Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Lời giải (theo biểu điểm và đáp án, trang 13-14): $O(0;0;0),A(0;8;4),B(0;4;10),C(-8;8;4),E(-8;16;4),F(-11;16;10)$
$\overrightarrow{AB}=(0,-4,6),\overrightarrow{AC}=(-8,0,0)\Rightarrow {\vec{n}}_{E_1}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(0,3,2)\Rightarrow E_1:3y+2z-32=0.$
$\overrightarrow{CE}=(0,8,0),\overrightarrow{CF}=(-3,8,6)\Rightarrow {\vec{n}}_{E_2}=(2,0,1)\Rightarrow E_2:2x+z+12=0.$
- Trên $E_1$ đường nóc $g_{BD}$ đi qua $B$ và vectơ chỉ phương là $(1;0;0)$
→ đường nóc: $g_{BD}:\{\begin{array}{l}x=t,\\ y=4,\\ z=10\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$.
- Trên $E_2$ đường nóc $g_{BD}$ đi qua $F$ và vectơ chỉ phương là $(0;1;0)$
→ đường nóc: $g_{FD}:\{\begin{array}{l}x=-11,\\ y=s,\\ z=10\end{array}$ $(s\in \mathbb{R})$.
Giao điểm hai đường nóc tại $D$
Giải hai hệ trên: $x=-11,y=4,z=10\Rightarrow D(-11;4;10)$.
Ta tìm được hình chiếu của $K$ lên $E_1$ là $K_1=\left(11,-\frac{12}{13},\frac{226}{13}\right)$ có $y<4\Rightarrow$ ngoài tứ giác $\Rightarrow$ độ dài ngắn nhất xảy ra trên biên.
- Khoảng cách từ $K$ đến các cạnh đạt min tại đỉnh $B(0;4,10)$:
$KB=\sqrt{(11-0{)}^2+(12-4{)}^2+(26-10{)}^2}=\sqrt{441}=21m.$
- Ta tìm được hình chiếu của $K$ lên $E_2$ là $K_2=(-13,12,14)$ có $x=-13<-11\Rightarrow$ nằm ngoài tứ giác $\Rightarrow$ độ dài ngắn nhất xảy ra trên biên.
- Xét cạnh $DF:\{\begin{array}{l}x=-11\\ y=4+12t,0\le t\le 1.\\ z=10\end{array}$
Ta có: Khoảng cách từ $K$ đến $DF=\sqrt{22^2+(12-4-12t{)}^2+16^2}$ nhỏ nhất khi $t=\frac{2}{3}\Rightarrow R=(-11,12,10)$, suy ra $KR=\sqrt{22^2+0^2+16^2}=2\sqrt{185}\approx 27,2m.$
Tổng độ dài tối thiểu hai sợi dây $L_{\min }\approx 48,2m.$

Lời giải (theo biểu điểm và đáp án, trang 12): Gọi mặt phẳng đi qua $A(4;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),b,c>0$ có phương trình là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Mặt khác ta có $(ABC)$ đi qua điểm $M(1;1;1)\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{4}$.
Từ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{4}\Rightarrow 3bc=4(b+c)\Rightarrow 3bc\ge 8\sqrt{bc}\Rightarrow bc\ge \frac{64}{9}$.
Mặt khác $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\Vert \left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]\Vert =\frac{1}{2}\sqrt{(bc{)}^2+16\left(b^2+c^2\right)}$ và từ
$$3bc=4(b+c)\Rightarrow 16\left(b^2+c^2\right)=9(bc{)}^2-32bc.$$
Khi đó $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{10(bc{)}^2-32bc},bc\ge \frac{64}{9}$. Xét
$$f(x)=10x^2-32x,x\ge \frac{64}{9}\Rightarrow Minf(x)=f\left(\frac{64}{9}\right).$$
Vậy $Min{S}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{f\left(\frac{64}{9}\right)}\approx 8,338$. Làm tròn đến hàng phần trăm ta có
$$Min{S}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{f\left(\frac{64}{9}\right)}=8,34.$$

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $(P):3x-2z+2=0$:
- $C(2;4;-1)$: $3\cdot 2-2\cdot (-1)+2=6+2+2=10\ne 0$.
- $D(2;1;4)$: $3\cdot 2-2\cdot 4+2=6-8+2=0$ → thỏa mãn.
- $A(1;2;4)$: $3-8+2=-3\ne 0$.
- $B(4;2;1)$: $12-2+2=12\ne 0$.
Vậy $(P)$ đi qua điểm $D(2;1;4)$, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua ba điểm trên ba trục tọa độ: A(0;1;0) trên trục Oy, B(3;0;0) trên trục Ox, C(0;0;-2) trên trục Oz nên có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$. Kiểm tra: thay A: $0+1+0=1$; thay B: $1+0+0=1$; thay C: $0+0+1=1$. Đáp án khớp với mã đề 211, câu 4 là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}=(1;1;-2)\times (1;0;3)=(1\cdot 3-(-2)\cdot 0;(-2)\cdot 1-1\cdot 3;1\cdot 0-1\cdot 1)=(3;-5;-1)$. Mặt phẳng qua $M(0;-2;1)$: $3(x-0)-5(y+2)-(z-1)=0\iff 3x-5y-z-9=0$. Thử lại: thay $M(0;-2;1)$: $0+10-1-9=0$ đúng; $\vec{n}\cdot \vec{a}=3-5+1=-1\ne 0$... kiểm tra lại: $\vec{n}\cdot \vec{a}=3\cdot 1+(-5)\cdot 1+(-1)(-2)=3-5+2=0$ đúng; $\vec{n}\cdot \vec{b}=3+0-3=0$ đúng. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng có dạng $ax+by+cz+d=0$ nhận $\vec{n}=(a;b;c)$ làm vecto pháp tuyến. Với $\vec{n}=(3;1;-7)$, phương trình phải có các hệ số tương ứng $3x+y-7z+d=0$. Xét các phương án: A: $3x+z+7=0$ có $\vec{n}=(3;0;1)$ — sai. B: $3x+y-7=0$ có $\vec{n}=(3;1;0)$ — sai. C: $3x-y-7z+1=0$ có $\vec{n}=(3;-1;-7)$ — sai. D: $3x+y-7z-3=0$ có $\vec{n}=(3;1;-7)$ — đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua ba điểm trên ba trục tọa độ: A(0;1;0) trên trục Oy, B(3;0;0) trên trục Ox, C(0;0;-2) trên trục Oz nên có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$. Kiểm tra: thay A: $0+1+0=1$; thay B: $1+0+0=1$; thay C: $0+0+1=1$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 12: A).

a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Lời giải: Gọi mặt phẳng đi qua $A(4;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),b,c>0$ có phương trình là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Mặt khác ta có $(ABC)$ đi qua điểm $M(1;1;1)\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{4}$.
Từ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{4}\Rightarrow 3bc=4(b+c)\Rightarrow 3bc\ge 8\sqrt{bc}\Rightarrow bc\ge \frac{64}{9}$.
Mặt khác $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\Vert \left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]\Vert =\frac{1}{2}\sqrt{(bc{)}^2+16\left(b^2+c^2\right)}$ và từ
$$3bc=4(b+c)\Rightarrow 16\left(b^2+c^2\right)=9(bc{)}^2-32bc.$$
Khi đó $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{10(bc{)}^2-32bc},bc\ge \frac{64}{9}$. Xét
$$f(x)=10x^2-32x,x\ge \frac{64}{9}\Rightarrow Minf(x)=f\left(\frac{64}{9}\right).$$
Vậy $Min{S}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{f\left(\frac{64}{9}\right)}\approx 8,338$. Làm tròn đến hàng phần trăm ta có
$$Min{S}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{f\left(\frac{64}{9}\right)}=8,34.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -2\\ 1& 0& 3\end{array}\right|=(1\cdot 3-(-2)\cdot 0;(-2)\cdot 1-1\cdot 3;1\cdot 0-1\cdot 1)=(3;-5;-1)$. Mặt phẳng qua $M(0;-2;1)$: $3x-5y-z+d=0$. Thay $M$: $0+10-1+d=0\Rightarrow d=-9$. Vậy $(P):3x-5y-z-9=0$, trùng với đáp án D trong đề.

Lời giải: $O(0;0;0),A(0;8;4),B(0;4;10),C(-8;8;4),E(-8;16;4),F(-11;16;10)$
$\overrightarrow{AB}=(0,-4,6),\overrightarrow{AC}=(-8,0,0)\Rightarrow {\vec{n}}_{E_1}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(0,3,2)\Rightarrow E_1:3y+2z-32=0.$
$\overrightarrow{CE}=(0,8,0),\overrightarrow{CF}=(-3,8,6)\Rightarrow {\vec{n}}_{E_2}=(2,0,1)\Rightarrow E_2:2x+z+12=0.$
- Trên $E_1$ đường nóc $g_{BD}$ đi qua $B$ và vectơ chỉ phương là $(1;0;0)$
→ đường nóc: $g_{BD}:\{\begin{array}{l}x=t,\\ y=4,\\ z=10\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$.
- Trên $E_2$ đường nóc $g_{BD}$ đi qua $F$ và vectơ chỉ phương là $(0;1;0)$
→ đường nóc: $g_{FD}:\{\begin{array}{l}x=-11,\\ y=s,\\ z=10\end{array}$ $(s\in \mathbb{R})$.
Giao điểm hai đường nóc tại $D$
Giải hai hệ trên: $x=-11,y=4,z=10\Rightarrow D(-11;4;10)$.
Ta tìm được hình chiếu của $K$ lên $E_1$ là $K_1=\left(11,-\frac{12}{13},\frac{226}{13}\right)$ có $y<4\Rightarrow$ ngoài tứ giác $\Rightarrow$ độ dài ngắn nhất xảy ra trên biên.
- Khoảng cách từ $K$ đến các cạnh đạt min tại đỉnh $B(0;4,10)$:
$KB=\sqrt{(11-0{)}^2+(12-4{)}^2+(26-10{)}^2}=\sqrt{441}=21m.$
- Ta tìm được hình chiếu của $K$ lên $E_2$ là $K_2=(-13,12,14)$ có $x=-13<-11\Rightarrow$ nằm ngoài tứ giác $\Rightarrow$ độ dài ngắn nhất xảy ra trên biên.
- Xét cạnh $DF:\{\begin{array}{l}x=-11\\ y=4+12t,0\le t\le 1.\\ z=10\end{array}$
Ta có: Khoảng cách từ $K$ đến $DF=\sqrt{22^2+(12-4-12t{)}^2+16^2}$ nhỏ nhất khi $t=\frac{2}{3}\Rightarrow R=(-11,12,10)$, suy ra $KR=\sqrt{22^2+0^2+16^2}=2\sqrt{185}\approx 27,2m.$
Tổng độ dài tối thiểu hai sợi dây $L_{\min }\approx 48,2m.$

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $(P):3x-2z+2=0$:
- $C(2;4;-1)$: $3\cdot 2-2\cdot (-1)+2=6+2+2=10\ne 0$.
- $D(2;1;4)$: $3\cdot 2-2\cdot 4+2=6-8+2=0$ → thỏa mãn.
- $B(4;2;1)$: $12-2+2=12\ne 0$.
- $A(1;2;4)$: $3-8+2=-3\ne 0$.
Vậy $(P)$ đi qua điểm $D(2;1;4)$, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z=0$, nên vecto pháp tuyến có dạng $(0;0;c)$ với $c\ne 0$. Trong các đáp án, chỉ có $\vec{k}=(0;0;1)$ thỏa mãn. Các vecto $\vec{i},\vec{j}$ nằm trong mặt phẳng, còn $\vec{m}=(1;1;1)$ không vuông góc với $\vec{i},\vec{j}$. Đáp án B, khớp với cột mã đề 1001 trong bảng đáp án (trang 5).

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng (P): x−2y+2z−5=0 có véc tơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;-2;2)$ → Đúng. b) (Q): 2x−4y+4z+10=0 có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(2;-4;4)=2{\vec{n}}_1$, và ${\vec{n}}_1\parallel {\vec{n}}_2$ nhưng (Q) không trùng (P) (thay A(0;0;1) vào (P): −3≠0, vào (Q): 14≠0) nên (P)//(Q) → Đúng. c) Mặt phẳng (α) qua A(0;0;1) song song (P) có VTPT ${\vec{n}}_1=(1;-2;2)$: $1(x-0)-2(y-0)+2(z-1)=0\iff x-2y+2z-2=0$ → Đúng. d) (β) qua B(2;0;1), vuông góc với (P) và (Oxy) nên VTPT $\vec{n}={\vec{n}}_1\times \vec{k}=(1;-2;2)\times (0;0;1)=(-2;-1;0)$. Phương trình: $-2(x-2)-1(y-0)+0(z-1)=0\iff 2x+y-4=0$, khác $x+y+z-1=0$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001 câu 15: Đ, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình (P): x−2y+2z−5=0, véc tơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(1;-2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) có VTPT ${\vec{n}}_2=(2;-4;4)=2{\vec{n}}_1$ nên ${\vec{n}}_1\parallel {\vec{n}}_2$; hai mặt phẳng không trùng nhau (ví dụ điểm A(0;0;1) không thuộc cả hai), vậy (P)//(Q).
c) (AI giải đề cho tôi)
(α) qua A(0;0;1) song song (P) nhận ${\vec{n}}_1=(1;-2;2)$ làm pháp tuyến: $x-2y+2(z-1)=0\iff x-2y+2z-2=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
VTPT của (β) là $\vec{n}={\vec{n}}_1\times \vec{k}=(-2;-1;0)$. Qua B(2;0;1): $-2(x-2)-y=0\iff 2x+y-4=0\ne x+y+z-1=0$.

Mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$. Vì $(\alpha )$ vuông góc với mặt đất nên vectơ pháp tuyến $(a;\frac{1}{2};c)$ của $(\alpha )$ vuông góc với vectơ pháp tuyến $(0;0;1)$ của mặt đất, suy ra $c=0$. Quỹ đạo bóng bắt đầu từ vị trí Nam (gốc $O$) nên $(\alpha )$ đi qua $O$, do đó $d=0$. Theo hình vẽ, bóng rơi xuống tại điểm cách An $0,5\mathrm{m}$ theo phương $x$ và cách Nam $4,5\mathrm{m}$ theo phương $y$, tức điểm $(0,5;4,5;0)$ thuộc $(\alpha )$. Thay vào phương trình: $a\cdot 0,5+\frac{1}{2}\cdot 4,5=0\Rightarrow a=-4,5$. Vậy $a+c+d=-4,5+0+0=-4,5$. (Lưu ý đối chiếu: giá trị $-4,5$ khớp cột mã đề 1005, dòng 18 của bảng đáp án trang 5; đề in trên trang 3 ghi 'Mã đề 1001' nhưng cột 1001 dòng 18 là 7 — bảng đáp án nguồn có sự lệch cột, còn kết quả suy ra từ đề là $-4,5$.)

Hướng dẫn: Mặt phẳng $(OACB)$ đi qua $O(0;0;0)$ nên $d=0$. Đi qua $A(100;0;0)$ nên $100a+d=0\Rightarrow a=0$. Đi qua $B(10;10;8)$ nên $4\cdot 10+c\cdot 8+d=0\Rightarrow 40+8c=0\Rightarrow c=-5$. Vậy $a+c+d=0+(-5)+0=-5$. Kết quả $-5$ này trùng với giá trị ở cột mã đề 1001, dòng 21 của bảng đáp án (dòng tương ứng với câu tự luận này), trong khi dòng 20 cột 1001 là 79.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ABC)$ cắt các trục tọa độ tại $A(-2;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;-1)$, nên phương trình theo đoạn cắt có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $a=-2$, $b=3$, $c=-1$. Vậy $(ABC)$: $\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{-1}=1$. Kiểm tra: thay $A(-2;0;0)$ được $\frac{-2}{-2}=1$ ✓; thay $B(0;3;0)$ được $\frac{3}{3}=1$ ✓; thay $C(0;0;-1)$ được $\frac{-1}{-1}=1$ ✓. Phương án B sai dấu ở $y$ và $z$ (không đi qua $B$, $C$); C sai dấu ở $x$ (đi qua $(2;0;0)$ thay vì $A$); D có vế phải bằng 0 nên không đi qua $A$, $B$, $C$. Đáp án đúng là A. (Bảng đáp án in trong đề có thể lệch cột mã đề, nhưng về mặt toán học chỉ phương án A thỏa mãn.)