Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $(\beta )$ có cùng phương trình với $(\alpha )$ nên hai mặt phẳng trùng nhau, không song song. b) Đúng: từ phương trình $x+2y-2z+4=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(1;2;-2)$. c) Sai: thay $A(1;2;3)$ vào $y+z+5=0$ được $2+3+5=10\ne 0$, nên $(P)$ không đi qua $A$. (Thực tế mặt phẳng qua $A,B$ và vuông góc $(\alpha )$: $\overrightarrow{AB}=(1;4;-4)$, điều kiện $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ và $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=0$ cho $\overrightarrow{n_P}=(4;-3;-2)$, phương trình $4x-3y-2z+8=0$.) d) Đúng: $d(A,(\alpha ))=\frac{|1+2\cdot 2-2\cdot 3+4|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{3}{3}=1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(\beta ):x+2y-2z+4=0$ trùng với $(\alpha )$, không song song.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\vec{n}(1;2;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A(1;2;3)$: $2+3+5=10\ne 0$, nên $(P)$ không đi qua $A$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(\alpha ))=|1+4-6+4|/3=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục $Ox$ nên đi qua gốc $O$ $\Rightarrow d=0$, và vectơ pháp tuyến $(a;1;c)$ vuông góc với vectơ chỉ phương của trục $Ox$ là $(1;0;0)$ $\Rightarrow a=0$. Phương trình có dạng $y+cz=0$. Đi qua $M(2;3;-1)$: $3+c\cdot (-1)=0\Rightarrow c=3$. Vậy $a+c+d=0+3+0=3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $M(3;1;2)$ đến mặt phẳng $(P):2x-y+2z+3=0$ được tính bằng công thức $d(M,(P))=\frac{|2\cdot 3-1+2\cdot 2+3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|6-1+4+3|}{\sqrt{9}}=\frac{12}{3}=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 2: D).

+) Ta có: $\overrightarrow{OD}=(0;60;0)$, $\overrightarrow{OB}=(10;10;8)$
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(OBED)$ là $\vec{n}=\left[\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OB}\right]=(480;0;-600)$
+) Phương trình mặt phẳng $(OBED)$ đi qua điểm $O(0;0;0)$ và có vecto pháp tuyến ${\vec{n}}^{\prime }=(4;0;-5)$ là:
$4x-5z=0$
+) Kkhoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(OBED)$ là:
$d\left(G,(OBED)\right)=\frac{|4.100-5.0|}{\sqrt{16+25}}=\frac{400\sqrt{41}}{41}\approx 62,5m$

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-3y+z-5=0$ có dạng $ax+by+cz+d=0$ với $a=2,b=-3,c=1,d=-5$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(2;-3;1)$. So sánh với các phương án: A $(2;-3;-5)$ sai (lấy nhầm $d$), B $(2;3;1)$ sai (dấu của $b$), C $(2;-3;-1)$ sai (dấu của $c$), D $(2;-3;1)$ đúng. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(2;-3;1)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;2)$ có dạng $1(x-2)-2(y+3)+2(z-1)=0$, tức $x-2y+2z-2-6-2=0\iff x-2y+2z-10=0$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $A(1;-3;1)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ được tính bằng công thức $d(A,(P))=\frac{|x_0-2y_0+2z_0-3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}$. Thay tọa độ $A(1;-3;1)$: $|1-2(-3)+2(1)-3|=|1+6+2-3|=6$. Mẫu số: $\sqrt{1+4+4}=3$. Vậy $d(A,(P))=\frac{6}{3}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $x-3y+z+4=0$ có véc tơ pháp tuyến dạng $(1;-3;1)$ hoặc các véc tơ cùng phương với nó. A: $(1;-3;1)$ là pháp tuyến. B: $(-1;3;-1)=-1\cdot (1;-3;1)$ cùng phương, là pháp tuyến. C: $(-2;6;-2)=-2\cdot (1;-3;1)$ cùng phương, là pháp tuyến. D: $(1;3;1)$ không cùng phương với $(1;-3;1)$ (tích có hướng khác 0), nên không là véc tơ pháp tuyến. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB là $I(1;-2;0)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(-2;-2;-4)$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;2)$. Mặt phẳng trung trực đi qua $I$ và vuông góc với $AB$: $(x-1)+(y+2)+2(z-0)=0\iff x+y+2z+1=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $O$ nên có dạng $ax+by+cz=0$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{OM}\times \overrightarrow{n_1}$ với $\overrightarrow{OM}=(0;-1;2)$, $\overrightarrow{n_1}=(1;1;3)$. Tính tích có hướng: $\vec{n}=(-1\cdot 3-2\cdot 1;2\cdot 1-0\cdot 3;0\cdot 1+1\cdot 1)=(-5;2;1)$. Vậy $(P):-5x+2y+z=0$. Kiểm tra: đi qua $O(0;0;0)$ ✓, đi qua $M$: $-5\cdot 0+2\cdot (-1)+2=0$ ✓, vuông góc với $x+y+3z-5=0$ vì $(-5)(1)+2\cdot 1+1\cdot 3=0$ ✓. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Từ (P): 2x+2y-z+3=0, vecto pháp tuyến là n=(2;2;-1), không phải (2;2;1).
b) Sai. Mặt phẳng (Q) song song (P) có dạng 2x+2y-z+d=0. Qua B(0;-1;2): 0-2-2+d=0 nên d=4, tức (Q): 2x+2y-z+4=0, không phải 2x+2y-z-4=0.
c) Đúng. Đường thẳng qua A(1;2;3) vuông góc (P) có vecto chỉ phương (2;2;-1), phương trình: x=1+2t, y=2+2t, z=3-t. Khớp với đề.
d) Sai. Đường thẳng qua C(1;3;-2) vuông góc (P): (1+2t; 3+2t; -2-t). Thay vào (P): 2(1+2t)+2(3+2t)-(-2-t)+3=0 ⟹ 13+9t=0 ⟹ t=-13/9. Suy ra H=(-17/9; 1/9; -5/9). Khi đó T=a-b+9c=-17/9-1/9+9(-5/9)=-2-5=-7≠-4.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến của (P) là (2;2;-1), không phải (2;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay B vào 2x+2y-z+d=0 được d=4, nên (Q): 2x+2y-z+4=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(1;2;3) với vecto chỉ phương (2;2;-1) chính là hệ phương trình đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
H=(-17/9;1/9;-5/9), nên T=-17/9-1/9-5=-7≠-4.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ trang 7, bóng rơi tại điểm cách Bình 4,5 m theo phương Ox và lệch sang bên trái của An 0,5 m theo phương Oy, nên điểm rơi là $M(4,5;0,5;0)$ (An ở $(4,5;0;0)$). Quỹ đạo nằm trong $(\alpha ):x+by+cz+d=0$ và $(\alpha )$ vuông góc với mặt đất (mặt phẳng $Oxy$), nên pháp tuyến $(1;b;c)$ vuông góc với $(0;0;1)$, suy ra $c=0$. Quỹ đạo đi qua $O(0;0;0)$ nên $d=0$. Qua $M$: $4,5+0,5b=0\Rightarrow b=-9$. Vậy $-5b^2-c^2+3d^2=-5\cdot 81-0+0=-405$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $A(1;0;0)$ tới mặt phẳng $(P):2x+2y-z+1=0$ được tính theo công thức $$d(A,(P))=\frac{|2\cdot 1+2\cdot 0-0+1|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|3|}{\sqrt{9}}=\frac{3}{3}=1.$$ Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục Ox có dạng $By+Cz=0$ (vì đi qua gốc O và mọi điểm trên trục Ox). Phương trình tổng quát: $By+Cz=0$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0;B;C)$. Để vuông góc với $(\alpha ):2x-3y+4z-5=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;-3;4)$, ta cần $\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=0$, tức $-3B+4C=0\Rightarrow B=4,C=3$ (chọn tỉ lệ). Vậy mặt phẳng cần tìm là $4y+3z=0$, tương ứng phương án C. Kiểm tra: chứa trục Ox (đúng vì không có x và hằng số), pháp tuyến $(0;4;3)$ vuông góc $(2;-3;4)$ vì $0-12+12=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $M(1;1;1)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(4;-2;2)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực. Mặt phẳng trung trực đi qua $M(1;1;1)$ có dạng $4x-2y+2z+D=0$. Thay $M$: $4-2+2+D=0\Rightarrow D=-4$. Vậy mặt phẳng là $4x-2y+2z-4=0$, chia 2: $2x-y+z-2=0$, khớp dạng $Ax+By+Cz-2=0$ với $A=2$, $B=-1$, $C=1$. Suy ra $K=A-B+C=2-(-1)+1=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x+y-2z+4=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1,B=1,C=-2$, nên vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(1;1;-2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào $-x-6y+z-18=0$: $C(-6;-1;6)$: $6+6+6-18=0$ (thuộc); $N(-5;-1;7)$: $5+6+7-18=0$ (thuộc); $H(4;-3;4)$: $-4+18+4-18=0$ (thuộc); $D(6;6;1)$: $-6-36+1-18=-59\ne 0$ (không thuộc). Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ cắt các trục tại $M(-3;0;0)$, $B(0;1;0)$, $I(0;0;7)$ nên có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{-3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{7}=1$. Kiểm tra: tại $M$: $\frac{-3}{-3}=1$; tại $B$: $\frac{1}{1}=1$; tại $I$: $\frac{7}{7}=1$, đều thỏa mãn. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $N(1;-8;-3)$ đến $(Q):6x-2y+3z-6=0$ là $d(N,(Q))=\frac{|6(1)-2(-8)+3(-3)-6|}{\sqrt{6^2+(-2{)}^2+3^2}}=\frac{|6+16-9-6|}{7}=\frac{7}{7}=1$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án (Câu 15: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{DB}=B-D=(-7+2;11-6;-10+7)=(-5;5;-3)$. Mặt phẳng $(R)$ qua $C(8;0;4)$ có phương trình: $-5(x-8)+5(y-0)-3(z-4)=0\iff -5x+5y-3z+40+12=0\iff -5x+5y-3z+52=0$. Kết quả khớp với đáp án D của đề.