Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-2y+z+2=0$ có véc-to pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-2;1)$, chính là bộ hệ số của $x,y,z$ trong phương trình tổng quát. Trong các đáp án, chỉ có ${\vec{n}}_3=(1;-2;1)$ trùng với $\vec{n}$. Các véc-to $(2;-2;1)$, $(2;1;1)$, $(-1;2;1)$ không thỏa mãn. Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 102, câu 1: C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+2z-6=0$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$. b) Sai: mặt phẳng $(\beta )$ qua $A(1;2;5)$ song song $(\alpha )$ có dạng $x+2y+2z+C=0$; thay $A$: $1+4+10+C=0\Rightarrow C=-15$, nên $(\beta ):x+2y+2z-15=0$, không phải $x+2y+2z+15=0$. c) Đúng: $(\gamma )$ qua $O$ và $A$ nên pháp tuyến ${\vec{n}}_{\gamma }\perp \overrightarrow{OA}=(1;2;5)$; vuông góc $(\alpha )$ nên ${\vec{n}}_{\gamma }\perp (1;2;2)$. Lấy ${\vec{n}}_{\gamma }=\overrightarrow{OA}\times (1;2;2)=(-6;3;0)$, suy ra $(\gamma ):-6x+3y=0\iff 2x-y=0$ (thỏa mãn qua $O$ và $A$). d) Sai: thay $M(2;-1;1)$ vào $(\alpha )$: $2+2(-1)+2(1)-6=-4\ne 0$, nên $M\notin (\alpha )$. Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án ĐSĐS của mã đề 102.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $x,y,z$ trong phương trình $(\alpha )$ chính là véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $A(1;2;5)$ song song $(\alpha )$: $x+2y+2z+C=0$, thay $A$ được $C=-15$, nên $(\beta ):x+2y+2z-15=0\ne x+2y+2z+15=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{\gamma }=\overrightarrow{OA}\times (1;2;2)=(-6;3;0)$, phương trình $(\gamma ):-6x+3y=0\iff 2x-y=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2+2(-1)+2(1)-6=-4\ne 0$ nên $M$ không thuộc $(\alpha )$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;-3;1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z-5=0$ là $d=\frac{|1-2(-3)+2(1)-5|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{|1+6+2-5|}{3}=\frac{4}{3}$. Vậy $a=4,b=3$, $T=2a+b=8+3=11$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (11).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục như hình vẽ: bé gái ở gốc $O(0;0;0)$, mặt đất là mặt phẳng $Oxy$, trục $Oy$ hướng về phía bé trai, trục $Ox$ hướng sang phải.

Quả bóng rơi tại điểm $B$ cách bé gái $5m$ (khoảng cách ngang), trong đó lệch về bên phải $3m$ theo hình vẽ (hình chiếu vuông góc từ $B$ lên trục $Oy$ tại điểm $C$ có độ dài $3m$). Theo định lý Pythagoras, khoảng cách dọc theo hướng ném là $OC=\sqrt{5^2-3^2}=4m$. Vậy $B(3;4;0)$.

Mặt phẳng chứa quỹ đạo vuông góc với mặt đất nên không chứa $z$, có dạng $4x+by+c=0$. Quỹ đạo xuất phát từ vị trí bé gái nên mặt phẳng đi qua $O(0;0;0)$, suy ra $c=0$. Mặt phẳng còn đi qua $B(3;4;0)$:
$$4\cdot 3+b\cdot 4+0=0\Rightarrow 12+4b=0\Rightarrow b=-3.$$

Vậy $b+c=-3+0=-3$, khớp với đáp án $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $(P):x-2y+z-5=0$:
- $Q(2;-1;5)$: $2-2(-1)+5-5=4\ne 0$, loại.
- $P(0;0;-5)$: $0-0-5-5=-10\ne 0$, loại.
- $M(1;1;6)$: $1-2+6-5=0$, thỏa mãn, nên $M\in (P)$.
- $N(-5;0;0)$: $-5-0+0-5=-10\ne 0$, loại.
Vậy điểm thuộc $(P)$ là $M(1;1;6)$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-z+y+3=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2,B=1,C=-1$. Vậy một véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;1;-1)$, trùng với ${\vec{n}}_3$ ở phương án D. Khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt các trục tại M(2;0;0), N(0;-1;0), P(0;0;2) nên có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1$. Kiểm tra: thay $M(2;0;0)$: $\frac{2}{2}=1$; thay $N(0;-1;0)$: $\frac{-1}{-1}=1$; thay $P(0;0;2)$: $\frac{2}{2}=1$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Từ phương trình $5x-5y+8z+24=0$, véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(5;-5;8)$, nên khẳng định 'không phải là véc tơ pháp tuyến' là sai.
b) Sai. Thay $H(-4;-4;-3)$: $5(-4)-5(-4)+8(-3)+24=-20+20-24+24=0$, nên $H\in (Q)$; do đó khẳng định 'H không thuộc $(Q)$' là sai.
c) Đúng. $(P):-15x+15y-24z-71=0$ có $\overrightarrow{n_P}=(-15;15;-24)=-3(5;-5;8)=-3\overrightarrow{n_Q}$, nên hai véc tơ pháp tuyến cùng phương. Lấy điểm $O(0;0;0)$: $Q(O)=24\ne 0$, $P(O)=-71\ne 0$, hai mặt phẳng không trùng nhau, vậy $(Q)\parallel (P)$.
d) Đúng. $\overrightarrow{KB}=(2;6;0)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $KB$ và vuông góc $(Q)$ nên $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{KB}\times \overrightarrow{n_Q}=(2;6;0)\times (5;-5;8)=(48;-16;-40)\parallel (6;-2;-5)$. Qua $K(-2;-4;-3)$: $6(x+2)-2(y+4)-5(z+3)=0\iff 6x-2y-5z-11=0$. Khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $5x-5y+8z+24=0$ ta có $\vec{n}=(5;-5;8)$ chính là một véc tơ pháp tuyến của $(Q)$, nên khẳng định là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $H(-4;-4;-3)$ vào $(Q)$: $5(-4)-5(-4)+8(-3)+24=0$, nên $H\in (Q)$; khẳng định 'H không thuộc $(Q)$' là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_P}=(-15;15;-24)=-3(5;-5;8)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_Q}$, và hai mặt phẳng không trùng nhau (thử $O(0;0;0)$: $24\ne 0$, $-71\ne 0$), nên $(Q)\parallel (P)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{KB}=(2;6;0)$, $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{KB}\times \overrightarrow{n_Q}=(48;-16;-40)\parallel (6;-2;-5)$. Qua $K$: $6(x+2)-2(y+4)-5(z+3)=0\iff 6x-2y-5z-11=0$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ trục như hình vẽ: Nam ở gốc $O(0;0;0)$, An đứng trên trục $Oy$ tại $A(0;4,5;0)$, mặt đất là mặt phẳng $Oxy$. Vị trí bóng rơi cách An $0,5m$ (lệch sang phải của Nam, tức lệch theo phương $Ox$) và cách Nam $4,5m$, nên điểm rơi có hoành $x=0,5$ và $OP=4,5$, suy ra $y=\sqrt{4,5^2-0,5^2}=\sqrt{20}\approx 4,4721$. Vậy $P(0,5;\sqrt{20};0)$.
Mặt phẳng $(\alpha ):ax+y+cx+d=0$ vuông góc với mặt đất nên pháp tuyến $(a;1;c)$ vuông góc với trục $Oz$, suy ra $c=0$. Quỹ đạo xuất phát từ Nam tại gốc $O$ nên $(\alpha )$ qua $O$, suy ra $d=0$. Mặt phẳng qua $P$: $a\cdot 0,5+\sqrt{20}=0\Rightarrow a=-\frac{\sqrt{20}}{0,5}=-2\sqrt{20}\approx -8,944$.
Do đó $a+c+d=-2\sqrt{20}\approx -8,9$ (làm tròn đến hàng phần chục), khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;2;-1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y+z-7=0$ là $d=\frac{|2\cdot 1-2\cdot 2+(-1)-7|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{|2-4-1-7|}{3}=\frac{10}{3}$. Vậy $a=10,b=3$ (tối giản), suy ra $T=2a-b=20-3=17$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (17).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song với $(P):x+2y-z+1=0$ có dạng $x+2y-z+c=0$. Vì đi qua $A(1;-2;3)$ nên $1+2(-2)-3+c=0\Rightarrow 1-4-3+c=0\Rightarrow c=6$. Vậy phương trình là $x+2y-z+6=0$, trùng với đáp án D trong đề (bảng đáp án mã 1202, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;3)$ có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$. Nhân hai vế với 6: $6x+3y+2z-6=0$. Kiểm tra: thay $A$: $6-6=0$; thay $B$: $6-6=0$; thay $C$: $6-6=0$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1202, câu 10 là C.

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 1202, dòng 16: SDSS)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng mây đi qua $P(10;0;0)$, $Q(0;10;0)$, $R(0;0;1)$ có phương trình dạng chặn: $\frac{x}{10}+\frac{y}{10}+\frac{z}{1}=1$, tức $x+y+10z-10=0$.

Máy bay hạ cánh theo đoạn thẳng từ $A(5;10;2)$ xuống $O(0;0;0)$, nên vị trí bất kỳ trên đường hạ cánh là $M(t)=t(5;10;2)$ với $t\in [0;1]$.

Khi máy bay vừa xuyên qua lớp mây, $M$ thuộc mặt phẳng mây:
$$5t+10t+10\cdot 2t=10\Rightarrow 35t=10\Rightarrow t=\frac{2}{7}.$$
Suy ra $M=\left(\frac{10}{7};\frac{20}{7};\frac{4}{7}\right)$.

Khoảng cách từ máy bay (tại $M$) đến điểm hạ cánh $O$ trên đường băng:
$$OM=t\cdot OA=\frac{2}{7}\sqrt{5^2+10^2+2^2}=\frac{2\sqrt{129}}{7}\approx \frac{2\cdot 11,3578}{7}\approx 3,2451\approx 3,25\text{ km}.$$

Khớp với đáp án nguồn 3,25 (Mã đề 1202, câu 18).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;2;-1)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z+3=0$ là $d(M,(P))=\frac{|1\cdot 1+2\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|1+4+2+3|}{3}=\frac{10}{3}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ vuông góc với cả ${\vec{n}}_P=(1;1;-1)$ và ${\vec{n}}_Q=(2;1;1)$, nên $\vec{n}={\vec{n}}_P\times {\vec{n}}_Q=(1\cdot 1-(-1)\cdot 1;(-1)\cdot 2-1\cdot 1;1\cdot 1-1\cdot 2)=(2;-3;-1)$. Vậy $a:b:c=2:-3:-1$. Mặt phẳng đi qua $A(1;2;1)$: $2\cdot 1-3\cdot 2-1\cdot 1+d=0\Rightarrow d=5$, khớp với hệ số tự do 5 đã cho. Do đó $a+b+c=2+(-3)+(-1)=-2$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của $AB$: $I\left(\frac{1+3}{2};\frac{2+0}{2};\frac{3+1}{2}\right)=I(2;1;2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;-2;-2)$ là pháp tuyến của mặt phẳng trung trực. Phương trình: $2(x-2)-2(y-1)-2(z-2)=0\iff x-y-z+1=0$. Khớp với đáp án D (mã đề 1202, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):3x-z+5=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=3,B=0,C=-1$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;0;-1)$. Điều này khớp với đáp án C và bảng đáp án mã 1202 (Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-3;1+4;-5-1)=(-1;5;-6)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Mặt phẳng đi qua $A(3;-4;1)$: $-1(x-3)+5(y+4)-6(z-1)=0\iff -x+5y-6z+29=0$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã 1201, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;1;1)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0;-1)$.

a) Sai. Mặt phẳng $(ABC)$: $x-3y+3z-1=0$. Khoảng cách từ $M(0;0;1)$ đến $(ABC)$: $d=\frac{|0-0+3-1|}{\sqrt{1+9+9}}=\frac{2}{\sqrt{19}}\approx 0,459<\frac{1}{2}$. Vì $MK\ge d$ với mọi $K\in (ABC)$ và giá trị nhỏ nhất $d<\frac{1}{2}$, khẳng định $MK\ge \frac{1}{2}$ sai.

b) Sai. Trọng tâm $G=\left(\frac{1+1+4}{3};\frac{1+2+1}{3};\frac{1+2+0}{3}\right)=(2;\frac{4}{3};1)$. Khi đó $2a+3b+c=4+4+1=9<10$.

c) Sai. $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& 1\\ 3& 0& -1\end{array}\right|=(-1;3;-3)\ne (1;-3;3)$.

d) Đúng. VTPT $\vec{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-1;3;-3)$, qua $A(1;1;1)$: $-1(x-1)+3(y-1)-3(z-1)=0\iff x-3y+3z-1=0$. Khớp bảng đáp án mã đề 1201 câu 16: SSSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ M(0;0;1) đến (ABC): $d=\frac{2}{\sqrt{19}}\approx 0,459<\frac{1}{2}$ nên tồn tại K với $MK<\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G(2;\frac{4}{3};1)$ nên $2a+3b+c=9<10$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-1;3;-3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua A với VTPT $(-1;3;-3)$: $x-3y+3z-1=0$.