Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB là $I(2;0;4)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-2)$ nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là $\vec{n}=(1;-1;1)$. Phương trình: $1(x-2)-1(y-0)+1(z-4)=0\iff x-y+z-6=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ mỗi điểm vào phương trình $(P):x+y+z-3=0$. Điểm $N(3;5;-12)$: $3+5-12-3=-7\ne 0$. Điểm $K(2;-1;2)$: $2-1+2-3=0$, thỏa mãn. Điểm $H(3;-5;4)$: $3-5+4-3=-1\ne 0$. Điểm $M(1;-2;2)$: $1-2+2-3=-2\ne 0$. Vậy $(P)$ đi qua điểm $K(2;-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2;2-3;-1-1)=(-1;-1;-2)$ và $\overrightarrow{AC}=C-A=(3-2;-2-3;6-1)=(1;-5;5)$. Đúng.
b) $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-15;3;6)\propto (-5;1;2)$, và $(5;-1;-2)=-(-5;1;2)$ cũng là véc-tơ pháp tuyến. Đúng.
c) Mặt phẳng qua $A(2;3;1)$ với $\vec{n}=(5;-1;-2)$: $5(x-2)-(y-3)-2(z-1)=0\iff 5x-y-2z-5=0$. Kiểm tra $B$: $5-2+2-5=0$ ✓. Đề cho $-6$ nên sai.
d) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $G=\left(\frac{2+1+3}{3};\frac{3+2-2}{3};\frac{1-1+6}{3}\right)=(2;1;2)$. $M$ trên $(Oxy)$ nên $M(x;y;0)$, $P=3\sqrt{(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+4}$ nhỏ nhất khi $M=(2;1;0)$, khi đó $a+b+c=2+1+0=3\ne 5$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1;-1;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$ đều đúng theo công thức hiệu tọa độ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-15;3;6)\propto (5;-1;-2)$, nên $(5;-1;-2)$ là một véc-tơ pháp tuyến của $(ABC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $5x-y-2z-5=0$ (thay $A(2;3;1)$: $10-3-2=5$), không phải $-6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G(2;1;2)$, $M$ trên $(Oxy)$ nên $M$ là hình chiếu của $G$ lên $(Oxy)$: $M(2;1;0)$, $a+b+c=3\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)$ cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ tại $A,B,C$ nên đặt $OA=a$, $OB=b$, $OC=c$ với $a,b,c>0$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Vì $(P)$ đi qua $M(1;2;3)$ nên $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1$.

Theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz:
$${\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)}^2\le \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\left(1^2+2^2+3^2\right)=14T,$$
suy ra $T\ge \frac{1}{14}$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=1:2:3$, tức $\frac{1}{a}=\frac{1}{14}$, $\frac{1}{b}=\frac{2}{14}$, $\frac{1}{c}=\frac{3}{14}$, suy ra $a=14$, $b=7$, $c=\frac{14}{3}$.

Phương trình mặt phẳng: $\frac{x}{14}+\frac{y}{7}+\frac{3z}{14}=1\iff x+2y+3z-14=0$. Vậy $a=2$, $b=3$, $c=-14$, do đó $a+b+c=2+3-14=-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng có dạng $ax+by+cz+d=0$ nhận $\vec{n}=(a;b;c)$ làm vecto pháp tuyến. Xét từng phương án: A: $3x+z+7=0$ có $\vec{n}=(3;0;1)$; B: $3x-y-7z+1=0$ có $\vec{n}=(3;-1;-7)$; C: $3x+y-7=0$ có $\vec{n}=(3;1;0)$; D: $3x+y-7z-3=0$ có $\vec{n}=(3;1;-7)$. Vậy chỉ phương án D nhận $\vec{n}=(3;1;-7)$ làm vecto pháp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $(P):3x-2z+2=0$:
- $B(4;2;1)$: $3\cdot 4-2\cdot 1+2=12\ne 0$.
- $A(1;2;4)$: $3\cdot 1-2\cdot 4+2=-3\ne 0$.
- $D(2;1;4)$: $3\cdot 2-2\cdot 4+2=6-8+2=0$, thỏa mãn.
- $C(2;4;-1)$: $3\cdot 2-2\cdot (-1)+2=10\ne 0$.
Vậy $(P)$ đi qua điểm $D(2;1;4)$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục $Oz$ có dạng $ax+by=0$ (không chứa $z$). Vì đi qua $A(1;2;3)$ nên $a+2b=0$, chọn $a=2,b=-1$ được $2x-y=0$. Kiểm tra: $A(1;2;3)$ thỏa $2\cdot 1-2=0$; trục $Oz$ (các điểm $(0;0;z)$) cũng thỏa. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P):3x-2y+4z-5=0$ nên có dạng $3x-2y+4z+d=0$. Vì $(Q)$ đi qua $A(2;-1;-3)$ nên $3(2)-2(-1)+4(-3)+d=0\iff 6+2-12+d=0\iff d=4$. Vậy $(Q):3x-2y+4z+4=0$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB là $I(1;1;2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(-6;2;2)$, chọn vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-1;-1)$. Mặt phẳng trung trực đi qua $I$ và vuông góc với $\overrightarrow{AB}$: $3(x-1)-(y-1)-(z-2)=0\iff 3x-y-z=0$. Vậy đáp án D. Kiểm tra: $A$: $12-0-1=11\ne 0$... thực tế $3(4)-0-1=11\ne 0$ (A không thuộc mặt phẳng, đúng vì mặt trung trực không qua A); $I$: $3-1-2=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=(2;-1;3)$, của $(Q):y=0$ là $\overrightarrow{n_Q}=(0;1;0)$. Vì $(R)$ vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ nên $\overrightarrow{n_R}=\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=(-3;0;2)$, tức có thể lấy $\overrightarrow{n_R}=(3;0;-2)$. Mặt phẳng $(R)$ qua $A(1;1;1)$: $3(x-1)-2(z-1)=0\iff 3x-2z-1=0$. Kiểm tra: $A$ thỏa mãn ($3-2-1=0$), và $\overrightarrow{n_R}\perp \overrightarrow{n_P}$ ($6+0-6=0$), $\overrightarrow{n_R}\perp \overrightarrow{n_Q}$ ($0+0+0=0$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-2;-3)$. Pháp vector $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(3-2;-2+3;-2+2)=(1;1;0)$. Mặt phẳng qua $A(2;3;5)$: $1(x-2)+1(y-3)+0(z-5)=0\iff x+y-5=0$. Kiểm tra: $B(3;2;4)$: $3+2-5=0$ ✓; $C(4;1;2)$: $4+1-5=0$ ✓. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(P):3x+4y+2z+4=0$ là $d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot (-2)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\frac{|3-8+6+4|}{\sqrt{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $M(1;2;3)$ trên $Ox,Oy,Oz$ lần lượt là $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;3)$. Mặt phẳng đi qua ba điểm này có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$. Kiểm tra: $A(1;0;0)$: $\frac{1}{1}=1$ ✓; $B(0;2;0)$: $\frac{2}{2}=1$ ✓; $C(0;0;3)$: $\frac{3}{3}=1$ ✓. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(a;0;0)$, $N(0;b;0)$ với $a,b>0$ (cắt tia $Ox$, $Oy$). Vì $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}$ nên $a=2b$. Mặt phẳng $(P)$ có dạng $\frac{x}{2b}+\frac{y}{b}+\frac{z}{r}=1$. Đi qua $B(0;2;2)$: $\frac{2}{b}+\frac{2}{r}=1\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{r}=\frac{1}{2}$. Đi qua $A(1;1;1)$: $\frac{1}{2b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{r}=1\Rightarrow \frac{1}{2b}+\frac{1}{2}=1\Rightarrow b=1$. Suy ra $\frac{1}{r}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$, tức $r=-2$. Vậy $(P):\frac{x}{2}+y-\frac{z}{2}=1\iff x+2y-z-2=0$. Kiểm tra: $A(1;1;1)$: $1+2-1-2=0$ ✓; $B(0;2;2)$: $0+4-2-2=0$ ✓; cắt $Ox$ tại $M(2;0;0)$, $Oy$ tại $N(0;1;0)$, $OM=2$, $ON=1$ thỏa $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}$ ✓. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (ABC) đi qua A(0;0;6), B(0;3;0), C(-2;0;0) có dạng x/(-2)+y/3+z/6=1, tức -3x+2y+z-6=0 với pháp tuyến n=(-3;2;1). Vì SH ⊥ (ABC) nên đường thẳng SH: x=-1-3t, y=6+2t, z=2+t. Thay vào phương trình (ABC): -3(-1-3t)+2(6+2t)+(2+t)-6=0 ⟹ 11+14t=0 ⟹ t=-11/14, suy ra H=(19/14; 31/7; 17/14). Mặt phẳng (SBH) chứa B(0;3;0) với hai vectơ BS=(-1;3;2), BH=(19/14; 10/7; 17/14). Tích có hướng [BS,BH]=(11/14; 55/14; -77/14) ∝ (1;5;-7). Phương trình: 1(x-0)+5(y-3)-7(z-0)=0 ⟹ x+5y-7z-15=0. Kiểm tra với S: -1+30-14-15=0 ✓. Vậy đáp án C. Lưu ý: phương án A và B trùng nhau do lỗi in của nguồn, giữ nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(2;0;0)$, $B(0;4;0)$, $C(0;0;6)$ nên có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1$, tức $6x+3y+2z-12=0$.
Với $D(2;4;6)$: $6\cdot 2+3\cdot 4+2\cdot 6=36$, nên $d(D,(ABC))=\frac{|36-12|}{\sqrt{36+9+4}}=\frac{24}{7}$.
Mặt phẳng $(P)$ song song với $(ABC)$ có dạng $6x+3y+2z+c=0$. Điều kiện $(P)$ cách đều $D$ và $(ABC)$: $\frac{|36+c|}{7}=\frac{|-12+c|}{7}$, tức $|36+c|=|c-12|$. Vì $(P)$ phải nằm giữa $D$ và $(ABC)$ (không trùng $(ABC)$, không đi qua $D$), ta có $36+c=12-c$, suy ra $c=-24$.
Vậy $(P):6x+3y+2z-24=0$. Kiểm tra: $d(D,(P))=\frac{|36-24|}{7}=\frac{12}{7}$ và khoảng cách giữa $(ABC)$ và $(P)$ là $\frac{|-12+24|}{7}=\frac{12}{7}$, hai khoảng cách bằng nhau, thỏa mãn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $(Q):2x-3y+z+1=0$ có pháp tuyến $(2;-3;1)$, nhân với $-2$ được $(-4;6;-2)$ nên đúng. b) $I=\left(\frac{1+2}{2};\frac{3-1}{2};\frac{4+5}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};1;\frac{9}{2}\right)$ đúng. c) Mặt phẳng qua $A$ song song $(Q)$: $2x-3y+z+d=0$, thay $A(1;3;4)$: $2-9+4+d=0\Rightarrow d=3$, tức $2x-3y+z+3=0$ hay $-2x+3y-z-3=0$, khác $-2x+3y-z+3=0$ nên sai. d) $\overrightarrow{AB}=(1;-4;1)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times (2;-3;1)=(-1;1;5)$; qua $A$: $-(x-1)+(y-3)+5(z-4)=0\Rightarrow -x+y+5z-22=0$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$ có VTPT $(2;-3;1)$, và $(-4;6;-2)=-2(2;-3;1)$ cũng là VTPT của $(Q)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$I=\left(\frac{1+2}{2};\frac{3+(-1)}{2};\frac{4+5}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};1;\frac{9}{2}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $A$ song song $(Q)$ là $2x-3y+z+3=0$ (tức $-2x+3y-z-3=0$), không phải $-2x+3y-z+3=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times (2;-3;1)=(-1;1;5)$; qua $A(1;3;4)$: $-x+y+5z-22=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: (P): x−2=0 có vectơ pháp tuyến n_P=(1;0;0); (Q): y−z−1=0 có n_Q=(0;1;−1).
a) Sai: pháp tuyến của (P) là (1;0;0), không phải (1;−2;0).
b) Đúng: n_P·n_Q = 1·0+0·1+0·(−1)=0 nên (P)⊥(Q).
c) Đúng: mặt phẳng song song (Q) có dạng y−z+c=0; qua A(−1;2;3): 2−3+c=0 ⇒ c=1, được y−z+1=0.
d) Đúng: mặt phẳng vuông góc với cả (P) và (Q) có pháp tuyến n = n_P×n_Q = (0·(−1)−0·1; 0·0−1·(−1); 1·1−0·0) = (0;1;1). Qua A: 0(x+1)+(y−2)+(z−3)=0 ⇒ y+z−5=0.
a) (AI giải đề cho tôi)
(P): x−2=0 có vectơ pháp tuyến (1;0;0), không phải (1;−2;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
n_P·n_Q=(1;0;0)·(0;1;−1)=0 nên (P) vuông góc (Q).
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song (Q): y−z+c=0; thay A: 2−3+c=0 ⇒ c=1, được y−z+1=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
n=n_P×n_Q=(0;1;1); qua A(−1;2;3): (y−2)+(z−3)=0 ⇒ y+z−5=0.

(AI giải đề cho tôi)
Vì B(4k;3k;2k) thuộc mặt phẳng (CBEF): z−3=0 nên 2k=3 ⇒ k=1,5 ⇒ B(6; 9/2; 3).
a) Đúng: B=(6; 9/2; 3).
b) Sai: mặt phẳng z−3=0 có vectơ pháp tuyến (0;0;1); (0;1;−3) không vuông góc với mặt phẳng này (ví dụ (0;1;0) nằm trong mặt phẳng nhưng (0;1;−3)·(0;1;0)=1≠0).
c) Đúng: (AOBC) qua O, A(50;0;0), B(6;4,5;3). n = OA×OB = (0;−150;225) ∝ (0;−2;3), phương trình 2y−3z=0. Thử B: 2·4,5−3·3=0 ✓.
d) Sai: (DOBE) chứa O, D(0;20;0), B(6;4,5;3). Với p=(2;0;−1): p·OB = 12−3 = 9 ≠ 0 nên p không là pháp tuyến. Pháp tuyến đúng dạng (1;0;−2) (thỏa D: 0=0, B: 6−6=0, E(6;20;3): 6−6=0).
a) (AI giải đề cho tôi)
B thuộc (CBEF): z−3=0 nên 2k=3, k=1,5, B=(6; 9/2; 3).
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng z−3=0 có pháp tuyến (0;0;1), không phải (0;1;−3).
c) (AI giải đề cho tôi)
(AOBC) qua O, A(50;0;0), B(6;4,5;3). n = OA×OB = (0;−150;225) ∝ (0;−2;3), phương trình 2y−3z=0. Thử B: 2·4,5−3·3=0 ✓.
d) (AI giải đề cho tôi)
p=(2;0;−1)·OB=(6;4,5;3) = 12−3 = 9 ≠ 0 nên p không vuông góc OB; pháp tuyến đúng là (1;0;−2).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: M(1;3;-2), (P): 2x-y+3z+4=0, (Q): 4x-2y+6z-1=0.
a) d(M,(P)) = |2·1 - 3 + 3·(-2) + 4|/√(4+1+9) = |-3|/√14 = 3/√14 = 3√14/14 ≈ 0,80, khác 15/√56 ≈ 2,00 → Sai.
b) n_P=(2;-1;3), n_Q=(4;-2;6)=2n_P nên (P)//(Q), không vuông góc → Sai.
c) (Q): 2x-y+3z-1/2=0. Khoảng cách = |4-(-1/2)|/√14 = (9/2)/√14 = 9/(2√14) = 9√14/28 = 9√56/56 → Đúng.
d) Mặt phẳng qua M song song (P): 2x-y+3z+d=0 với 2-3-6+d=0 ⇒ d=7, phương trình là 2x-y+3z+7=0, không phải 2x-y+3z-10=0 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(P)) = |2·1 - 3 + 3·(-2) + 4|/√14 = |-3|/√14 = 3√14/14 ≈ 0,80 ≠ 15/√56 ≈ 2,00 → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
n_Q = (4;-2;6) = 2n_P nên (P)//(Q), không vuông góc → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(Q): 2x-y+3z-1/2=0; d = |4+1/2|/√14 = 9/(2√14) = 9√56/56 → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
2·1 - 3 + 3·(-2) + d = 0 ⇒ d = 7, phương trình là 2x-y+3z+7=0, không phải 2x-y+3z-10=0 → Sai.