Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Mặt phẳng $(P)$ cắt tia Ox tại $A(a;0;0)$, cắt tia Oy tại $B(0;b;0)$, cắt tia Oz tại $C(0;0;c)$ có dạng là $(P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ (với $a>0$, $b>0$, $c>0$). Theo đề: $$\frac{OA}{1}=\frac{OB}{2}=\frac{OC}{4}\iff \frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{4}\iff \{\begin{array}{l}b=2a\\ c=4a\end{array}.$$ Vì $M(1;1;2)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ nên ta có: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}=1$$ $$\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{2a}+\frac{2}{4a}=1\iff a=2.$$ Khi đó $b=4$, $c=8$ nên phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{8}=1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):2x-y-4z+7=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2$, $B=-1$, $C=-4$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\vec{n}=(2;-1;-4)$, trùng với ${\vec{n}}_2$ ở phương án C. Đáp án này cũng khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(2;-4;2)$ nên mặt phẳng trung trực có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;1)$. Trung điểm $AB$ là $I(0;-1;4)$. Phương trình mặt phẳng: $1(x-0)-2(y+1)+1(z-4)=0\iff x-2y+z-6=0$. Khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1202, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng $(P):2x-3y+z-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3;1)$, nên a đúng. b) Thay $A(3;2;-1)$: $2(3)-3(2)+(-1)-1=6-6-1-1=-2\ne 0$, nên $A\notin (P)$, b sai. c) $\overrightarrow{AB}=(-2;-4;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;-1;0)$, $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1;-1;-2)$, cùng tỉ lệ với $\vec{a}=(1;-1;-2)$, nên mặt phẳng $(ABC)$ nhận $\vec{a}$ làm pháp tuyến, c đúng. d) $\vec{n}=(2;-3;1)$ và $\vec{a}=(1;-1;-2)$ không cùng phương (không tỉ lệ), nên hai mặt phẳng không song song, d sai. Khớp đáp án mã đề 1201: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(P):2x-3y+z-1=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(3;2;-1)$ vào $(P)$: $2\cdot 3-3\cdot 2+(-1)-1=-2\ne 0$ nên $A\notin (P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-4;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;-1;0)$, tích có hướng $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1;-1;-2)$ cùng phương với $\vec{a}=(1;-1;-2)$, nên $\vec{a}$ là pháp tuyến của $(ABC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=(2;-3;1)$ không cùng phương với $\vec{a}=(1;-1;-2)$ nên $(ABC)$ và $(P)$ không song song.

(AI giải đề cho tôi)
a) AB = B - A = (1-0; -2-1; 1-2) = (1; -3; -1): đúng.
b) Thay O(0;0;0) vào (P): 2·0 - 0 - 2·0 + 5 = 5 ≠ 0, nên (P) không đi qua gốc tọa độ: sai.
c) Mặt phẳng song song (P) qua B(1;-2;1) có dạng 2x - y - 2z + d = 0; thay B: 2 + 2 - 2 + d = 0 ⇒ d = -2, tức 2x - y - 2z - 2 = 0 ≠ 2x - y - 2z + 2 = 0: sai.
d) M cách đều A, B nên M nằm trên mặt phẳng trung trực của AB: qua trung điểm I(1/2; -1/2; 3/2), pháp tuyến AB = (1; -3; -1), phương trình: (x - 1/2) - 3(y + 1/2) - (z - 3/2) = 0 ⇔ 2x - 6y - 2z - 1 = 0. MC ngắn nhất khi M là hình chiếu của C(3;2;1) lên mặt phẳng này. Đường thẳng qua C vuông góc mặt phẳng: (3+t; 2-3t; 1-t). Thay vào: 2(3+t) - 6(2-3t) - 2(1-t) - 1 = 0 ⇒ 22t - 9 = 0 ⇒ t = 9/22. Vậy M(75/22; 17/22; 13/22), khi đó a + b + 2c = (75 + 17 + 26)/22 = 118/22 = 59/11 ≠ 13/11: sai.
Khớp đáp án mã đề 1201 câu 16: ĐSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB = (1-0; -2-1; 1-2) = (1; -3; -1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại O(0;0;0) vế trái (P) bằng 5 ≠ 0 nên (P) không đi qua gốc tọa độ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua B song song (P): 2x - y - 2z + d = 0 với d = -2, tức 2x - y - 2z - 2 = 0, không phải 2x - y - 2z + 2 = 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
M nằm trên mặt phẳng trung trực 2x - 6y - 2z - 1 = 0; hình chiếu của C lên mặt phẳng này cho M(75/22; 17/22; 13/22), suy ra a + b + 2c = 59/11 ≠ 13/11.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):2x-y-4z+7=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2,B=-1,C=-4$, nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-1;-4)$. Đây chính là đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1201: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt đáy là mặt phẳng $(MNP)$ với $M(0;0;-50)$, $N(0;200;-30)$, $P(30;0;-50)$. Ta có $\overrightarrow{MN}=(0;200;20)$, $\overrightarrow{MP}=(30;0;0)$, nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=(0;600;-6000)\parallel (0;1;-10)$. Phương trình mặt phẳng: $y-10(z+50)=0\iff y-10z-500=0$ (kiểm tra với $N$: $200-10(-30)-500=0$ đúng). Khoảng cách từ $A(20;70;0)$ đến mặt phẳng: $d=\frac{|70-10\cdot 0-500|}{\sqrt{1^2+(-10{)}^2}}=\frac{430}{\sqrt{101}}\approx 42,79\approx 43$ mét. Kết quả khớp với đáp án nguồn (43).

Mặt phẳng $(P)$ cắt tia Ox tại $A(a;0;0)$, cắt tia Oy tại $B(0;b;0)$, cắt tia Oz tại $C(0;0;c)$ có dạng là $(P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ (với $a>0$, $b>0$, $c>0$). Theo đề: $$\frac{OA}{1}=\frac{OB}{2}=\frac{OC}{4}\iff \frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{4}\iff \{\begin{array}{l}b=2a\\ c=4a\end{array}.$$ Vì $M(1;1;2)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ nên ta có: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}=1$$ $$\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{2a}+\frac{2}{4a}=1\iff a=2.$$ Khi đó $b=4$, $c=8$ nên phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{8}=1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(1-(-1);-3-1;5-3)=(2;-4;2)$, chọn vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;1)$. Trung điểm $I$ của $AB$: $I\left(\frac{-1+1}{2};\frac{1+(-3)}{2};\frac{3+5}{2}\right)=(0;-1;4)$. Mặt phẳng trung trực đi qua $I$ với pháp tuyến $\vec{n}$: $1(x-0)-2(y+1)+1(z-4)=0\iff x-2y+z-6=0$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$. Với $N(2;1;0)$: $2\cdot 2-1+0+1=4\ne 0$. Với $Q(3;1;-2)$: $2\cdot 3-1-2+1=4\ne 0$. Với $P(1;1;-2)$: $2\cdot 1-1-2+1=0$, thỏa mãn. Với $M(1;-1;-6)$: $2\cdot 1+1-6+1=-2\ne 0$. Vậy điểm $P(1;1;-2)$ thuộc mặt phẳng $(P)$, khớp với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1201: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $C(a,a,0)$, $S(0,0,3\sqrt{2})$ với $a$ là cạnh hình vuông ($a<3$).

Vectơ $\overrightarrow{SC}=(a,a,-3\sqrt{2})$, mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A$ vuông góc $SC$ có phương trình: $ax+ay-3\sqrt{2}z=0$.

Điểm $B^{\prime }$ trên $SB$: $(ta,0,3\sqrt{2}(1-t))$, thay vào: $a^{2}t-18(1-t)=0\Rightarrow t=\frac{18}{a^2+18}$, nên $B^{\prime }=\left(\frac{18a}{a^2+18},0,\frac{3\sqrt{2}{a}^2}{a^2+18}\right)$. Tương tự $D^{\prime }=\left(0,\frac{18a}{a^2+18},\frac{3\sqrt{2}{a}^2}{a^2+18}\right)$ và $C^{\prime }=\left(\frac{9a}{a^2+9},\frac{9a}{a^2+9},\frac{3\sqrt{2}{a}^2}{a^2+9}\right)$.

Tứ giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ đối xứng qua mặt phẳng $(SAC)$, hai đường chéo $A{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ vuông góc nhau (vì $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}\perp (1,1,0)$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ nằm trong mặt phẳng $x=y$).

$A{C}^{\prime }=\frac{\sqrt{2\cdot 81a^2+18a^4}}{a^2+9}=\frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{a^2+9}}$;

$B^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{18\sqrt{2}a}{a^2+18}$.

Diện tích: $S=\frac{1}{2}\cdot A{C}^{\prime }\cdot B^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{54a^2}{(a^2+18)\sqrt{a^2+9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Suy ra $162a^2=\sqrt{2}(a^2+18)\sqrt{a^2+9}$. Bình phương với $u=a^2$: $13122u^2=(u+18{)}^2(u+9)$. Thử nghiệm: $u=0,49$ cho vế trái $3150,6<$ vế phải $3244,4$; $u=0,50$ cho $3280,5>3251,4$; nghiệm $u\approx 0,4975$.

Vậy $a=\sqrt{0,4975}\approx 0,7053\approx 0,71$, khớp với đáp án $0,71$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;3\sqrt{2})$ với $a<3$ là cạnh hình vuông. Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\overrightarrow{SC}=(a;a;-3\sqrt{2})$, nên $(\alpha ):ax+ay-3\sqrt{2}z=0$.

Tọa độ giao điểm: với $B^{\prime }$ trên $SB$: $B^{\prime }=S+t_B(B-S)$, thay vào phương trình mặt phẳng: $a^2{t}_B-18(1-t_B)=0\Rightarrow t_B=\frac{18}{a+18}$. Tương tự $t_C=\frac{9}{a+9}$ cho $C^{\prime }$ trên $SC$, và $D^{\prime }$ đối xứng với $B^{\prime }$ qua đường chéo $A{C}^{\prime }$.

Ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\left(a{t}_B;0;3\sqrt{2}(1-t_B)\right)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\left(a{t}_C;a{t}_C;3\sqrt{2}(1-t_C)\right)$ với $1-t_B=\frac{a}{a+18}$, $1-t_C=\frac{a}{a+9}$, $t_C-t_B=-\frac{9a}{(a+9)(a+18)}$.

Tứ giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là tứ giác kite đối xứng qua $A{C}^{\prime }$ nên $S_{A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=2S_{△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}|$.

Tính tích có hướng: thành phần $i=-3\sqrt{2}a{t}_C(1-t_B)$, $j=3\sqrt{2}a(t_C-t_B)$, $k=a^2{t}_B{t}_C$. Vì $t_C(1-t_B)=\frac{9a}{(a+9)(a+18)}$ nên $t_C^2(1-t_B{)}^2=(t_C-t_B{)}^2=\frac{81a^2}{(a+9{)}^2(a+18{)}^2}$, và $t_B{t}_C=\frac{162}{(a+9)(a+18)}$.

Do đó $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}{|}^2=\frac{18a^2\cdot 2\cdot 81a^2+a^4\cdot 162^2}{(a+9{)}^2(a+18{)}^2}=\frac{29160a^4}{(a+9{)}^2(a+18{)}^2}$.

Cho diện tích bằng $\frac{\sqrt{2}}{3}$: $\frac{29160a^4}{(a+9{)}^2(a+18{)}^2}=\frac{2}{9}\Rightarrow (a+9)(a+18)=162\sqrt{5}{a}^2$.

Giải phương trình $(162\sqrt{5}-1)a^2-27a-162=0$ với $a>0$: $a=\frac{27+\sqrt{729+648(162\sqrt{5}-1)}}{2(162\sqrt{5}-1)}\approx 0,708$ (thỏa $a<3$).

Vậy cạnh hình vuông $\approx 0,71$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh bên $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$. Các vectơ $\overrightarrow{AC}$ nằm trong $(ABCD)$, còn $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ cắt mặt phẳng đáy nhưng không vuông góc với nó. Kết quả khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;2;-3)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y+2z-10=0$ là $d(M,(P))=\frac{|1+2\cdot 2+2\cdot (-3)-10|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{|1+4-6-10|}{3}=\frac{11}{3}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha )$ có pháp tuyến $\vec{n}=(2;3;-1)$ nên có dạng $2x+3y-z+d=0$. Thay điểm $A(2;-1;3)$: $2(2)+3(-1)-3+d=0\Rightarrow 4-3-3+d=0\Rightarrow d=2$. Vậy $(\alpha ):2x+3y-z+2=0$, khớp với đáp án B trong đề (mã đề 405, Câu 12 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x+2y-z-6=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;2;-1)$. a) $(Q)$ song song $(P)$ qua $N(3;2;-1)$ có dạng $2x+2y-z+c=0$; thay $N$: $6+4+1+c=0\Rightarrow c=-11$, nên $(Q):2x+2y-z-11=0$ → Đúng. b) $\vec{n}=(2;2;-1)$ là pháp tuyến của $(P)$ → Đúng. c) $d(A;(P))=\frac{|2\cdot 1+2\cdot (-2)-(-1)-6|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{|2-4+1-6|}{3}=\frac{7}{3}$. Vì $\overrightarrow{AB}=\frac{5}{4}\overrightarrow{AK}$ với $K\in (P)$, điểm $B$ nằm trên đường thẳng $AK$ với $\frac{AB}{AK}=\frac{5}{4}$, nên $d(B;(P))=\left|\frac{5}{4}-1\right|\cdot d(A;(P))=\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{3}=\frac{7}{12}\ne 5$ → Sai. d) Thay $M(1;-1;-6)$: $2(1)+2(-1)-(-6)-6=2-2+6-6=0$ nên $M\in (P)$; mệnh đề 'không thuộc' → Sai. Kết quả ĐĐSS khớp đáp án nguồn (mã đề 405, Phần II Câu 1).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$ song song $(P)$ qua $N(3;2;-1)$: dạng $2x+2y-z+c=0$, thay $N$ được $6+4+1+c=0\Rightarrow c=-11$, nên $2x+2y-z-11=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $2x+2y-z-6=0$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;2;-1)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A;(P))=\frac{|2-4+1-6|}{3}=\frac{7}{3}$; vì $\overrightarrow{AB}=\frac{5}{4}\overrightarrow{AK}$, $K\in (P)$ nên $d(B;(P))=\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{3}=\frac{7}{12}\ne 5$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;-1;-6)$: $2-2+6-6=0$ nên $M$ thuộc $(P)$; mệnh đề 'không thuộc' sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(1;4;2) đến mặt phẳng (P): 2x+y+2z-3=0 là d = |2·1+4+2·2-3|/√(4+1+4) = 7/3. Vùng quan sát trên (P) là hình tròn với góc ở đỉnh của nón quan sát bằng 116°, nửa góc bằng 58°. Bán kính hình tròn: R = d·tan58° = (7/3)·tan58° ≈ (7/3)·1,6003 ≈ 3,7341. Đường kính 2R ≈ 7,468 ≈ 7,5. Kết quả khớp đáp án đề 405, Phần III câu 3 là 7,5.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AC}=C-A=(2-0;1-(-2);5-1)=(2;3;4)$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AC$ nên có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;3;4)$, tức phương trình dạng $2x+3y+4z+d_0=0$. Vì $(P)$ đi qua $B(-3;2;2)$: $2(-3)+3(2)+4(2)+d_0=0\Rightarrow -6+6+8+d_0=0\Rightarrow d_0=-8$. Đưa về dạng hệ số của $z$ bằng 2 (chia hai vế cho 2): $x+\frac{3}{2}y+2z-4=0$. Vậy $a=1$, $b=\frac{3}{2}$, $d=-4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $(P):x+y+z-3=0$. Điểm $P(-3;0;0)$: $-3+0+0-3=-6\ne 0$. Điểm $Q(0;0;-3)$: $0+0-3-3=-6\ne 0$. Điểm $M(-1;-1;-1)$: $-1-1-1-3=-6\ne 0$. Điểm $N(1;1;1)$: $1+1+1-3=0$, thỏa mãn. Vậy $(P)$ đi qua điểm $N(1;1;1)$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 405, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A(2;-1;3)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3;-1)$ có phương trình: $2(x-2)+3(y+1)-(z-3)=0$. Khai triển: $2x-4+3y+3-z+3=0\iff 2x+3y-z+2=0$. Thử lại với $A$: $2(2)+3(-1)-3+2=4-3-3+2=0$, thỏa mãn. Kết quả trùng với đáp án nguồn là D.