Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cần tìm song song với $(\alpha ):2x-y-1=0$ nên có vectơ pháp tuyến cùng phương với ${\vec{n}}_{\alpha }=(2;-1;0)$. Vì mặt phẳng có dạng $-x+by+cz+d=0$ với pháp tuyến $(-1;b;c)$, ta có $(-1;b;c)=k(2;-1;0)$. Từ $-1=2k\Rightarrow k=-\frac{1}{2}$, suy ra $b=\frac{1}{2}$, $c=0$. Mặt phẳng: $-x+\frac{1}{2}y+d=0$. Đi qua $M(1;0;0)$: $-1+d=0\Rightarrow d=1$. Vậy $b+c-3d=\frac{1}{2}+0-3=-\frac{5}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: pháp tuyến của (Q): -3x+7y-9z-5=0 là n=(-3;7;-9), không phải (-3;7;-5). b) Thay A(-5;5;6): -3(-5)+7·5-9·6-5 = 15+35-54-5 = -9 ≠ 0 nên A không thuộc (Q) → đúng. c) (R): 6x-14y+18z+12=0 có n_R=(6;-14;18) = -2·(-3;7;-9) nên n_R cùng phương n_Q; chia (R) cho -2 được -3x+7y-9z-6=0 khác -3x+7y-9z-5=0 nên hai mặt phẳng song song, không trùng nhau → đúng. d) CM = M-C = (6;-4;-7); n_P = [CM, n_Q] = (85;75;30). Mặt phẳng qua C(-4;5;5): 85(x+4)+75(y-5)+30(z-5)=0 ⟺ 85x+75y+30z-185=0 (kiểm tra M: 170+75-60=185 ✓). Phương trình trong đề là -183, sai số hằng số → khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (Q) là (-3;7;-9), không phải (-3;7;-5).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A vào (Q): 15+35-54-5=-9≠0 nên A không thuộc (Q).
c) (AI giải đề cho tôi)
n_R=(6;-14;18)=-2n_Q và hai mặt phẳng không trùng nhau nên song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
n_P=[CM,n_Q]=(85;75;30), phương trình đúng là 85x+75y+30z-185=0, không phải -183.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SH\perp AB$, và $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $SH\perp (ABCD)$.

Diện tích tam giác $SAB$: $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SH=\frac{a^2\sqrt{6}}{6}\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot SH=\frac{a^2\sqrt{6}}{6}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a\sqrt{2};0;0)$, $D(0;2a;0)$, $H\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;0\right)$, $S\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$.

$\overrightarrow{SB}=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$, $\overrightarrow{SD}=\left(-\frac{a\sqrt{2}}{2};2a;-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$.

$\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SD}=\left(\frac{2a^2\sqrt{3}}{3};\frac{a^2\sqrt{6}}{3};a^2\sqrt{2}\right)$, nên $|\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SD}|=a^2\sqrt{\frac{12}{9}+\frac{6}{9}+2}=2a^2$.

$\overrightarrow{AS}=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$, khi đó
$$d(A,(SBD))=\frac{|\overrightarrow{AS}\cdot (\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SD})|}{|\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SD}|}=\frac{\frac{a^3\sqrt{6}}{3}+\frac{a^3\sqrt{6}}{3}}{2a^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy là $x$, chiều cao hình hộp $A{A}^{\prime }=h$. Vì hình hộp đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$, do đó $A{A}^{\prime }\perp AC$. Tam giác $A^{\prime }AC$ vuông cân tại $A$ nên $A{A}^{\prime }=AC=h$. Theo Pythagore: $A^{\prime }{C}^2=A{C}^2+A{A}^{\prime 2}=2h^2=a^2\Rightarrow h=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Đáy là hình vuông nên $AC=x\sqrt{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\frac{a}{2}$.

Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(x;0;0)$, $C(x;x;0)$, $D(0;x;0)$, $D^{\prime }(0;x;h)$ với $x=\frac{a}{2}$, $h=\frac{a}{\sqrt{2}}$.

Mặt phẳng $(BC{D}^{\prime })$ chứa $\overrightarrow{BC}=(0;x;0)$ và $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-x;x;h)$, vectơ pháp tuyến:
$$\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(xh;0;x^2).$$
Phương trình mặt phẳng: $h(X-x)+xZ=0$, tức $hX+xZ-hx=0$.

Khoảng cách từ $A(0;0;0)$:
$$d(A,(BC{D}^{\prime }))=\frac{hx}{\sqrt{h^2+x^2}}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}}}=\frac{\frac{a^2}{2\sqrt{2}}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $C\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $S(0;0;a)$ (vì $SA\perp (ABCD)$, $SA=a$). Gọi $O$ là tâm hình thoi, $O$ là trung điểm $AC$: $O\left(\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};0\right)$.

Mặt phẳng $(SCD)$: vì $CD\parallel AB$ nên $\overrightarrow{CD}=(-a;0;0)$, $\overrightarrow{CS}=\left(-\frac{3a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2};a\right)$. VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{CS}=\left(0;a^2;\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)\parallel (0;2;\sqrt{3})$. Phương trình: $2y+\sqrt{3}z=a\sqrt{3}$ (thay điểm $D$).

1) Khoảng cách từ $B(a;0;0)$: $d(B,(SCD))=\frac{|0-a\sqrt{3}|}{\sqrt{4+3}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$.

2) Khoảng cách từ $O\left(\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};0\right)$: $d=\frac{\left|2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}-a\sqrt{3}\right|}{\sqrt{7}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{21}}{14}$.

3) Trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$: $G=\left(\frac{\frac{3a}{4}+a+0}{3};\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{3};0\right)=\left(\frac{7a}{12};\frac{a\sqrt{3}}{12};0\right)$. Khoảng cách: $d(G,(SCD))=\frac{\left|2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{12}-a\sqrt{3}\right|}{\sqrt{7}}=\frac{\frac{5a\sqrt{3}}{6}}{\sqrt{7}}=\frac{5a\sqrt{21}}{42}$.

Kiểm tra: vì $B\in (ABCD)$, $O\in (ABCD)$, $G\in (ABCD)$ và $(SCD)$ cắt $(ABCD)$ theo giao tuyến $CD$, tỉ số khoảng cách bằng tỉ số khoảng cách tới đường thẳng $CD$ trong mặt đáy: $d(B,CD)=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $d(O,CD)=\frac{a\sqrt{3}}{4}$, $d(G,CD)=\frac{5a\sqrt{3}}{12}$; nhân với $\sin \phi$ với $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ (góc giữa hai mặt phẳng) cho đúng các kết quả trên.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-(-1);1-0;0-1)=(3;1;-1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Mặt phẳng đi qua $A(-1;0;1)$: $3(x+1)+1(y-0)-1(z-1)=0\iff 3x+y-z+4=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng (Q): x+3y+z-1=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;3;1). b) Sai: từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là u=(2;1;-5), không phải (1;3;4). c) Sai: trung điểm AB là I(1;-2;1), bán kính R=AB/2=2/2=1 nên phương trình mặt cầu là (x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=1, không phải =4. d) Sai: trục tung có vectơ chỉ phương k=(0;0;1), u=(2;1;-5) nên cosα=|-5|/√30=5/√30=√30/6 ≈ 0,9129, khác √30/30.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (Q): x+3y+z-1=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;3;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là u=(2;1;-5), không phải (1;3;4).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AB là I(1;-2;1), R=AB/2=1 nên phương trình mặt cầu là (x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=1, không phải =4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trục tung có vectơ chỉ phương k=(0;0;1), cosα=|-5|/√30=√30/6, khác √30/30.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(15;0;0)$, $D(0;45;0)$, $A^{\prime }(0;0;10)$. Điểm ngắm $M$ là tâm hình vuông $ABCD$: $M(7,5;22,5;0)$. Mặt phẳng $(D{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ đi qua $D(0;45;0)$, $A^{\prime }(0;0;10)$, $C^{\prime }(15;45;10)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(0;-45;10)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(15;0;10)$, nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(-450;150;675)\parallel (-6;2;9)$. Phương trình mặt phẳng: $-6x+2y+9z=90$. Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng (cũng là khoảng cách ngắn nhất tới mục tiêu di động trên mặt phẳng): $d(M,(D{A}^{\prime }{C}^{\prime }))=\frac{|-6\cdot 7,5+2\cdot 22,5+9\cdot 0-90|}{\sqrt{36+4+81}}=\frac{90}{\sqrt{121}}=\frac{90}{11}\approx 8,18$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ không đồng thời bằng $0$, tức là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$.
- A: $xy+3=0$ chứa tích $xy$ (bậc hai), không phải mặt phẳng.
- B: $x^2+y^2-z^2+5=0$ là phương trình bậc hai (mặt bậc hai), không phải mặt phẳng.
- C: $-z-3=0$ tức $z=-3$, bậc nhất theo $z$, là mặt phẳng song song với mặt phẳng $Oxy$. Đúng.
- D: $\frac{1}{x}-\frac{3}{z}+6=0$ không phải bậc nhất theo $x,y,z$, không phải mặt phẳng.
Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):3x+3y-z-30=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=3,B=3,C=-1$. Vector pháp tuyến là $\vec{n}=(3;3;-1)$. Nhân với 2 ta được $\vec{n}=(6;6;-2)$, tương ứng với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua gốc $O(0;0;0)$ khi thay tọa độ $O$ vào phương trình thỏa mãn. Với $x+y+z=0$: $0+0+0=0$ thỏa mãn. Các phương án B, D có vế phải $2024$, $2025$ khác $0$; phương án C cho $-1\ne 0$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(Q)\parallel (P)$ nên $(Q)$ nhận cùng vector pháp tuyến $\vec{n}=(1;5;2)$ → a đúng. Phương trình $(Q)$ qua $M(-1;4;2)$: $1(x+1)+5(y-4)+2(z-2)=0$ → b đúng. Đường thẳng qua $M$ vuông góc $(Q)$ có vector chỉ phương $\vec{n}=(1;5;2)$, phương trình $x=-1+t,y=4+5t,z=2+2t$ → c đúng. Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ $M$ đến $(P)$: $d(M,(P))=\frac{|-1+20+4-1|}{\sqrt{1+25+4}}=\frac{22}{\sqrt{30}}$, nên $R^2=\frac{484}{30}=\frac{242}{15}\approx 16,13\ne 15$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$ song song với $(P)$ nên nhận cùng vector pháp tuyến $\vec{n}=(1;5;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $M(-1;4;2)$ với pháp tuyến $(1;5;2)$: $1(x+1)+5(y-4)+2(z-2)=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường vuông góc $(Q)$ có vector chỉ phương là pháp tuyến $(1;5;2)$, đi qua $M$: $x=-1+t,y=4+5t,z=2+2t$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=d(M,(P))=\frac{|-1+20+4-1|}{\sqrt{30}}=\frac{22}{\sqrt{30}}$, nên $R^2=\frac{242}{15}\ne 15$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $O\equiv D_1$, $C_1\in Ox$, $A_1\in Oy$, $D\in Oz$, đáy là hình vuông cạnh 1, chiều cao 2 nên tọa độ: $D_1(0;0;0)$, $C_1(1;0;0)$, $A_1(0;1;0)$, $D(0;0;2)$, suy ra $C(1;0;2)$, $B_1(1;1;0)$, $A(0;1;2)$.

a) Ta có $\overrightarrow{C{B}_1}=(0;1;-2)$, $\overrightarrow{CD}=(-1;0;0)$.
VTPT: $\vec{n}=[\overrightarrow{C{B}_1},\overrightarrow{CD}]=(0;2;1)$.
Mặt phẳng $(C{B}_{1}D)$ qua $C(1;0;2)$: $0(x-1)+2(y-0)+1(z-2)=0\iff 2y+z-2=0$.
Kiểm tra: $B_1(1;1;0)$: $2+0-2=0$ ✓; $D(0;0;2)$: $0+2-2=0$ ✓.

b) Khoảng cách từ $A(0;1;2)$ đến $(C{B}_{1}D)$:
$$d(A,(C{B}_{1}D))=\frac{|2\cdot 1+2-2|}{\sqrt{0^2+2^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $ax+by+cz+d=0$ với $a,b,c$ không đồng thời bằng $0$, tức là bậc nhất đối với $x,y,z$. Các phương án A, B, D chứa $y^2$, $x^2$, $z^2$ nên không phải phương trình của mặt phẳng. Chỉ có phương trình $2x+y+z+3=0$ là bậc nhất, do đó là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oyz)$ là mặt phẳng chứa trục $Oy$, trục $Oz$ và đi qua gốc $O$, tức là tập hợp các điểm có hoành độ $x=0$. Vậy phương trình của mặt phẳng $(Oyz)$ là $x=0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng có dạng $ax+by+cz+d=0$ nhận vecto pháp tuyến $(a;b;c)$. Xét phương án C: $3x+y-7z-3=0$ có hệ số của $x,y,z$ lần lượt là $3;1;-7$, trùng với $\vec{n}=(3;1;-7)$. Phương án A có pháp tuyến $(3;-1;-7)$ (sai dấu của $y$), phương án B có pháp tuyến $(3;0;1)$ (thiếu biến $y$), phương án D có pháp tuyến $(3;1;0)$ (thiếu biến $z$). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;6;5)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;8;9)$ nên $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(14;-14;14)\sim (1;-1;1)$. a) $(1;-1;-1)$ không vuông góc với $\overrightarrow{AB}$ ($1-6-5=-10\ne 0$) → Sai. b) Mặt phẳng qua $A$: $x-y+z-4=0$, kiểm tra $B$: $2-7+9-4=0$, $C$: $0-9+13-4=0$ → Đúng. c) $\overrightarrow{BC}=(-2;2;4)\sim (-1;1;2)$, mặt phẳng qua $A$: $-(x-1)+(y-1)+2(z-4)=0\iff x-y-2z+8=0$, khác $x-y-2z-8=0$ → Sai. d) $D(1;3;-3)$: $1-3-3-4=-9\ne 0$ nên $D$ không thuộc $(Q)$ → Sai. Khớp đáp án nguồn SDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=1-6-5=-10\ne 0$ nên $\vec{n}$ không vuông góc $\overrightarrow{AB}$, không là pháp tuyến của $(Q)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(1;-1;1)$, qua $A(1;1;4)$: $x-y+z-4=0$; $B$ và $C$ thỏa mãn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-2;2;4)$, mặt phẳng qua $A$: $x-y-2z+8=0$, không phải $x-y-2z-8=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $D(1;3;-3)$ vào $x-y+z-4=0$ được $-9\ne 0$, $D$ không thuộc mặt phẳng.