Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng có dạng $\frac{x}{-2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{3}=1$. Nhân hai vế với $-6$ (BCNN của 2, 1, 3 với dấu thích hợp) ta được $3x+6y-2z=-6$, tức $3x+6y-2z+6=0$. Vậy một vector pháp tuyến là $\vec{n}=(3;6;-2)$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: các hệ số tỉ lệ với $\left(\frac{1}{-2};\frac{1}{-1};\frac{1}{3}\right)=\left(-\frac{1}{2};-1;\frac{1}{3}\right)$, và $(3;6;-2)=-6\cdot \left(-\frac{1}{2};-1;\frac{1}{3}\right)$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $Oxz$ là tập các điểm có tung độ $y=0$, nên phương trình là $y=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(P):3x+4y+2z+4=0$ là $d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot (-2)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\frac{|3-8+6+4|}{\sqrt{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $\overrightarrow{AB}=B-A=(-6;4;2)$, không phải $(6;-4;-2)$ (đó là $\overrightarrow{BA}$). b) Đúng: mặt phẳng trung trực $(P)$ vuông góc với $AB$ nên nhận $\vec{n}=k\overrightarrow{AB}$; với $k=-2$ ta được $\vec{n}(12;-8;-4)$, đây là một vecto pháp tuyến của $(P)$. c) Sai: trung điểm $M(-2;-1;1)$, $(P)$ qua $M$ với VTPT $(-3;2;1)$: $-3(x+2)+2(y+1)+(z-1)=0\iff -3x+2y+z-5=0$, không phải $-3x+2y+z-3=0$. d) Đúng: $(Q)$ qua $C(1;-3;9)$ song song $(P)$, VTPT $(-3;2;1)$: $-3(x-1)+2(y+3)+(z-9)=0\iff -3x+2y+z=0$; thay $O(0;0;0)$ thỏa mãn nên $(Q)$ đi qua gốc tọa độ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-6;4;2)\ne (6;-4;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(P)$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(-6;4;2)$, và $(12;-8;-4)=-2\overrightarrow{AB}$ cũng là vecto pháp tuyến của $(P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M(-2;-1;1)$, phương trình $(P)$: $-3x+2y+z-5=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$: $-3x+2y+z=0$ qua $C(1;-3;9)$, và $O(0;0;0)$ thỏa mãn nên $(Q)$ đi qua gốc tọa độ.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa trục $Ox$ nên pháp tuyến $\vec{u}=(a;b;c)$ vuông góc với $\vec{i}=(1;0;0)$, suy ra $a=0$. Vì $(\alpha )$ đi qua $A(2;-1;5)$ nên $\vec{u}\cdot \overrightarrow{OA}=0\Rightarrow 2a-b+5c=0$. Với $a=0$ ta được $-b+5c=0\Rightarrow b=5c$. Vậy $\frac{b}{c}=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-2y+3z-1=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1,B=-2,C=3$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-2;3)$. Đây chính là $\overrightarrow{n_4}$ ở phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $A(1;2;-3)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$ có dạng $1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0$, tức $x-2y+3z+12=0$. Kiểm tra: thay $A$ vào $x-2y+3z+12=1-4-9+12=0$ đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-6;3)$ và $\overrightarrow{CD}=(1;2;1)$. Vecto pháp tuyến của $(\alpha )$: $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=(-12;0;12)\parallel (1;0;-1)$. Mặt phẳng qua $A(-2;6;3)$: $1(x+2)+0(y-6)-1(z-3)=0\iff x-z+5=0$. Kiểm tra: $B(1;0;6)$: $1-6+5=0$ ✓; $\vec{n}\cdot \overrightarrow{CD}=1-1=0$ ✓. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(2;-1;2): 2·2-(-1)+2·2-8 = 4+1+4-8 = 1 ≠ 0 nên M không thuộc (P) → sai. b) Vecto pháp tuyến của (P): 2x-y+2z-8=0 là n=(2;-1;2) → đúng. c) (Q) song song (P) nên có dạng 2x-y+2z+d=0; qua A(3;2;-1): 6-2-2+d=0 ⇒ d=-2, phương trình 2x-y+2z-2=0 → đúng. d) (R) vuông góc với (P) và (Oxy) nên vecto pháp tuyến n = (2;-1;2)×(0;0;1) = (-1;-2;0), do a>0 nên (a,b)=(1,2). Khoảng cách từ B(-3;1;5): |−3+2+d|/√5 = √5 ⇒ |d−1| = 5 ⇒ d=6 hoặc d=−4; vì d<0 nên d=−4. Vậy b+d = 2−4 = −2 ≠ −4 → mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(2;-1;2) vào (P): 2·2-(-1)+2·2-8 = 1 ≠ 0 nên M không thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P): 2x-y+2z-8=0 có vecto pháp tuyến n=(2;-1;2).
c) (AI giải đề cho tôi)
(Q): 2x-y+2z+d=0, qua A(3;2;-1) ⇒ 6-2-2+d=0 ⇒ d=-2, được 2x-y+2z-2=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
n_(R) = (2;-1;2)×(0;0;1) = (-1;-2;0), chọn (a,b)=(1,2). Khoảng cách từ B(-3;1;5): |−3+2+d|/√5 = √5 ⇒ |d−1|=5 ⇒ d=−4 (vì d<0). Suy ra b+d = 2−4 = −2 ≠ −4.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;1;-2)$. Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-2;2;1)$. Mặt phẳng $(ABC)$: $-2x+2y+z+d=0$; thay $A(0;0;3)$ được $d=-3$. Vậy $(ABC):-2x+2y+z-3=0$. Khoảng cách từ $O(0;0;0)$: $d(O,(ABC))=\frac{|-3|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{3}{3}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(a;b;c)$. Vì $(P)$ qua $A(3;2;1)$, $B(-3;5;2)$ nên $3a+2b+c=27$ và $-3a+5b+2c=27$. Vì $(P)\perp (Q)$ với $(Q):3x+y+z+4=0$ nên $3a+b+c=0$. Trừ hai phương trình đầu: $6a-3b-c=0\Rightarrow c=6a-3b$. Thay vào $3a+b+c=0$: $9a-2b=0\Rightarrow b=\frac{9a}{2}$, suy ra $c=-\frac{15a}{2}$. Thay vào $3a+2b+c=27$: $3a+9a-\frac{15a}{2}=\frac{9a}{2}=27\Rightarrow a=6$, khi đó $b=27$, $c=-45$. Vậy $S=a+b+c=6+27-45=-12$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-3y-z+8=0$ có hệ số của $x,y,z$ lần lượt là $1;-3;-1$, do đó một vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-3;-1)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(1-(-1);3-2;-1-1)=(2;1;-2)$, đây cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng đi qua $B(1;3;-1)$ nên có phương trình: $2(x-1)+(y-3)-2(z+1)=0\iff 2x+y-2z-7=0$. Vậy đáp án C.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 102: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ không đồng thời bằng 0, tức là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$. Xét các phương án: A: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-z+4=0$ là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$ (nhân 6 được $2x+3y-6z+24=0$), nên là phương trình mặt phẳng. B, C chứa $x^2,y^2,z^2,yz$ (bậc hai), D chứa $xy$ (bậc hai), đều không phải mặt phẳng. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(5;2;1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-2z+8=0$ là $d(A,\alpha )=\frac{|5+2\cdot 2-2\cdot 1+8|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|15|}{3}=5$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ không đồng thời bằng 0 (bậc nhất theo $x,y,z$).
- A: $x^2-2y^2+z^2+2=0$ có các số hạng bậc hai, không phải mặt phẳng.
- B: $xy+z-2=0$ có số hạng $xy$ bậc hai, không phải mặt phẳng.
- C: $x^2-2yz-9=0$ có các số hạng bậc hai, không phải mặt phẳng.
- D: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-z+4=0$ là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$ (dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=\frac{1}{3},B=\frac{1}{2},C=-1,D=4$), nên là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(5;2;1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-2z+8=0$ là $d(A,(\alpha ))=\frac{|5+2\cdot 2-2\cdot 1+8|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|15|}{3}=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $A(1;2;-3)$ với vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$ có phương trình: $1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0$, tức $x-2y+3z+12=0$. Thử lại: $1-4-9+12=0$, thỏa mãn. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật ABCD với A(0;0;0), C(2;1;0) nên B(2;0;0), D(0;1;0) → a) Đúng. Vectơ SC = C − S = (2;1;−3) → d) Đúng. Mặt phẳng qua B(2;0;0), D(0;1;0), S(0;0;3) có dạng x/2 + y/1 + z/3 = 1, tức 3x + 6y + 2z = 6 → c) Đúng. Góc giữa SC và (SBD): n = (3;6;2), |n| = 7, |SC| = √14, sin α = |3·2 + 6·1 + 2·(−3)|/(7√14) = 6/(7√14) ≈ 0,2288 → α ≈ 13,2° ≈ 13°, không phải 15° → b) Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình chữ nhật với A(0;0;0), C(2;1;0) nên B(2;0;0), D(0;1;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
(SBD): 3x + 6y + 2z = 6, n = (3;6;2). sin α = |SC·n|/(|SC||n|) = 6/(7√14) ≈ 0,2288 → α ≈ 13° ≠ 15°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt các trục tại B(2;0;0), D(0;1;0), S(0;0;3) nên x/2 + y/1 + z/3 = 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
SC = C − S = (2−0; 1−0; 0−3) = (2;1;−3).