Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là vị trí bạn nữ (gốc tọa độ), bạn nam ở B(0;4;0) trên trục Oy (hình vẽ cho đoạn 3 m vuông góc với trục Oy tại chân bạn nam). Điểm rơi H nằm trên mặt đất, lệch sang phải theo trục Ox nên H(3;4;0). Kiểm tra: OH = √(3²+4²) = 5 (m) khớp dữ kiện 'cách bạn nữ 5 m', và HB = 3 (m) khớp 'cách bạn nam 3 m'. Mặt phẳng (P): ax + 3y = 0 đi qua O và chứa H (quỹ đạo nằm trong (P)), thay tọa độ H: a·3 + 3·4 = 0 ⟹ 3a = −12 ⟹ a = −4.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ: D(0;0;0), A(6;0;0), B(6;5;0), C(0;5;0); E(6;0;8), F(6;5;8), H(0;0;h), G(0;5;h). Mặt phẳng (HEFG): x + by + cz + d = 0. Thay E: 6 + 8c + d = 0; thay F: 6 + 5b + 8c + d = 0 ⇒ b = 0. Thay H: ch + d = 0. Góc giữa (HEFG) và (Oxy) là 30°: cos30° = |c|/√(1+c²) ⇒ c² = 3. Vì mái dốc lên phía D (h > 8) nên z tăng khi x giảm ⇒ c = √3. Suy ra d = −(6 + 8√3), kiểm tra h = −d/c = 8 + 2√3 ≈ 11,46 > 8 thỏa mãn. Vậy T = b + 3c − 5d = 3√3 + 5(6 + 8√3) = 30 + 43√3 ≈ 104,48 ≈ 104.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(4-2{)}^2+(4-3{)}^2}=\sqrt{4+4+1}=3$. Khoảng cách từ $A(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P):2x+y+mz-1=0$ là $d(A,(P))=\frac{|2\cdot 1+2+3m-1|}{\sqrt{4+1+m^2}}=\frac{|3+3m|}{\sqrt{5+m^2}}$. Theo đề: $\frac{|3+3m|}{\sqrt{5+m^2}}=3\iff |1+m|=\sqrt{5+m^2}\iff 1+2m+m^2=5+m^2\iff 2m=4\iff m=2$. Vậy $m=2$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(1;3;-2) vào (β): 2·1+3+(-2)-3=0 nên (β) qua M. Tuy nhiên n_β=(2;1;1) không cùng phương với n_α=(2;1;-1) (tỉ số 2/2=1, 1/1=1 nhưng 1/(-1)=-1), nên (β) không song song (α) → Sai.
b) n_γ=(1;-3;-1), n_α=(2;1;-1). Tích vô hướng: 1·2+(-3)·1+(-1)·(-1)=2-3+1=0 nên (γ)⊥(α) → Đúng.
c) (P): y+z-1=0: qua M vì 3+(-2)-1=0; n_P=(0;1;1) có thành phần theo x bằng 0 nên (P) song song trục Ox; n_P·n_α=0·2+1·1+1·(-1)=0 nên (P)⊥(α) → Đúng.
d) d(M,(α))=|2·1+3-(-2)+5|/√6=12/√6=2√6. Xét các mặt phẳng (α_d): 2x+y-z+d=0 song song (α). Khoảng cách từ M: |2+3+2+d|/√6=|12+d|/√6=2√6 ⟺ |12+d|=12 ⟺ d=0 hoặc d=-24. Vậy có đúng hai mặt phẳng: 2x+y-z=0 và 2x+y-z-24=0 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(β) qua M nhưng n_β=(2;1;1) không cùng phương n_α=(2;1;-1) nên không song song (α).
b) (AI giải đề cho tôi)
n_γ·n_α=2-3+1=0 nên (γ)⊥(α).
c) (AI giải đề cho tôi)
(P): y+z-1=0 qua M, n_P=(0;1;1)⊥Ox và n_P·n_α=0 nên thỏa mọi điều kiện.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(α))=12/√6=2√6; |12+d|/√6=2√6 cho d=0 hoặc d=-24, tức có hai mặt phẳng 2x+y-z=0 và 2x+y-z-24=0.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 21: bé gái đứng tại gốc $O(0;0;0)$, bé trai đứng tại $C$ trên trục $Oy$, quả bóng rơi tại điểm $B$ với $OB=5m$ và lệch $3m$ về bên phải (phương $Ox$) so với $C$. Tam giác $OBC$ vuông tại $C$: $OC=\sqrt{5^2-3^2}=4$, suy ra $C(0;4;0)$ và $B(3;4;0)$.
a) $C(0;4;0)$: Đúng.
b) $B(4;3;0)$: Sai, tọa độ đúng là $B(3;4;0)$ vì $OB=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
c) Mặt phẳng chứa quỹ đạo vuông góc với mặt đất nên song song với trục $Oz$, có dạng $ax+by+c=0$ (không có $z$). Nó đi qua $O(0;0;0)$ nên $c=0$, và đi qua $B(3;4;0)$ nên $3a+4b=0$. Chọn $a=4,b=-3$ được $4x-3y=0$. Phương trình $4x-3y+z=0$ sai vì chứa $z$ (không vuông góc mặt đất, không có dạng $ax+by+c=0$). Vậy c) Sai.
d) Với $4x-3y+0=0$ thì $a+b+c=4-3+0=1$. Vậy d) Đúng.

Lưu ý: các trang nguồn được cung cấp (21, 22) không chứa đáp án chính thức cho câu này; các đánh giá Đúng/Sai trên do AI giải dựa trên hình vẽ trang 21.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bé gái đứng tại $O(0;0;0)$, bé trai đứng tại $C$ trên trục $Oy$, quả bóng rơi tại $B$ với $OB=5$ và $BC=3$ (lệch $3m$ về bên phải, phương $Ox$). Tam giác $OBC$ vuông tại $C$ nên $OC=\sqrt{O{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{25-9}=4$, do đó $C(0;4;0)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, $C(0;4;0)$ là chân đường vuông góc từ $B$ xuống trục $Oy$ và $BC=3$ theo phương $Ox$, nên $B(3;4;0)$ (kiểm tra $OB=\sqrt{3^2+4^2}=5$). Mệnh đề $B(4;3;0)$ Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa quỹ đạo vuông góc với mặt đất nên song song với trục $Oz$, đi qua $O(0;0;0)$ và $B(3;4;0)$, có dạng $4x-3y=0$. Phương trình $4x-3y+z=0$ chứa $z$ (không vuông góc mặt đất) và không đi qua $B(3;4;0)$ (thay vào: $12-12+0=0$ nhưng có số hạng $z$ làm nó không thỏa dạng $ax+by+c=0$). Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với phương trình đúng $4x-3y+0=0$ ta có $a=4,b=-3,c=0$, suy ra $a+b+c=1$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình: A(10;0;9), B(10;20;10), Q(5;20;7), C(0;20;10), D(0;0;9).
a) VTAB = (0;20;1), VTAQ = (-5;20;-2), tích có hướng: (-60;-5;100). Thay A: -600+900+d=0 ⇒ d=-300. Vậy (ABQ): -60x-5y+100z-300=0. Đúng.
b) VTCD = (0;-20;-1), VTCQ = (5;0;-3), tích có hướng: (60;-5;100). Thay D(0;0;9): 900+d=0 ⇒ d=-900. Vậy (CDQ): 60x-5y+100z-900=0 (không phải +900). Sai.
c) Giao tuyến hai mặt phẳng: trừ hai phương trình được -120x+600=0 ⇒ x=5; thay vào (ABQ): -300-5y+100z-300=0 ⇒ 100z-5y=600. P nằm ở mặt trước y=0 ⇒ z=6. Vậy P(5;0;6). Đúng.
d) a+b+c = 5+0+6 = 11. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTAB=(0;20;1), VTAQ=(-5;20;-2) ⇒ n=(-60;-5;100); thay A(10;0;9) được d=-300, nên (ABQ): -60x-5y+100z-300=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
n=(60;-5;100), thay D(0;0;9) được d=-900, nên (CDQ): 60x-5y+100z-900=0, mệnh đề sai dấu hằng số.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến: trừ hai pt mặt phẳng được x=5; tại y=0 (mặt trước) suy ra z=6, nên P(5;0;6).
d) (AI giải đề cho tôi)
a+b+c = 5+0+6 = 11.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(2;1;5) đến mặt phẳng (P): 2x−y−2z+13=0 là d = |2·2 − 1 − 2·5 + 13| / √(4+1+4) = |−6|/3 = 2. Vùng quan sát trên (P) là hình tròn với nửa góc ở đỉnh bằng 116°/2 = 58°, nên bán kính r = d·tan58° = 2·tan58° ≈ 3,2037. Đường kính = 2r ≈ 6,4074 ≈ 6,4.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt Nam tại O(0;0;0), An tại A(0;4,5;0) trên trục Oy (theo hình vẽ trang 22). Gọi M(x;y;0) là điểm rơi của bóng với x>0 (lệch sang phải của Nam). Ta có OM = 4,5 và MA = 0,5:
$$x^2+y^2=20,25,x^2+(y-4,5{)}^2=0,25.$$
Trừ hai phương trình: $y^2-(y-4,5{)}^2=20\Rightarrow 9y-20,25=20\Rightarrow y=\frac{40,25}{9}\approx 4,4722$.
Suy ra $x^2=20,25-{\left(\frac{40,25}{9}\right)}^2\approx 0,2492\Rightarrow x\approx 0,4992$.
Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa quỹ đạo nên đi qua Nam O(0;0;0) và điểm rơi M, do đó $d=0$.
$(\alpha )$ vuông góc với mặt đất nên pháp tuyến $(a;\frac{1}{2};c)$ vuông góc với trục Oz, tức $c=0$.
Vì M thuộc $(\alpha )$: $a\cdot x+\frac{1}{2}y=0\Rightarrow a=-\frac{y}{2x}=-\frac{4,4722}{2\cdot 0,4992}\approx -4,4788$.
Vậy $a+c+d\approx -4,4788\approx -4,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6)$ có phương trình $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1$, tức $6x+3y+2z-12=0$. Vì $(P)\parallel (ABC)$ và có dạng $ax+by+2z+d=0$ nên $(P):6x+3y+2z+d=0$. Khoảng cách từ $D(2;4;6)$ đến $(P)$: $\frac{|6\cdot 2+3\cdot 4+2\cdot 6+d|}{7}=\frac{|36+d|}{7}$. Khoảng cách từ $(ABC)$ đến $(P)$ (lấy điểm $A$): $\frac{|12+d|}{7}$. Cách đều: $|36+d|=|12+d|\Rightarrow 36+d=-(12+d)\Rightarrow d=-24$. Khi đó $(P):6x+3y+2z-24=0$, thỏa $a=6,b=3\in \mathbb{Z}$ và hai mặt phẳng phân biệt (không trùng). Vậy $d=-24$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ (vì $A{A}^{\prime }\perp AB$ và $A{A}^{\prime }\perp AD$). Do đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ là một vectơ pháp tuyến của $(ABCD)$. Các vectơ $\overrightarrow{AC}$ nằm trong $(ABCD)$, còn $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ không vuông góc với $(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào $(P):x+y+z-3=0$:
- $M(-1;-1;-1)$: $-1-1-1-3=-6\ne 0$.
- $N(1;1;1)$: $1+1+1-3=0$, thỏa mãn.
- $P(-3;0;0)$: $-3+0+0-3=-6\ne 0$.
- $Q(0;0;-3)$: $0+0-3-3=-6\ne 0$.
Vậy mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $N(1;1;1)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):3x+2y-4z+1=0$ có dạng tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=3,B=2,C=-4$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\overrightarrow{n}=(3;2;-4)$. So với các phương án: A $\overrightarrow{n_2}=(3;2;4)$ sai (tọa độ $z$ phải là $-4$); B $\overrightarrow{n_3}=(2;-4;1)$ sai; C $\overrightarrow{n_1}=(3;-4;1)$ sai; D $\overrightarrow{n_4}=(3;2;-4)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(0;-1;4)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;2;-1)$ có phương trình: $2(x-0)+2(y+1)-1(z-4)=0$, tức $2x+2y+2-z+4=0\iff 2x+2y-z+6=0$. Kiểm tra: thay $A(0;-1;4)$: $0-2-4+6=0$ đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-4;4)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(2\cdot 4-0\cdot (-4);0\cdot 0-(-4)\cdot 4;(-4)(-4)-0\cdot 0)=(8;16;16)$. Chia cho 8 được $(1;2;2)$, ứng với phương án A. Kiểm tra: $(1;2;2)\cdot (-4;2;0)=0$ và $(1;2;2)\cdot (0;-4;4)=0$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua ba điểm trên các trục $A(-2;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;1)$ có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=1$. Kiểm tra: tại $A$: $\frac{-2}{-2}=1$; tại $B$: $\frac{3}{3}=1$; tại $C$: $\frac{1}{1}=1$, thỏa mãn. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$. Quy đồng mẫu số với mẫu chung là 6, ta được: $6x+3y+2z=6$. Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n}=(6;3;2)$, trùng với $\overrightarrow{n_1}$ ở phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oxz)$ là mặt phẳng chứa trục $Ox$, trục $Oz$ và vuông góc với trục $Oy$, nên mọi điểm của nó có tung độ $y=0$. Vậy phương trình của $(Oxz)$ là $y=0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;4;2)$, $\overrightarrow{AC}=(-3;4;3)$. Vecto pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(4\cdot 3-2\cdot 4;2\cdot (-3)-0\cdot 3;0\cdot 4-4\cdot (-3))=(4;-6;12)\parallel (2;-3;6)$. Mặt phẳng qua $A(3;-2;-2)$: $2x-3y+6z+d=0$ với $2\cdot 3-3\cdot (-2)+6\cdot (-2)+d=0\Rightarrow 6+6-12+d=0\Rightarrow d=0$. Vậy $(ABC):2x-3y+6z=0$, tương ứng phương án C. Kiểm tra: $B$: $6-6+0=0$ ✓, $C$: $0-6+6=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):3x+y-z-12=0$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;1;-1)$ nên a) đúng. Thay $A(5;3;-6)$: $3\cdot 5+3-(-6)-12=15+3+6-12=12\ne 0$ nên $(P)$ không đi qua $A$, b) sai. Với $M(a;b;1)\in (P)$: $3a+b-1-12=0\iff 3a+b=13\ne -13$, c) sai. Cắt $Ox$: $y=z=0\Rightarrow x=4$ nên $A(4;0;0)$; cắt $Oz$: $x=y=0\Rightarrow z=-12$ nên $B(0;0;-12)$. Khi đó $OA=4$, $OB=12$, $AB=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\approx 12,65$. Chu vi tam giác $OAB=16+4\sqrt{10}\approx 28,65\ne 12$, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $3x+y-z-12=0$, hệ số của $x,y,z$ cho véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(5;3;-6)$ vào $(P)$: $15+3+6-12=12\ne 0$ nên $A\notin (P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M(a;b;1)\in (P)\Rightarrow 3a+b-1-12=0\iff 3a+b=13$, không phải $-13$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(4;0;0)$, $B(0;0;-12)$ nên $OA=4$, $OB=12$, $AB=4\sqrt{10}$. Chu vi $=16+4\sqrt{10}\approx 28,65\ne 12$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3:
a) Đúng. Phương trình $(P):x+y+z-6=0$ có hệ số của $x,y,z$ là $(1;1;1)$, nên một VTPT là $\vec{n}=(1;1;1)$.
b) Sai. $\overrightarrow{BC}=C-B=(7;-3;4)$. Mặt phẳng $(Q)$ qua $A(1;6;0)$ có VTPT $\overrightarrow{BC}$: $7(x-1)-3(y-6)+4z=0\iff 7x-3y+4z+11=0$, khác $3x-3y+4z+15=0$.
c) Đúng. $\overrightarrow{AB}=(-3;-4;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(4;-7;3)$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-19;5;37)$. Phương trình: $-19(x-1)+5(y-6)+37z=0\iff 19x-5y-37z+11=0$. Thử $A$: $19-30+0+11=0$ đúng.
d) Đúng. $MA=MB$: $2M\cdot (B-A)=|B{|}^2-|A{|}^2=9-37=-28\Rightarrow 3a+4b+c=14$. $MA=MC$: $2M\cdot (C-A)=|C{|}^2-|A{|}^2=35-37=-2\Rightarrow 4a-7b+3c=-1$. Cùng với $a+b+c=6$: trừ phương trình thứ nhất cho $(P)$ được $2a+3b=8$; trừ phương trình thứ hai cho 3 lần $(P)$ được $a-10b=-19$. Giải hệ: $b=2$, $a=1$, $c=3$. Vậy $abc=1\cdot 2\cdot 3=6$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x+y+z-6=0$ có hệ số của $x,y,z$ là $(1;1;1)$, nên $\vec{n}=(1;1;1)$ là một VTPT của $(P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=C-B=(7;-3;4)$. Mặt phẳng $(Q)$ qua $A(1;6;0)$ có VTPT $\overrightarrow{BC}$: $7(x-1)-3(y-6)+4z=0\iff 7x-3y+4z+11=0$, khác phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-3;-4;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(4;-7;3)$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-19;5;37)$. Phương trình: $-19(x-1)+5(y-6)+37z=0\iff 19x-5y-37z+11=0$. Thử $A$: $19-30+0+11=0$ đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$MA=MB$: $2M\cdot (B-A)=|B{|}^2-|A{|}^2=-28\Rightarrow 3a+4b+c=14$. $MA=MC$: $2M\cdot (C-A)=|C{|}^2-|A{|}^2=-2\Rightarrow 4a-7b+3c=-1$. Cùng $a+b+c=6$: trừ phương trình thứ nhất cho phương trình $(P)$: $2a+3b=8$; trừ phương trình thứ hai cho 3 lần $(P)$: $a-10b=-19$. Giải ra $b=2,a=1,c=3$. Vậy $abc=1\cdot 2\cdot 3=6$, đúng.