2}{3}=\frac{86}{15}.$$

Phân số $\frac{86}{15}$ tối giản (ƯCLN$(86,15)=1$) nên $b=86$, $c=15$:
$$b-2c=86-30=56.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;0;1)$ đến $(P):2x+y+2z+5=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2\cdot 1+0+2\cdot 1+5|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{9}{3}=3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $(P):x+y-\frac{z}{2}=1$ dưới dạng $2x+2y-z-2=0$. Khi đó một véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;2;-1)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng cắt các trục tại A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;4) nên có dạng x/2 + y/3 + z/4 = 1 (tức 6x+4y+3z=12).
b) Đúng: (Q) song song (P) nên có dạng 6x+4y+3z+d=0; qua M(1;0;1): 6+3+d=0 → d=-9, được 6x+4y+3z-9=0.
c) Sai: AB đi qua A(2;0;0) với vectơ chỉ phương AB=(-2;3;0), phương trình tham số là x=2-2t, y=3t, z=0. Phương trình trong đề (x=-2+2t, y=3, z=0) không đi qua A và B.
d) Sai: vectơ chỉ phương của AB là u=(-2;3;0), của Δ là u_Δ=(2;-1;3). Tích vô hướng u·u_Δ = -4-3+0 = -7 ≠ 0 nên AB không vuông góc với Δ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz tại A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;4) nên có phương trình x/2 + y/3 + z/4 = 1, tức 6x+4y+3z=12.
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) song song (P) có dạng 6x+4y+3z+d=0; thay M(1;0;1): 6+0+3+d=0 → d=-9, được 6x+4y+3z-9=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB qua A(2;0;0), vectơ chỉ phương AB=(-2;3;0) nên phương trình là x=2-2t, y=3t, z=0; phương trình trong đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
u_AB=(-2;3;0), u_Δ=(2;-1;3), tích vô hướng = -4-3+0=-7≠0 nên hai đường thẳng không vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Vectơ pháp tuyến của (P) là n = u×v = (0·1−4·3; 4·2−2·1; 2·3−0·2) = (−12; 6; 6) ∝ (2; −1; −1), nên a đúng. Mặt phẳng qua A(0;2;1): 2x − y − z + c = 0, thay A: −2 −1 + c = 0 ⇒ c = 3, nên (P): 2x − y − z + 3 = 0, b đúng. Đường thẳng Δ qua A(0;3;2) vuông góc (P) có vectơ chỉ phương n = (2; −1; −1): x = 2t, y = 3 − t, z = 2 − t, khác phương trình đã cho, c sai. cos(Δ1, Δ2) = |u·v|/(|u||v|) = |4+0+4|/(√20·√14) = 8/√280 = 4/√70 = 2√70/35, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = [u, v] = (−12; 6; 6) cùng phương (2; −1; −1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(0;2;1) vào 2x − y − z + c = 0 được c = 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ phải có VTCP (2; −1; −1) và qua (0;3;2): x = 2t, y = 3 − t, z = 2 − t; phương trình đã cho sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos = 8/(√20·√14) = 4/√70 = 2√70/35.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa trục $Ox$ nên đi qua gốc $O$ và vectơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\vec{i}=(1;0;0)$, do đó $\vec{i}\cdot \vec{n}=0\Rightarrow a=0$. Phương trình có dạng $by+cz=0$. Vì $(\alpha )$ đi qua $A(6;4;3)$ nên $4b+3c=0$. Vậy $P=4b+3c=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;-2;3)$ với véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;-3)$ có phương trình: $1(x-1)+2(y+2)-3(z-3)=0$, tức $x-1+2y+4-3z+9=0\iff x+2y-3z+12=0$. Thử lại tại $M$: $1+2(-2)-3(3)+12=1-4-9+12=0$ (đúng). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của $AB$: $I\left(\frac{4+2}{2};\frac{0+2}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=I(3;1;1)$. VTPT của mặt phẳng trung trực là $\overrightarrow{AB}=(-2;2;4)$, lấy $\vec{n}=(-1;1;2)$. Phương trình: $-1(x-3)+1(y-1)+2(z-1)=0\iff -x+y+2z=0$. Kiểm tra: $I(3;1;1)$: $-3+1+2=0$ ✓; $A(4;0;-1)$: $-4+0-2=-6\ne 0$ ✓ (A không thuộc mặt phẳng). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) $d(A,(P))=\frac{|2-2\cdot 1+2\cdot (-3)-6|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{|-12|}{3}=4$ → đúng.
b) Vectơ pháp tuyến của $(P):x-2y+2z-6=0$ là $\vec{n}=(1;-2;2)$ → đúng.
c) $(Q)$ vuông góc $(P)$ nên ${\vec{n}}_Q=(2;b;c)\cdot (1;-2;2)=0\Rightarrow 2-2b+2c=0\Rightarrow b-c=1$. Qua $A(2;1;-3)$: $4+b-3c+d=0$; qua $N(0;2;-1)$: $2b-c+d=0$. Trừ hai phương trình: $2-b-2c=0\Rightarrow b+2c=2$. Kết hợp $b=c+1$ được $3c=1$, suy ra $c=\frac{1}{3}$, $b=\frac{4}{3}$, $d=c-2b=\frac{1}{3}-\frac{8}{3}=-\frac{7}{3}$. Vậy $b+c+d=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}-\frac{7}{3}=-\frac{2}{3}\ne 1$ → sai.
d) Thay $M(2;0;2)$ vào $(P)$: $2-0+4-6=0$ → $M\in (P)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(P))=\frac{|2-2-6-6|}{3}=4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(P)$, $\vec{n}=(1;-2;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tìm được $b=\frac{4}{3},c=\frac{1}{3},d=-\frac{7}{3}$ nên $b+c+d=-\frac{2}{3}\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2-2\cdot 0+2\cdot 2-6=0$ nên $M\in (P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z=0$, tức $0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z=0$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(0;0;1)=\vec{k}$. Các vectơ $\vec{i},\vec{j}$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$ nên không phải pháp tuyến. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(2-1;0-2;1-(-1))=(1;-2;2)$, đồng thời là vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng đi qua $A(1;2;-1)$ nên có phương trình: $1(x-1)-2(y-2)+2(z+1)=0\iff x-2y+2z+5=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ không đồng thời bằng 0 (các hệ số của $x,y,z$ chỉ bậc nhất). Xét các phương án: A: $2x-y+3z+7=0$ là phương trình mặt phẳng. B: $x-2y+\frac{z}{5}=0$ tương đương $5x-10y+z=0$, là phương trình mặt phẳng. C: $xy+8z-6=0$ có chứa số hạng bậc hai $xy$, không phải dạng bậc nhất theo $x,y,z$ nên không là phương trình tổng quát của mặt phẳng. D: $x+99=0$ là mặt phẳng song song với mặt phẳng $Oyz$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có S(0;0;6), B(4;0;0), D(0;8;0), A(0;0;0).

a) Mặt phẳng (SBD) cắt các trục tại B(4;0;0), D(0;8;0), S(0;0;6) nên phương trình dạng đoạn chắn là x/4 + y/8 + z/6 = 1, tức 6x + 3y + 4z = 24. Mệnh đề đưa z/5 là sai.

b) Mặt phẳng (ABS) chứa A(0;0;0), B(4;0;0), S(0;0;6) nên trùng với mặt phẳng Oxz, tức y = 0, vectơ pháp tuyến là (0;1;0) (hoặc (0;k;0) với k≠0). Vectơ (0;0;10) vuông góc với Oxz nên không phải pháp tuyến của (ABS): sai.

c) Khoảng cách từ A đến (SBD): d = |6·0+3·0+4·0−24|/√(36+9+16) = 24/√61 ≈ 3,07 ≈ 3: đúng.

d) Mặt phẳng qua A song song (SBD) có cùng pháp tuyến (6;3;4): 6x + 3y + 4z = 0, không phải 8x + 3y + 4z + 80 = 0 (mặt này không qua A vì 80 ≠ 0): sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SBD) có phương trình đoạn chắn x/4 + y/8 + z/6 = 1 (6x+3y+4z=24), không phải z/5.
b) (AI giải đề cho tôi)
(ABS) trùng mặt phẳng Oxz: y = 0, pháp tuyến (0;1;0), không phải (0;0;10).
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(SBD)) = 24/√61 ≈ 3,07 ≈ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua A song song (SBD) là 6x + 3y + 4z = 0; phương trình 8x+3y+4z+80=0 không qua A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào $54x-91y+50z+159=0$:
- $B(7;7;2)$: $54\cdot 7-91\cdot 7+50\cdot 2+159=378-637+100+159=0$ → thuộc $(Q)$.
- $C(-1;5;7)$: $-54-455+350+159=0$ → thuộc $(Q)$.
- $H(-7;5;0)$: $-378-455+0+159=-674\ne 0$ → không thuộc $(Q)$.
- $D(0;-1;-5)$: $0+91-250+159=0$ → thuộc $(Q)$.
Vậy điểm không thuộc mặt phẳng $(Q)$ là $H(-7;5;0)$, khớp với đáp án nguồn.