Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(2;-1;3)$, của $(Q)$ là ${\vec{n}}_Q=(1;1;1)$. Vì $(\alpha )$ vuông góc với $(P)$ và $(Q)$ nên $\vec{n}={\vec{n}}_P\times {\vec{n}}_Q=(-4;1;3)$. Phương trình $(\alpha ):-4x+y+3z+d=0$. Đi qua $A(1;2;-1)$: $-4+2-3+d=0\Rightarrow d=5$. Vậy $(\alpha ):-4x+y+3z+5=0$, tương đương $4x-y-3z-5=0$, tức $a=4,b=-1,c=-3$ (thỏa $a\cdot 1+b\cdot 2+c\cdot (-1)=5$). Khi đó $a-b+c=4+1-3=2$, khớp với đáp án nguồn (mã 1201, câu 18 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(1;2;4) đến (P): x+2y+2z+3=0 là d = |1+4+8+3|/√(1+4+4) = 16/3. Góc quan sát 120° là góc ở đỉnh của hình nón quan sát, nên bán kính hình tròn trên (P) là r = d·tan60° = (16/3)√3. Diện tích S = πr² = π·(256·3/9) = 256π/3 ≈ 268,08 ≈ 268. Khớp đáp án nguồn 268.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song với $(\alpha ):3x-y+2z+4=0$ có dạng $3x-y+2z+d=0$. Vì đi qua $M(3;-1;-2)$ nên $3\cdot 3-(-1)+2\cdot (-2)+d=0\Rightarrow 9+1-4+d=0\Rightarrow d=-6$. Vậy phương trình là $3x-y+2z-6=0$, trùng với đáp án C (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(2;-3;0)$ đến mặt phẳng $(P):3x-4y+1=0$ là $d(A,(P))=\frac{|3\cdot 2-4\cdot (-3)+1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|6+12+1|}{5}=\frac{19}{5}$. Khớp với đáp án D trong bảng mã đề 1201.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+1=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2,B=-1,C=0,D=1$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-1;0)$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã 1201: C).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua ba điểm trên ba trục tọa độ nên có dạng đoạn chắn $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{2}=1$. Quy đồng mẫu số chung 6 ta được $2x+6y+3z-6=0$. Kiểm tra: tại $A(3;0;0)$: $6-6=0$; tại $B(0;1;0)$: $6-6=0$; tại $C(0;0;2)$: $6-6=0$. Vậy đáp án là A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):2x-y-3=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2,B=-1,C=0,D=-3$. Do đó một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(A;B;C)=(2;-1;0)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ không đồng thời bằng 0 (các biến $x,y,z$ chỉ xuất hiện bậc nhất). Xét từng phương án: A) $2x-yz+5=0$ có tích $yz$ (bậc hai) nên không phải; B) $x-y^2+2z-7=0$ có $y^2$ (bậc hai) nên không phải; C) $x-z-5=0$ có dạng $1\cdot x+0\cdot y+(-1)\cdot z-5=0$, các biến đều bậc nhất, đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng (với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;0;-1)$); D) $x^2+y+2z-1=0$ có $x^2$ (bậc hai) nên không phải. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng qua ba điểm trên ba trục có phương trình đoạn chắn $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1$ → Đúng.
b) VTPT của $(ABC)$ là $\overrightarrow{n_1}=(2;3;3)$ (nhân đôi $\left(\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$), VTPT của $(P)$ là $\overrightarrow{n_2}=(3;-5;-3)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=6-15-9=-18\ne 0$ nên hai mặt phẳng không vuông góc → Sai.
c) Mặt phẳng chứa trục $Oy$ có dạng $ax+bz=0$ (không có số hạng $y$ và hằng số). Qua $M(1;-5;2)$: $a+2b=0$, chọn $a=2,b=-1$ được $2x-z=0$ → Đúng.
d) Mặt phẳng trung trực của $AB$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(-3;2;0)$, nên $\vec{n}=(-3;2;0)$ là một VTPT → Đúng. Khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đoạn chắn của $(ABC)$ với các giao điểm $(3;0;0),(0;2;0),(0;0;2)$ là $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=(2;3;3)\cdot (3;-5;-3)=6-15-9=-18\ne 0$ nên $(ABC)$ không vuông góc với $(P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục $Oy$ dạng $ax+bz=0$; qua $M(1;-5;2)$: $a+2b=0$, chọn $a=2,b=-1$ được $2x-z=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng trung trực của $AB$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(-3;2;0)$ nên $\vec{n}=(-3;2;0)$ là một pháp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;3-0;-1+3)=(1;3;2)$. Vì $(\beta )$ đi qua $A,B$ nên $\vec{n}\perp \overrightarrow{AB}$: $-2+3b+2c=0\Rightarrow 3b+2c=2$. Vì $(\beta )\perp (\alpha )$ nên $\vec{n}\perp \overrightarrow{n_{\alpha }}=(3;4;2)$: $-6+4b+2c=0\Rightarrow 4b+2c=6$. Trừ hai phương trình: $b=4$, suy ra $2c=2-12=-10\Rightarrow c=-5$. Vậy $T=b+c=4-5=-1$, khớp với đáp án nguồn.

VTPT $\overrightarrow{AB}=(1;-2;0)$. — 0,25đ
$\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng $x-2y+d=0$, $(d\in \mathbb{R})$. — 0,25đ
Lại có $d(M,(\alpha ))=2\sqrt{5}\iff \frac{|1.3-2.(-1)+d|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=2\sqrt{5}\iff |d+5|=10\iff \left[\begin{array}{c}d=5\\ d=-15\end{array}\right]$. — 0,25đ
Từ đó ta có hai mặt phẳng $(\alpha )$ thỏa mãn là $x-2y+5=0$ và $x-2y-15=0$. — 0,25đ

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;3;-1)$ đến $(P):x-2y+2z-7=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2-2\cdot 3+2\cdot (-1)-7|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{|2-6-2-7|}{3}=\frac{13}{3}$. Vậy chọn A, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $(P):x-2y+z-5=0$:
- $M(1;1;4)$: $1-2(1)+4-5=-2\ne 0$, không thuộc $(P)$.
- $Q(2;-1;5)$: $2-2(-1)+5-5=4\ne 0$, không thuộc $(P)$.
- $N(-5;0;0)$: $-5-0+0-5=-10\ne 0$, không thuộc $(P)$.
- $N(1;1;6)$: $1-2(1)+6-5=0$, thuộc $(P)$.
Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;-3;-1)$ đến $(P):x-2y+2z-7=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2-2(-3)+2(-1)-7|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{|2+6-2-7|}{3}=\frac{1}{3}$. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $ax+by+cz+d=0$ với $a,b,c$ không đồng thời bằng 0, tức là bậc nhất đối với từng biến $x,y,z$ và không có tích giữa các biến. Xét từng phương án: A có $x^2$ (bậc hai) nên loại; B có $y^2$ nên loại; C có tích $yz$ nên loại; D: $2x-z+5=0$ có dạng bậc nhất với $a=2,b=0,c=-1,d=5$ (với $a,c$ không đồng thời bằng 0), đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Mặt phẳng (ABC) cắt các trục tại A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) nên phương trình dạng đoạn chắn là $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$, không phải $=0$.
b) Đúng. VTCP của (ABC): ${\vec{n}}_1=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{3})\sim (3;3;2)$; pháp tuyến của (P): ${\vec{n}}_2=(3;-5;3)$. Tích vô hướng $3\cdot 3+3\cdot (-5)+2\cdot 3=9-15+6=0$ nên hai mặt phẳng vuông góc.
c) Đúng. Mặt phẳng chứa trục Oy có dạng $ax+bz=0$ (không có số hạng y và hằng số). Qua M(1;-2;5): $a+5b=0$, chọn $a=5,b=-1$ được $5x-z=0$; kiểm tra M: $5(1)-5=0$.
d) Đúng. Mặt phẳng trung trực của AB vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0)$, nên $\vec{n}=(-2;2;0)$ là một pháp tuyến của nó.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng phải là $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$ (dạng đoạn chắn), vì thay A(2;0;0) vào vế trái được 1 chứ không phải 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{(ABC)}\sim (3;3;2)$, ${\vec{n}}_{(P)}=(3;-5;3)$, tích vô hướng $=9-15+6=0$ nên vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục Oy dạng $ax+bz=0$; qua M(1;-2;5) cho $a+5b=0$, chọn $5x-z=0$, thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng trung trực của AB vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0)$ nên $\vec{n}=(-2;2;0)$ là một pháp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(\beta )$ đi qua $A,B$ nên $\vec{n}\perp \overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)$. Vì $(\beta )\perp (\alpha )$ nên $\vec{n}\perp \overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;4;-2)$.
- $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=-2-b+c=0\Rightarrow c=b+2$.
- $\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=-2+4b-2c=0\Rightarrow 2b-c=1$.
Thay $c=b+2$: $2b-b-2=1\Rightarrow b=3$, suy ra $c=5$.
Kiểm tra: $\vec{n}=(-2;3;5)$, $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=-2-3+5=0$ đúng; $\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=-2+12-10=0$ đúng.
Vậy $T=b+c=3+5=8$, khớp với đáp án nguồn.

VTPT $\overrightarrow{AB}=(1;2;0)$. — 0,25đ
$\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng $x+2y+d=0,(d\in \mathbb{R})$. — 0,25đ
Lại có $d(M,(\alpha ))=\sqrt{5}\iff \frac{|1.(-3)+2.1+d|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\iff |d-1|=5\iff \left[\begin{array}{c}d=6\\ d=-4\end{array}\right]$. — 0,25đ
Từ đó ta có hai mặt phẳng $(\alpha )$ thỏa mãn là $x+2y+6=0$ và $x+2y-4=0$. — 0,25đ

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $(P):3x-2y+z-5=0$. A: $Q(3;-2;1)$: $9+4+1-5=9\ne 0$. B: $N(1;1;6)$: $3-2+6-5=2\ne 0$. C: $P(0;0;-5)$: $0+0-5-5=-10\ne 0$. D: $M(1;1;4)$: $3-2+4-5=0$, thỏa mãn. Vậy điểm $M(1;1;4)$ thuộc $(P)$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (đề 1001, câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):3x-4y-5=0$ trong không gian $Oxyz$ có dạng $ax+by+cz+d=0$ với $a=3,b=-4,c=0,d=-5$. Do đó một vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(3;-4;0)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 6: A).