Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=\left(4;2;-\frac{1}{2}\right)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-1;1;-4)$, nên $\vec{n}=(1;-1;4)$ cũng là một pháp tuyến của $(ABC)$ → a đúng. Mặt phẳng qua $A(2;1;3)$ dạng $-x+y-4z+d=0$: $-2+1-12+d=0\Rightarrow d=13$, tức $-x+y-4z+13=0$, không phải $-x+y-4z-13=0$ → b sai. Thay $D\left(4;0;\frac{14}{5}\right)$: $-4+0-\frac{56}{5}+13=-\frac{11}{5}\ne 0$ → c sai. Cắt $Ox$: $M(13;0;0)$; cắt $Oy$: $N(0;-13;0)$; $MN=\sqrt{13^2+13^2}=13\sqrt{2}\ne 13$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=\left(4;2;-\frac{1}{2}\right)$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-1;1;-4)$ nên $(1;-1;4)$ là một pháp tuyến của $(ABC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Qua $A(2;1;3)$: $-2+1-12+d=0\Rightarrow d=13$, phương trình là $-x+y-4z+13=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $D\left(4;0;\frac{14}{5}\right)$ vào $-x+y-4z+13=0$: $-4-\frac{56}{5}+13=-\frac{11}{5}\ne 0$ nên $D\notin (ABC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(13;0;0)$, $N(0;-13;0)$ nên $MN=\sqrt{169+169}=13\sqrt{2}\ne 13$.

(AI giải đề cho tôi)
Khối rubik 3×3×3 có cạnh 3 (đơn vị bằng cạnh khối nhỏ), thể tích $3^3=27$ → a đúng. $\overrightarrow{AC}=C-A=(-3;0;2)\ne (3;0;-2)$ → b sai. Mặt phẳng $(ABC)$ theo dạng đoạn chắn: $\frac{x}{3}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=1\iff 2x+2y+3z-6=0$, không phải $3x+3y+2z-6=0$ → c sai. $D(3k;3k;2k)\in (ABC)$: $2(3k)+2(3k)+3(2k)=18k=6\Rightarrow k=\frac{1}{3}$, nên $D(1;1;\frac{2}{3})$, khi đó $a+2b+3c=1+2+2=5$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Rubik 3×3×3, cạnh 3 đơn vị, thể tích $V=3^3=27$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(-3;0;2)$, không phải $(3;0;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $2x+2y+3z-6=0$; thử $A(3;0;0)$ vào $3x+3y+2z-6=0$ được $3\ne 0$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$18k=6\Rightarrow k=\frac{1}{3}$, $D(1;1;\frac{2}{3})$, $a+2b+3c=1+2+2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với gốc tại $A$, mặt phẳng nền là $Oxy$ (đơn vị mét): $A(0;0;0)$, $B(25;0;0)$, $D(0;15;0)$, $C(25;18;0)$ (vì $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$, $AB\parallel DC$... thực tế $BC\parallel AD$ không cần, chỉ cần tọa độ $C$ cách $B$ theo phương vuông góc với $AB$ một đoạn $18$ m).

Độ cao (cm) so với $A$: $z_A=0$, $z_B=-10$, $z_D=-6$, $z_C=-a$.

Mặt phẳng sân có dạng $z=px+qy+r$ (đơn vị cm, tọa độ mét). Vì mặt phẳng qua $A(0;0;0)$ với $z_A=0$ nên $r=0$.

Qua $B(25;0;0)$: $25p=-10\Rightarrow p=-0,4$.

Qua $D(0;15;0)$: $15q=-6\Rightarrow q=-0,4$.

Tại $C(25;18;0)$: $z_C=-0,4\cdot 25-0,4\cdot 18=-10-7,2=-17,2$ cm.

Vậy $a=17,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì mặt phẳng $(OACB)$ đi qua $O(0;0;0)$ và $A(100;0;0)$ nên nó chứa trục $Ox$, do đó phương trình có dạng $y+cz=0$ (tức $a=0$, $d=0$). Điểm $B(10;10;8)$ thuộc mặt phẳng nên $10+8c=0\Rightarrow c=-1,25$. Vậy $a+c+d=0+(-1,25)+0=-1,25\approx -1,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ dưới dạng đoạn chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$, $a,b,c>0$ (vì cắt các tia). Vì $(P)$ qua $M(1;2;3)$ nên $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1$. Thể tích tứ diện $OABC$ là $V=\frac{1}{6}abc$. Theo bất đẳng thức AM-GM: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{6}{abc}}$, suy ra $1\ge 3\sqrt[3]{\frac{6}{abc}}\Rightarrow abc\ge 162$, tức $V\ge 27$. Dấu bằng khi $\frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{3}{c}=\frac{1}{3}$, tức $a=3,b=6,c=9$. Khi đó $(P):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1$, hay $6x+3y+2z-18=0$. Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$: $d=\frac{18}{\sqrt{36+9+4}}=\frac{18}{7}\approx 2.57$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P):3x-2y+4z-5=0$ nên có dạng $3x-2y+4z+D=0$. Vì $(Q)$ đi qua $A(2;-1;-3)$ nên $3(2)-2(-1)+4(-3)+D=0\iff 6+2-12+D=0\iff D=4$. Vậy $(Q):3x-2y+4z+4=0$. Kiểm tra: thay $A$ vào $3x-2y+4z+4=6+2-12+4=0$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(P):3x+4y+2z+4=0$ là $d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot (-2)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\frac{|3-8+6+4|}{\sqrt{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ thuộc trục $Oy$ nên $M(0;y;0)$. Khoảng cách từ $M$ đến $(P):x+y-z+1=0$ là $d(P)=\frac{|y+1|}{\sqrt{3}}$; khoảng cách đến $(Q):x-y+z-5=0$ là $d(Q)=\frac{|-y-5|}{\sqrt{3}}=\frac{|y+5|}{\sqrt{3}}$. Cách đều nên $|y+1|=|y+5|$, suy ra $y+1=-(y+5)\Rightarrow y=-3$. Vậy $M(0;-3;0)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song với $(\beta ):x+y-z+3=0$ có dạng $(\alpha ):x+y-z+c=0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng: $d((\alpha ),(\beta ))=\frac{|c-3|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|c-3|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow |c-3|=3\Rightarrow c=0$ hoặc $c=6$. Vậy có hai mặt phẳng: $x+y-z+6=0$ và $x+y-z=0$. Đáp án A.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và nhận $\vec{n}=(-4;3;0)$ làm vectơ pháp tuyến là: $-4(x-0)+3(y-0)=0\iff -4x+3y=0$.

Mặt phẳng $(P):2x-3z-5=0$ có một vecto pháp tuyến là $\vec{u}=(2;0;-3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):\frac{x}{-2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{3}=1$. Nhân hai vế với $-6$ (BCNN của 2, 1, 3 đổi dấu) ta được $3x+6y-2z=-6$, tức $3x+6y-2z+6=0$. Vậy một vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(3;6;-2)$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: các vecto ở B, C, D không cùng tỷ lệ với $(3;6;-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P) qua A(2;1;-1), B(1;3;1) và song song trục Oy nên pháp tuyến n=(a;0;c) với n·AB=0, AB=(-1;2;2) ⇒ -a+2c=0 ⇒ a=2c, chọn n=(2;0;1). Qua A: 2·2+(-1)+d=0 ⇒ d=-3, vậy (P): 2x+z-3=0.
a) Sai: đề nói 2x+z+3=0 (dấu sai).
b) Đúng: AB·n = -2+0+2 = 0 nên vectơ AB vuông góc với pháp tuyến của (P).
c) (Q) chứa trục Oy ⇒ phương trình dạng ax+cz=0 (b=d=0). Khoảng cách từ A: |2a-c|/√(a²+c²) lớn nhất bằng √5 khi (a;c) cùng phương (2;-1), tức (Q): 2x-z=0. Với dạng 2x+by+cz+d=0 thì b=0, c=-1, d=0 ⇒ b+c+d=-1≠1 ⇒ Sai.
d) d(M,(P)) = |2·(-3)+(-2)-3|/√5 = 11/√5 = 11√5/5 ⇒ Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(P) có n=(2;0;1) và qua A(2;1;-1): 2·2-1+d=0 ⇒ d=-3, nên (P): 2x+z-3=0, không phải 2x+z+3=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-1;2;2), n=(2;0;1), AB·n=-2+2=0 nên giá của AB vuông góc với pháp tuyến của (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
(Q) chứa Oy nên có dạng ax+cz=0. Khoảng cách từ A: |2a-c|/√(a²+c²) lớn nhất bằng √5 khi (a;c)=(2;-1), tức (Q): 2x-z=0 ⇒ b=0, c=-1, d=0 ⇒ b+c+d=-1≠1.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(P))=|2·(-3)+(-2)-3|/√5=11/√5=11√5/5.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OA=a,OB=b,OC=c$ lập thành cấp số cộng công sai 2 nên $b=a+2,c=a+4$. Mặt phẳng $(ABC)$: $\frac{x}{a}+\frac{y}{a+2}+\frac{z}{a+4}=1$. Vì đi qua $M(2;-2;3)$: $\frac{2}{a}-\frac{2}{a+2}+\frac{3}{a+4}=1$. Biến đổi: $\frac{4}{a(a+2)}+\frac{3}{a+4}=1\Rightarrow 4(a+4)+3a(a+2)=a(a+2)(a+4)\Rightarrow a^3+3a^2-2a-16=0$. Thử $a=2$: $8+12-4-16=0$, thỏa mãn (và vế trái đồng biến với $a>0$ nên nghiệm duy nhất). Vậy $a=2,b=4,c=6$, mặt phẳng: $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1\iff 6x+3y+2z-12=0$ (kiểm tra $M$: $12-6+6-12=0$). Khoảng cách từ $K(2;5;-1)$: $d=\frac{|6\cdot 2+3\cdot 5+2\cdot (-1)-12|}{\sqrt{36+9+4}}=\frac{13}{7}\approx 1,86$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{n_Q}\times \overrightarrow{n_R}=(1;1;3)\times (2;-1;1)=(1\cdot 1-3\cdot (-1);3\cdot 2-1\cdot 1;1\cdot (-1)-1\cdot 2)=(4;5;-3)$. Mặt phẳng qua $A(2;1;-3)$: $4(x-2)+5(y-1)-3(z+3)=0\iff 4x+5y-3z-22=0$. Kiểm tra: $4(2)+5(1)-3(-3)=8+5+9=22$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $A=(0;0;0)$. Vì $\widehat{ABC}=60°$ và $AB=BC=4a$ nên tam giác $ABC$ đều, do đó $AC=4a$, $BD=4\sqrt{3}a$. Đặt $C=(4a;0;0)$, $O=(2a;0;0)$, $B=(2a;2\sqrt{3}a;0)$, $D=(2a;-2\sqrt{3}a;0)$. Vì $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$ nên $SA\perp (ABCD)$, suy ra $S=(0;0;3a)$.

Ta có $M$ trung điểm $AB$: $M=(a;\sqrt{3}a;0)$; $E\in SC$ với $SE=\frac{1}{3}SC$: $E=\left(\frac{4a}{3};0;2a\right)$.

Vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{SO}=(2a;0;-3a)$, $\overrightarrow{DE}=\left(-\frac{2a}{3};2\sqrt{3}a;2a\right)$. Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$: $\vec{n}=\overrightarrow{SO}\times \overrightarrow{DE}=(6\sqrt{3};-2;4\sqrt{3})\parallel (3\sqrt{3};-1;2\sqrt{3})$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$: $3\sqrt{3}(x-a)-(y-\sqrt{3}a)+2\sqrt{3}z=0$, tức $3\sqrt{3}x-y+2\sqrt{3}z=2\sqrt{3}a$. (Kiểm tra: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{SO}=6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=0$, $\vec{n}\cdot \overrightarrow{DE}=-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=0$.)

• Giao với $SA$: điểm $(0;0;3at)$ cho $6\sqrt{3}at=2\sqrt{3}a\Rightarrow t=\frac{1}{3}$, nên $N=(0;0;a)$, tức $SN=\frac{1}{3}SA$.

• Giao với $AD$: điểm $(2as;-2\sqrt{3}as;0)$ cho $8\sqrt{3}as=2\sqrt{3}a\Rightarrow s=\frac{1}{4}$, nên $P=\left(\frac{a}{2};-\frac{\sqrt{3}a}{2};0\right)$, tức $AP=\frac{1}{4}AD$.

Tính độ dài: $\overrightarrow{MN}=(-a;-\sqrt{3}a;a)\Rightarrow M{N}^2=5a^2$; $\overrightarrow{MP}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{3\sqrt{3}a}{2};0\right)\Rightarrow M{P}^2=7a^2$; $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MP}=\frac{a^2}{2}+\frac{9a^2}{2}=5a^2$.

Diện tích tam giác $MNP$: $S=\frac{1}{2}MN\cdot MP\cdot \sin \theta$ với ${\sin }^2\theta =1-\frac{(\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MP}{)}^2}{M{N}^2\cdot M{P}^2}=1-\frac{25a^4}{35a^4}=\frac{2}{7}$.

Vậy $S_{MNP}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{5}\cdot a\sqrt{7}\cdot \sqrt{\frac{2}{7}}=\frac{1}{2}{a}^2\sqrt{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}{a}^2$.

Gọi $O$ là trung điểm $BC$, dựng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.



Khi đó $A\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0;0\right),C\left(0;\frac{1}{2};0\right),B\left(0;-\frac{1}{2};0\right),A^{\prime }\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0;2\right),B^{\prime }\left(0;-\frac{1}{2};2\right)$.

+ Trung điểm $M$ của $A{A}^{\prime }$ có tọa độ là $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0;1\right)$.

+ Viết phương trình mặt phẳng $(B^{\prime }AC)$.

Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};-2\right)$ và $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0;1;-2)$

nên $\vec{n}=\left[\overrightarrow{B^{\prime }A},\overrightarrow{B^{\prime }C}\right]=\left(1;\sqrt{3};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ là một vectơ pháp tuyến của $(B^{\prime }AC)$.

và $(B^{\prime }AC)$ đi qua điểm $B^{\prime }$

suy ra phương trình mặt phẳng $(B^{\prime }AC)$ là $2\sqrt{3}x+6y+3z-3=0$.

+ Vậy khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(B^{\prime }AC)$ là $d\left(M,(B^{\prime }AC)\right)=\frac{\sqrt{57}}{19}\approx 0,3974$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ không đồng thời bằng 0, tức là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$. Xét từng phương án: A) $2x+y+3z^2-1=0$ có chứa $z^2$ (bậc hai) nên không phải mặt phẳng. B) $\frac{2}{x}-\frac{1}{y}+\frac{3}{x}=1$ không phải phương trình bậc nhất theo $x,y,z$ (có mẫu chứa biến) nên không phải. C) $x-z=1$ tương đương $x-z-1=0$ là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$ (hệ số của $y$ bằng 0), đây là mặt phẳng song song với trục $Oy$. D) $x.y.z=1$ là phương trình bậc ba, không phải mặt phẳng. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1;1-2;1-(-1))=(1;-1;2)$, $\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1;1-2;2-(-1))=(2;-1;3)$. Đúng.
b) $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=((-1)(3)-2(-1);2\cdot 2-1\cdot 3;1(-1)-(-1)(2))=(-1;1;1)$. Đúng.
c) Mặt phẳng qua $A(1;2;-1)$ với $\overrightarrow{n}=(-1;1;1)$: $-x+y+z=-(1)+2+(-1)=0$ nên $-x+y+z=0\iff x-y-z=0$. Đúng.
d) Chiều cao $h=d(S,(ABC))=\frac{|3-2-5|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ne \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;-1;2)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-1;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-1;1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Qua $A(1;2;-1)$: $-x+y+z=0\iff x-y-z=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h=\frac{|3-2-5|}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ne \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(0;3;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;3;-2)$. Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(3\cdot (-2)-1\cdot 3;1\cdot (-1)-0\cdot (-2);0\cdot 3-3\cdot (-1))=(-9;-1;3)$. Mặt phẳng: $-9x-y+3z+d=0$. Thay $A(1;-2;0)$: $-9+2+d=0\Rightarrow d=7$. Vậy $-9x-y+3z+7=0$, nhân với $-1$: $9x+y-3z-7=0$, tức $a=9$, $b=1$, $c=-3$ (thỏa dạng $ax+by+cz-7=0$). Do đó $T=a+b+c=9+1-3=7$.