Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x+2y-z-2026=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1,B=2,C=-1$. Do đó vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;2;-1)$, tương ứng phương án C. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: AB=(3−2;2−1;1+1)=(1;1;2), AC=(3−2;1−1;4+1)=(1;0;5). b) Sai: tích có hướng AB×AC = (1·5−2·0; 2·1−1·5; 1·0−1·1) = (5;−3;−1), không cùng phương với (5;3;1). c) Đúng: mặt phẳng qua A với VTPT (5;−3;−1): 5x−3y−z+d=0, thay A(2;1;−1): 10−3+1+d=0 ⇒ d=−8, tức 5x−3y−z−8=0. d) Đúng: d(O,(ABC)) = |−8|/√(25+9+1) = 8/√35. Khớp đáp án ĐĐSD của mã đề 1212.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB=(3−2;2−1;1−(−1))=(1;1;2); AC=(3−2;1−1;4−(−1))=(1;0;5).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB×AC=(5;−3;−1), không cùng phương với n=(5;3;1) nên n không phải vectơ pháp tuyến của (ABC).
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua A(2;1;−1) với VTPT (5;−3;−1): 5x−3y−z−8=0 (thay A: 10−3+1−8=0).
d) (AI giải đề cho tôi)
d(O,(ABC))=|−8|/√(5²+(−3)²+(−1)²)=8/√35.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(1-(-1);2-1;3-1)=(2;1;2)$ là vecto pháp tuyến của $(P)$, nên $(P)$ có dạng $2x+y+2z+d=0$ (tức $a=2,c=2$). Vì $(P)$ đi qua $A(-1;1;1)$: $2(-1)+1+2(1)+d=0\Rightarrow -2+1+2+d=0\Rightarrow d=-1$. Khi đó $Q=a^3+c^3+d^3=8+8-1=15$, khớp với đáp án nguồn (15).

a. Tính đúng $A(-12;-a;10)$; $B(-12;a;10)$ (thang điểm: 0,25 điểm)

b. Tính $\overrightarrow{CA}=(-12;-a;9)$; $\overrightarrow{CB}=(-12;a;9)\Rightarrow \left[\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right]=(-18a;0;-24a)=-6a(3;0;4)=-6a\vec{u}$ (thang điểm: 0,25 điểm).
- $mp(ABC)$ đi qua điểm $C(0;0;1)$ và có VTPT $\vec{u}=(3;0;4)$ nên 3 điểm A, B và C thuộc một mặt phẳng cố định (thang điểm: 0,25 điểm).
- $mp(ABC)$ đi qua điểm $C(0;0;1)$ và có VTPT $\vec{u}=(3;0;4)$ có phương trình $3x+4z-4=0$ (thang điểm: 0,25 điểm).

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ có dạng $ax+by+cz+d=0$ với $a,b,c$ không đồng thời bằng $0$, tức là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$. Xét các phương án: A) $2x-y+z+2=0$ là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$ với hệ số $(2;-1;1)\ne (0;0;0)$, nên đây là phương trình mặt phẳng. B) $2x+3y^2+z=0$ chứa $y^2$ (bậc hai) nên không phải. C) $2x+\frac{3}{y}+z-6=0$ chứa $\frac{1}{y}$ nên không phải. D) $x-yz+6=0$ chứa tích $yz$ nên không phải. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-3-1;1-(-2);1-0)=(-4;3;1)$; $\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1;-1+2;1-0)=(2;1;1)$. Đúng. b) $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(3\cdot 1-1\cdot 1;1\cdot 2-(-4)\cdot 1;(-4)\cdot 1-3\cdot 2)=(2;6;-10)=2(1;3;-5)$, nên $\vec{n}=(1;3;-5)$ là một vectơ pháp tuyến. Đúng. c) Mặt phẳng qua $A(1;-2;0)$ với pháp tuyến $(1;3;-5)$: $1(x-1)+3(y+2)-5z=0\iff x+3y-5z+5=0$. Đúng. d) $d(O,(ABC))=\frac{|5|}{\sqrt{1+9+25}}=\frac{5}{\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{35}}{7}\approx 0,85\ne 5$. Sai. Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai (khớp đáp án ĐĐĐS của mã đề 1211).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-4;3;1)$, $\overrightarrow{AC}=(2;1;1)$ tính đúng từ tọa độ các điểm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(2;6;-10)=2(1;3;-5)$ nên $\vec{n}=(1;3;-5)$ là vectơ pháp tuyến của $(ABC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Qua $A(1;-2;0)$: $x+3y-5z+5=0$ (thay $A$: $1-6+5=0$ đúng; thay $B$: $-3+3-5+5=0$ đúng; thay $C$: $3-3-5+5=0$ đúng).
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,(ABC))=\frac{5}{\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{35}}{7}\approx 0,85\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(1-0;2-1;3-1)=(1;1;2)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Mặt phẳng qua $A(0;1;1)$: $1(x-0)+1(y-1)+2(z-1)=0\iff x+y+2z-3=0$. Vậy $b=1,c=2,d=-3$, nên $Q=b^3+c^3+d^3=1+8-27=-18$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-18).

a. Tính đúng $A(-10;-a;12)$; $B(-10;a;12)$ — 0,25

b. Tính $\overrightarrow{CA}=(-10;-a;11)$; $\overrightarrow{CB}=(-10;a;11)\Rightarrow \left[\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right]=(-22a;0;-20a)$ — 0,25
$$=-2a(11;0;10)=-2a\vec{u}.$$
- $mp(ABC)$ đi qua điểm $C(0;0;1)$ và có VTPT $\vec{u}=(11;0;10)$ nên 3 điểm A, B và C thuộc một mặt phẳng cố định. — 0,25
- $mp(ABC)$ đi qua điểm $C(0;0;1)$ và có VTPT $\vec{u}=(11;0;10)$ có phương trình
$$11x+10z-10=0$$ — 0,25

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-y+3z+2026=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1$, $B=-1$, $C=3$, $D=2026$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(A;B;C)=(1;-1;3)$. Đáp án khớp với phương án A và với đáp án nguồn (Câu 2, Mã đề 1211: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ không đồng thời bằng 0, tức là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$. Xét các phương án: A có $2x^2$ (bậc hai theo $x$) nên không phải; B có tích $xy$ (bậc hai) nên không phải; C có $\frac{1}{x}$ nên không phải phương trình bậc nhất; D có $x-z+6=0$ là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$ (hệ số $A=1,B=0,C=-1,D=6$), đây là mặt phẳng song song với trục $Oy$. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1211, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng ý: a) Trung điểm M của AB là (3;1;2), vecto pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là AB=(4;2;2), phương trình: 4(x-3)+2(y-1)+2(z-2)=0 ⟺ 2x+y+z-9=0. Đúng. b) d(A,(P))=|2·1-0+1-4|/√6=1/√6; d(B,(P))=|2·5-2+3-4|/√6=7/√6. Vậy d(A,(P))<d(B,(P)), ý b) Sai. c) Mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc (P) có pháp tuyến n vuông góc với AB=(4;2;2) và n_P=(2;-1;1): n=AB×n_P=(4;0;-8), chọn n=(1;0;-2). Qua A(1;0;1): x-2z+1=0 (thỏa cả B: 5-6+1=0). Đúng. d) AB=(5-1;2-0;3-1)=(4;2;2). Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã 1122, Phần 2 Câu 2: ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm M(3;1;2), vecto pháp tuyến AB=(4;2;2), phương trình: 4(x-3)+2(y-1)+2(z-2)=0 ⟺ 2x+y+z-9=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(P))=|2-0+1-4|/√6=1/√6 và d(B,(P))=|10-2+3-4|/√6=7/√6, nên d(A,(P))<d(B,(P)).
c) (AI giải đề cho tôi)
n=AB×n_P=(4;2;2)×(2;-1;1)=(4;0;-8)∼(1;0;-2), qua A(1;0;1): x-2z+1=0, kiểm tra B(5;2;3): 5-6+1=0 thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB=(5-1;2-0;3-1)=(4;2;2).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: bạn nữ đứng tại gốc O(0;0;0), bạn nam đứng trên mặt đất tại B(0;4;0) (trên trục Oy). Quả bóng rơi tại M sao cho cách bạn nam 3 m (theo phương vuông góc, lệch sang phải theo trục Ox) và cách bạn nữ 5 m. Kiểm tra: OM = √(3²+4²) = 5 m ✓. Quỹ đạo nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt đất và đi qua O, M nên (P) chứa trục Oz và vectơ OM = (3;4;0). Vectơ pháp tuyến n = [k, OM] = (4;−3;0). Phương trình (P): 4x − 3y + 0z + 0 = 0, tức b = −3, c = 0, d = 0. Vậy T = b + c + d = −3, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1122, Phần 3 câu 2 = −3).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $A(1;-1;2)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(4;2;-6)$ có phương trình: $4(x-1)+2(y+1)-6(z-2)=0$. Khai triển: $4x-4+2y+2-6z+12=0\iff 4x+2y-6z+10=0$. Chia hai vế cho 2: $2x+y-3z+5=0$. Thử lại với $A$: $2(1)+(-1)-3(2)+5=2-1-6+5=0$ (thỏa mãn). Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1122, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng ý: a) ${\vec{n}}_Q=\overrightarrow{AB}\times {\vec{n}}_P=(4;2;2)\times (2;-1;1)=(4;0;-8)\sim (1;0;-2)$; qua $A(1;0;1)$: $x-2z+1=0$, đồng thời kiểm tra $B(5;2;3)$: $5-6+1=0$. Đúng. b) $d(A,(P))=\frac{|2-0+1-4|}{\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{6}}$; $d(B,(P))=\frac{|10-2+3-4|}{\sqrt{6}}=\frac{7}{\sqrt{6}}$, nên $d(A,(P))<d(B,(P))$. Sai. c) Trung điểm $M(3;1;2)$, pháp tuyến $\overrightarrow{AB}\sim (2;1;1)$: $2(x-3)+(y-1)+(z-2)=0\iff 2x+y+z-9=0$. Đúng. d) $\overrightarrow{AB}=(5-1;2-0;3-1)=(4;2;2)$. Đúng. Kết quả ĐSĐĐ khớp đáp án chính thức mã đề 1121, Phần 2, Câu 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_Q=\overrightarrow{AB}\times {\vec{n}}_P=(4;0;-8)\sim (1;0;-2)$; qua $A(1;0;1)$ được $(Q):x-2z+1=0$, kiểm tra $B$ cũng thỏa. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(P))=\frac{3}{\sqrt{6}}<d(B,(P))=\frac{7}{\sqrt{6}}$, nên khẳng định là Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M(3;1;2)$, pháp tuyến $\overrightarrow{AB}\sim (2;1;1)$: $2x+y+z-9=0$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(5-1;2-0;3-1)=(4;2;2)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: bạn nữ đứng tại gốc $O(0;0;0)$, bạn nam đứng trên trục $Oy$ tại $B(0;4;0)$, điểm rơi của bóng nằm trên mặt đất tại $M(3;4;0)$ (vì $OM=5m$ và $MB=3m$ vuông góc với $Oy$: $\sqrt{3^2+4^2}=5$). Quỹ đạo bóng nằm trong mặt phẳng $(P)$ đi qua $O$ và $M$, vuông góc với mặt đất nên $(P)$ chứa trục $Oz$. Hai vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{OM}=(3;4;0)$ và $\vec{k}=(0;0;1)$. Pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{OM}\times \vec{k}=(4;-3;0)$. Mặt phẳng qua $O$: $4x-3y+0z+0=0$, suy ra $b=-3,c=0,d=0$. Kiểm tra: $M(3;4;0)$: $4\cdot 3-3\cdot 4=0$ ✓; $O$ thỏa ✓; $(P)$ chứa trục $Oz$ nên vuông góc mặt đất ✓. Vậy $T=b+c+d=-3+0+0=-3$, trùng đáp án nguồn (đề 1121, Phần 3, câu 3: $-3$).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $A(1;-1;2)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(4;2;-6)$ có phương trình: $4(x-1)+2(y+1)-6(z-2)=0$, tức $4x+2y-6z+10=0$, chia hai vế cho 2 được $2x+y-3z+5=0$. Thử lại với $A$: $2(1)+(-1)-3(2)+5=2-1-6+5=0$ đúng. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1121, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào $2x-y+z+1=0$: A: $2(1)-(-1)+(-6)+1=-2\ne 0$; B: $2(1)-1+(-2)+1=0$ ✓; C: $2(3)-1+(-2)+1=4\ne 0$; D: $2(2)-1+0+1=4\ne 0$. Vậy điểm $P(1;1;-2)$ thuộc mặt phẳng $(P)$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề với $(P):2x-3y+z-1=0$.
a) Thay $A(3;2;-1)$: $2\cdot 3-3\cdot 2+(-1)-1=6-6-1-1=-2\ne 0$, nên $A\notin (P)$ → sai.
b) Mặt phẳng $(P)$ có hệ số $2;-3;1$ nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3;1)$ → đúng.
c) $\overrightarrow{AB}=(-2;-4;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;-1;0)$. Kiểm tra: $\vec{a}\cdot \overrightarrow{AB}=-2+4-2=0$ và $\vec{a}\cdot \overrightarrow{AC}=-1+1+0=0$, nên $\vec{a}=(1;-1;-2)$ vuông góc với hai vecto chỉ phương, do đó nhận $\vec{a}$ làm pháp tuyến, mặt phẳng qua $A$: $1(x-3)-1(y-2)-2(z+1)=0$ → đúng.
d) Mặt phẳng $(ABC)$ có pháp tuyến $\vec{a}=(1;-1;-2)$ không cùng phương với $\vec{n}=(2;-3;1)$ (tỉ số $1/2\ne -1/-3$), nên hai mặt phẳng không song song → sai.
Kết quả: a sai, b đúng, c đúng, d sai — khớp đáp án mã đề 1202 (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(3;2;-1)$ vào $(P)$: $2\cdot 3-3\cdot 2+(-1)-1=-2\ne 0$ nên $A\notin (P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(P):2x-3y+z-1=0$, vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-4;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;-1;0)$ đều vuông góc với $\vec{a}=(1;-1;-2)$ nên $\vec{a}$ là pháp tuyến của $(ABC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(1;-1;-2)$ của $(ABC)$ không cùng phương với $(2;-3;1)$ của $(P)$ nên hai mặt phẳng không song song.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay O(0;0;0) vào (P): 2·0−0−0+5=5≠0 nên (P) không đi qua O → Sai.
b) AB = (1−0; −2−1; 1−2) = (1;−3;−1) → Đúng.
c) Mặt phẳng qua B(1;−2;1) song song (P) có dạng 2x−y−2z+d=0; thay B: 2+2−2+d=0 ⇒ d=−2, tức 2x−y−2z−2=0 ≠ 2x−y−2z+2=0 → Sai.
d) M cách đều A, B nên M thuộc mặt phẳng trung trực của AB: qua trung điểm I(1/2;−1/2;3/2), VTPT AB=(1;−3;−1): x−3y−z = 1/2+3/2−3/2 = 1/2, tức 2x−6y−2z=1. Khoảng cách MC nhỏ nhất khi M là hình chiếu của C(3;2;1) lên mặt phẳng này. Đường thẳng qua C VTPT (1;−3;−1): (3+t; 2−3t; 1−t). Thay vào: 2(3+t)−6(2−3t)−2(1−t)=1 ⇒ −8+22t=1 ⇒ t=9/22. Vậy M=(75/22; 17/22; 13/22), a+b+2c = (75+17+26)/22 = 118/22 = 59/11 ≠ 13/11 → Sai. Khớp đáp án mã đề 1202: SĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay O(0;0;0): 2·0−0−0+5=5≠0 nên (P) không đi qua gốc tọa độ.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=(1−0;−2−1;1−2)=(1;−3;−1).
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua B song song (P): 2x−y−2z+d=0, thay B(1;−2;1) được d=−2, phương trình là 2x−y−2z−2=0, không phải 2x−y−2z+2=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
M thuộc mặt phẳng trung trực 2x−6y−2z=1 của AB; M là hình chiếu của C lên mặt phẳng này cho M=(75/22;17/22;13/22), suy ra a+b+2c=59/11≠13/11.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đáy (MNP) đi qua M(0;0;-50), N(0;200;-30), P(30;0;-50). Ta có MN = (0;200;20), MP = (30;0;0), vecto pháp tuyến n = MN × MP = (0;600;-6000) ∥ (0;1;-10). Phương trình mặt phẳng: y - 10(z + 50) = 0, tức y - 10z - 500 = 0 (thử N: 200 - 10(-30) - 500 = 0 đúng). Khoảng cách từ A(20;70;0) đến mặt phẳng: d = |70 - 10·0 - 500| / √(0² + 1² + (-10)²) = 430/√101 ≈ 42,77 ≈ 43 mét. Kết quả khớp với đáp án nguồn (43).