Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-2z+3=0$ có dạng $ax+by+cz+d=0$ với $a=1$, $b=0$, $c=-2$, $d=3$. Do đó một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(a;b;c)=(1;0;-2)$. Véc tơ này trùng với đáp án A. Đáp án này cũng khớp với đáp án của đề (mã đề 1002, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức khoảng cách từ điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$ là $d(A,(P))=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Khớp với đáp án A và bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-2z+3=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1,B=0,C=-2,D=3$, nên một véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;0;-2)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-1)$ → Đúng. b) Theo phương trình tham số của $d$, mọi điểm $A\in d$ có dạng $A(t;-1-t;2+2t)$ → Đúng. c) Thay $M(3;1;9)$ vào $(\alpha )$: $3+1-9+3=-2\ne 0$ → $M\notin (\alpha )$ → Sai. d) Với $A(t;-1-t;2+2t)$ thì $\overrightarrow{AM}=(t-3;-2-t;2t-7)$. $AM\parallel (\alpha )\iff \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0\iff (t-3)+(-2-t)-(2t-7)=0\iff 2-2t=0\iff t=1$. Khi đó $A(1;-2;4)$, $\overrightarrow{AM}=(-2;-3;-5)$, $AM=\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}$ → Đúng. Khớp đáp án mã đề 1001: ĐĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(\alpha ):x+y-z+3=0$ suy ra trực tiếp $\vec{n}=(1;1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số của $d$ cho tọa độ điểm dạng $A(t;-1-t;2+2t)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;1;9)$: $3+1-9+3=-2\ne 0$, nên $M\notin (\alpha )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=(t-3;-2-t;2t-7)$; $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=2-2t=0\Rightarrow t=1$, $A(1;-2;4)$, $AM=\sqrt{(-2{)}^2+(-3{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{38}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật ABCD với A(0;0;0), C(2;1;0) nên B(2;0;0), D(0;1;0) (d đúng). Vectơ SC = C - S = (2;1;-3) (c đúng). Mặt phẳng (SBD) đi qua S(0;0;3), B(2;0;0), D(0;1;0) có phương trình x/2 + y/1 + z/3 = 1, tức 3x + 6y + 2z = 6 (b đúng). Vectơ pháp tuyến n = (3;6;2). Góc giữa SC và (SBD): sin α = |SC·n|/(|SC||n|) = |6+6-6|/(√14·√49) = 6/(7√14) ≈ 0,229, nên α ≈ 13,2° ≈ 13°, không phải 15° (a sai). Khớp đáp án mã đề 1001: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SBD): 3x+6y+2z=6, n=(3;6;2). sin α = |SC·n|/(|SC||n|) = 6/(7√14) ≈ 0,229 ⇒ α ≈ 13° ≠ 15°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua S(0;0;3), B(2;0;0), D(0;1;0) có dạng x/2 + y/1 + z/3 = 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
SC = (2-0; 1-0; 0-3) = (2;1;-3).
d) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình chữ nhật với A(0;0;0), C(2;1;0) nên B(2;0;0), D(0;1;0).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức khoảng cách từ điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$ là $d(A,(P))=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, với điều kiện $a^2+b^2+c^2\ne 0$. Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo kết quả không âm, mẫu là độ dài vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b;c)$. Do đó đáp án A khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $A(1;2;-3)$ với vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$ có phương trình: $1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0$, tức $x-1-2y+4+3z+9=0\iff x-2y+3z+12=0$. Thử lại: thay $A(1;2;-3)$: $1-4-9+12=0$ đúng. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Quỹ đạo: điểm tại thời điểm t là M + 2t·v̂ với v̂ = (2/3; 1/3; -2/3) (|v| = 3), tức (12 + 4t/3; 1 + 2t/3; 3 - 4t/3).
d) (P) vuông góc quỹ đạo nên VTPT là v = (2;1;-2), qua A(4;1;-1): 2(x-4) + (y-1) - 2(z+1) = 0 ⇔ 2x + y - 2z - 11 = 0. Đúng.
Thay tọa độ chất điểm vào (P): 2(12+4t/3) + (1+2t/3) - 2(3-4t/3) - 11 = 8 + 6t = 0 ⇒ t = -4/3 (giây), tức mặt phẳng nằm phía sau điểm xuất phát theo hướng chuyển động; nếu xét thời điểm chạm (lấy |t| = 4/3 s):
a) Vị trí: (12 - 16/9; 1 - 8/9; 3 + 16/9) = (92/9; 1/9; 43/9) ≠ (16;13;-1). Sai.
b) Quãng đường = d(M,(P)) = |2·12+1-2·3-11|/3 = 8/3 m ≠ 5 m. Sai.
c) Thời gian = (8/3)/2 = 4/3 s ≠ 2 s. Sai.
d) Đúng như trên.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí chạm mặt phẳng là (92/9; 1/9; 43/9), không phải (16;13;-1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường = d(M,(P)) = 8/3 m, không phải 5 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thời gian = (8/3)/2 = 4/3 s, không phải 2 s.
d) (AI giải đề cho tôi)
(P) có VTPT (2;1;-2) qua A(4;1;-1): 2x + y - 2z - 11 = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;1;2)$ và cách $O$ một khoảng lớn nhất phải vuông góc với $OM$ tại $M$, nên có VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{OM}=(1;1;2)$, phương trình: $1(x-1)+1(y-1)+2(z-2)=0\iff x+y+2z=6$. Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $d=\frac{6}{\sqrt{1+1+4}}=\sqrt{6}$, đúng là lớn nhất (vì với mọi mặt phẳng qua $M$, khoảng cách từ $O$ không vượt quá $OM=\sqrt{6}$). Giao với các trục: $A(6;0;0)$, $B(0;6;0)$, $C(0;0;3)$. Thể tích tứ diện $OABC=\frac{1}{6}\cdot OA\cdot OB\cdot OC=\frac{1}{6}\cdot 6\cdot 6\cdot 3=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P)$ nên có dạng $2x-y+z+d=0$. Đi qua $M(3;-1;2)$: $2\cdot 3-(-1)+2+d=0\Rightarrow 6+1+2+d=0\Rightarrow d=-9$. Vậy $(Q):2x-y+z-9=0$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: thay $M$ vào $2x-y+z-9=6+1+2-9=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Pháp tuyến của (α) là n=(2;-1;3). Kiểm tra: u·n=(-2)(2)+(-1)(-1)+1·3=-4+1+3=0; v·n=0·2+3·(-1)+1·3=0. Cả hai vectơ đều vuông góc với n nên là cặp vectơ chỉ phương của (α) → đúng.
b) Mặt phẳng (Q): x+2y+3z-14=0 đi qua M vì 1+4+9-14=0. Giao với các trục: A(14;0;0), B(0;7;0), C(0;0;14/3). Kiểm tra trực tâm: MA=(13;-2;-3), BC=(0;-7;14/3), MA·BC=14-14=0; MB=(-1;5;-3), AC=(-14;0;14/3), MB·AC=14-14=0. M nằm trên hai đường cao nên là trực tâm tam giác ABC → đúng. (Có thể kiểm tra lại bằng cách tìm tổng quát: mặt phẳng x/a+y/b+z/c=1 có M làm trực tâm khi a=3c, 2b=3c, kết hợp qua M cho đúng phương trình x+2y+3z-14=0.)
c) Thay N(2;0;0) vào (α): 2·2-0+3·0+4=8≠0 nên N không thuộc (α) → sai.
d) d(M,(α))=|2·1-2+3·3+4|/√(4+1+9)=13/√14 ≠ 14/√13 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
u·n=-4+1+3=0 và v·n=-3+3=0, cả hai vectơ vuông góc với pháp tuyến n=(2;-1;3) nên là cặp vectơ chỉ phương của (α).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q): x+2y+3z-14=0 qua M; cắt trục tại A(14;0;0), B(0;7;0), C(0;0;14/3); MA·BC=0 và MB·AC=0 nên M là trực tâm tam giác ABC.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay N(2;0;0): 4+0+0+4=8≠0 nên N không thuộc (α).
d) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(α))=|2-2+9+4|/√14=13/√14, không bằng 14/√13.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(3;3;-2)$, pháp tuyến của $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=(1;1;-5)$. Pháp tuyến của $(P)$: $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{n_Q}=(-13;13;0)$. Chọn $\vec{n}=(-1;1;0)$, mặt phẳng qua $A$: $-(x+1)+(y+3)=0\iff -x+y+2=0$. Kiểm tra $B(2;0;3)$: $-2+0+2=0$ đúng. Vậy $a=-1,b=1,c=0$, $S=10(-1)+20(1)+30(0)=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $(\alpha ):2x-y+z-2=0$:
- $N(1;-1;-1)$: $2(1)-(-1)+(-1)-2=2+1-1-2=0$ → thuộc $(\alpha )$.
- $P(2;-1;-1)$: $4+1-1-2=2\ne 0$ → không thuộc.
- $M(1;1;-1)$: $2-1-1-2=-2\ne 0$ → không thuộc.
- $Q(1;-2;2)$: $2+2+2-2=4\ne 0$ → không thuộc.
Vậy điểm thuộc $(\alpha )$ là $N(1;-1;-1)$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $M(2;2;1)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(5;2;-3)$ có phương trình: $5(x-2)+2(y-2)-3(z-1)=0\iff 5x+2y-3z-11=0$. Kiểm tra: $5(2)+2(2)-3(1)=10+4-3=11$ ✓. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\beta ):x-2y+2z-5=0$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_{\beta }=(1;-2;2)$. Vì $(\alpha )\parallel (\beta )$ nên $(\alpha )$ cũng có pháp tuyến $(1;-2;2)$, đi qua $M(2;1;3)$: $2-2+6+d=0\Rightarrow d=-6$, vậy $(\alpha ):x-2y+2z-6=0$. Khoảng cách từ $K(4;-3;8)$ đến $(\alpha )$: $d=\frac{|4+6+16-6|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{20}{3}\approx 6,67$ m. Mặt phẳng $(\gamma )$ qua $O$ và $K$ có pháp tuyến vuông góc với $\overrightarrow{OK}=(4;-3;8)$ và vuông góc với ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;-2;2)$: ${\vec{n}}_{\gamma }={\vec{n}}_{\alpha }\times \overrightarrow{OK}=(-10;0;5)$, suy ra $(\gamma ):-10x+5z=0\iff 2x-z=0$, không phải $2x+z=0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(\alpha )$ phải cùng phương với $(1;-2;2)$ của $(\beta )$, không phải $(1;-2;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\alpha )$ song song $(\beta )$ nên có dạng $x-2y+2z+d=0$; thay $M(2;1;3)$: $2-2+6+d=0\Rightarrow d=-6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(K,(\alpha ))=\frac{|4+6+16-6|}{3}=\frac{20}{3}\approx 6,67$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{\gamma }={\vec{n}}_{\alpha }\times \overrightarrow{OK}=(-10;0;5)$ nên $(\gamma ):2x-z=0$, không phải $2x+z=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(-4;6;2)$, chọn vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3;-1)$ (cùng phương với $\overrightarrow{AB}$). Mặt phẳng $(P)$ qua $A(5;-4;2)$: $2(x-5)-3(y+4)-(z-2)=0\iff 2x-3y-z-20=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P): x+y+z+1=0. Vì A(1;2;2) có x+y+z+1=6>0, hình chiếu H của A trên (P) là H = A - (6/3)(1;1;1) = (-1;1;0), nên A' = 2H - A = (-3;-2;-2). Theo định luật phản xạ, quãng đường AM + MB = A'M + MB = A'B (M nằm trên đoạn A'B). Kiểm tra B(-1;1;4) cùng phía với A nên tia phản xạ hợp lệ. Độ dài A'B = sqrt(2² + 3² + 6²) = sqrt(49) = 7. Vậy quãng đường tia laser đi từ A đến B qua M bằng 7 (đơn vị độ dài).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C(0;0;h)$ với $h>0$. Mặt phẳng $(ABC)$ có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{h}=1$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{h}\right)$. Góc giữa $(ABC)$ và mặt đất $(Oxy)$ (pháp tuyến $(0;0;1)$) là $45^{\circ }$: $$\cos 45^{\circ }=\frac{1/h}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{h^2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ Suy ra $\frac{2}{h^2}=\frac{5}{16}+\frac{1}{h^2}\Rightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{5}{16}\Rightarrow h=\frac{4}{\sqrt{5}}$. Diện tích tam giác $ABC$: $\overrightarrow{AB}=(-2;4;0)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;0;h)$, $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(4h;2h;8)$, độ dài $=\sqrt{16h^2+4h^2+64}=\sqrt{20\cdot \frac{16}{5}+64}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$. Vậy $S=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{2}=4\sqrt{2}{m}^2$, nên $a=4$, $b=2$, $a+b=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$.

Hình chiếu của $A$ lên $SB$: vectơ $\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{2})$, $|SB{|}^2=3a^2$, $\overrightarrow{AS}=(0;0;a\sqrt{2})$. Gọi $M=S+t\overrightarrow{SB}$ với $t=\frac{-\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{SB}}{|SB{|}^2}=\frac{2a^2}{3a^2}=\frac{2}{3}$. Vậy $M=\left(\frac{2a}{3};0;\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$, tương tự $N=\left(0;\frac{2a}{3};\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$.

Mặt phẳng $(AMN)$ đi qua $A$ nên có dạng $\alpha x+\beta y+\gamma z=0$. Thay tọa độ $M$: $\frac{2a\alpha }{3}+\frac{a\sqrt{2}\gamma }{3}=0\Rightarrow \gamma =-\sqrt{2}\alpha$. Chọn $\alpha =1$: $(AMN):x+y-\sqrt{2}z=0$.

Điểm $P\in SC$: $P=S+u\overrightarrow{SC}=(ua;ua;a\sqrt{2}(1-u))$. Thay vào mặt phẳng: $2ua-\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}(1-u)=2ua-2a(1-u)=0\Rightarrow u=\frac{1}{2}$.

Vậy $\frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng $(P):2x-y+z-7=0$ với $x=1,y=-1$: biểu thức trở thành $2(1)-(-1)+z-7=z-4$. Để điểm thuộc $(P)$ cần $z-4=0$, tức $z=4$. Kiểm tra: $N(1;-1;2)$: $2+1+2-7=-2\ne 0$; $M(1;-1;0)$: $2+1+0-7=-4\ne 0$; $Q(1;-1;3)$: $2+1+3-7=-1\ne 0$; $P(1;-1;4)$: $2+1+4-7=0$. Vậy điểm $P(1;-1;4)$ thuộc mặt phẳng $(P)$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 11: D).