Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;2;-3)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y+2z-10=0$ là $d(M,(P))=\frac{|1+2\cdot 2+2\cdot (-3)-10|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{|1+4-6-10|}{3}=\frac{11}{3}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 404, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P): 2x+2y−z−6=0. a) Véc-tơ pháp tuyến của (P) là n=(2;2;−1) → Đúng. b) (Q) song song (P) có dạng 2x+2y−z+c=0; qua N(3;2;−1): 6+4+1+c=0 ⇒ c=−11, nên (Q): 2x+2y−z−11=0 → Đúng. c) d(A;(P))=|2·1+2·(−2)−(−1)−6|/√9=|−7|/3=7/3. Vì B=A+(5/4)(K−A) với K∈(P), khoảng cách có dấu của B bằng (1−5/4)·d_sign(A)=−(1/4)d_sign(A), nên d(B;(P))=(1/4)·(7/3)=7/12≠5 → Sai. d) Thay M(1;−1;−6): 2·1+2·(−1)−(−6)−6=2−2+6−6=0 nên M∈(P); khẳng định 'M không thuộc (P)' → Sai. Kết quả Đ Đ S S khớp bảng đáp án mã đề 404, Phần II câu 4.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của x, y, z trong phương trình mặt phẳng cho véc-tơ pháp tuyến n=(2;2;−1).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q): 2x+2y−z+c=0, thay N(3;2;−1): 11+c=0 ⇒ c=−11.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A;(P))=7/3; do B=A+(5/4)(K−A), K∈(P) nên d(B;(P))=(1/4)·(7/3)=7/12≠5.
d) (AI giải đề cho tôi)
2·1+2·(−1)−(−6)−6=0 nên M thuộc (P); khẳng định 'không thuộc' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(1;4;2) đến (P): 2x+y+2z−3=0 là d = |2+4+4−3|/√9 = 7/3. Góc quan sát ngang 116° nên nửa góc 58°. Bán kính vùng tròn trên (P): R = d·tan58° = (7/3)·1,6003 ≈ 3,734. Đường kính 2R ≈ 7,47 ≈ 7,5, khớp đáp án nguồn 7,5.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $(P):x+y+z-3=0$. $Q(0;0;-3)$: $0+0-3-3=-6\ne 0$. $P(-3;0;0)$: $-3+0+0-3=-6\ne 0$. $M(-1;-1;-1)$: $-1-1-1-3=-6\ne 0$. $N(1;1;1)$: $1+1+1-3=0$, thỏa mãn. Vậy $(P)$ đi qua điểm $N(1;1;1)$, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AC}=(2-0;1+2;5-1)=(2;3;4)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Vì hệ số của $z$ trong phương trình $ax+by+2z+d=0$ bằng 2, nhân vectơ pháp tuyến với $k=\frac{1}{2}$ ta được $(a;b;2)=(1;\frac{3}{2};2)$. Mặt phẳng đi qua $B(-3;2;2)$: $1\cdot (-3)+\frac{3}{2}\cdot 2+2\cdot 2+d=0\Rightarrow -3+3+4+d=0\Rightarrow d=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-4).

(AI giải đề cho tôi)
Nóc nhà là giao tuyến của hai mái: $(P):x-y=0$ và $(Q):x+y-2z=0$. Từ $x=y$ và $x+y=2z$ suy ra $z=x$, nên giao tuyến là đường thẳng $(d):(t,t,t)$. Chiều cao từ sàn đến nóc là khoảng cách từ điểm $(t,t,t)$ trên nóc đến mặt sàn $(\alpha ):2x+y-3z+18=0$: $d=\frac{|2t+t-3t+18|}{\sqrt{2^2+1^2+(-3{)}^2}}=\frac{18}{\sqrt{14}}\approx 4,81$ m. Làm tròn đến hàng phần chục: $4,8$ m, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, do đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ là vectơ pháp tuyến của $(ABCD)$. Các vectơ $\overrightarrow{AC}$ nằm trong $(ABCD)$, còn $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ có thành phần theo phương $A{A}^{\prime }$ nhưng không vuông góc với $(ABCD)$ (chúng tạo với mặt phẳng đáy góc khác $90°$). Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(0;3;-1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):2x+y-2z-2=0$ là $d(M,\alpha )=\frac{|2\cdot 0+3-2\cdot (-1)-2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|0+3+2-2|}{3}=\frac{3}{3}=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) d(A,(P))=|2-2·1+3|/√(1²+(-2)²)=3/√5≈1,34 ≠ 3/2 → Sai. b) Vectơ pháp tuyến của (P) là n=(1;-2;0), đường thẳng qua A(2;1;2) vuông góc (P) có VTCP (1;-2;0): x=2+t, y=1-2t, z=2 → Đúng. c) BC=(-2-1;1-1;1-0)=(-3;0;1) → Đúng. d) n_Q = [BC, n_P] = |i j k; -3 0 1; 1 -2 0| = (0·0-1·(-2); 1·1-(-3)·0; (-3)(-2)-0·1) = (2;1;6) → Đúng. Khớp đáp án nguồn SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(P))=|2-2+3|/√5=3/√5≈1,34, không bằng 3/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(2;1;2) với VTCP trùng pháp tuyến (1;-2;0) của (P): x=2+t, y=1-2t, z=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC=(-2-1;1-1;1-0)=(-3;0;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
n_Q=[BC,n_P]=((-3;0;1),(1;-2;0))=(2;1;6), vuông góc cả BC và n_P.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):-2x+2y-z-2026=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(-2;2;-1)$. Mọi vectơ cùng phương với $\vec{n}$ đều là pháp tuyến: nhân với $-2$ ta được $(4;-4;2)$. Kiểm tra các phương án: B $(-2;2;1)$ có thành phần $z$ trái dấu, không cùng phương; C $(-4;4;2)$ không tỉ lệ; D $(-2;2;-3)$ không tỉ lệ. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 1220, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(0;3;-1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):2x+y-2z-2=0$ là $d(M,(\alpha ))=\frac{|2\cdot 0+3-2\cdot (-1)-2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|0+3+2-2|}{3}=\frac{3}{3}=1$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{BC}=(-3;0;1)$, $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;0)$. Vecto pháp tuyến của $(Q)$: $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{n_P}=(0\cdot 0-1\cdot (-2);1\cdot 1-(-3)\cdot 0;(-3)(-2)-0\cdot 1)=(2;1;6)$. Đúng.
b) $d$ qua $A(2;1;2)$ vuông góc $(P)$ nên có vecto chỉ phương $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;0)$: $x=2+t,y=1-2t,z=2$. Đúng.
c) $d(A,(P))=\frac{|2-2+3|}{\sqrt{1+4}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\approx 1,34\ne \frac{3}{2}$. Sai.
d) $\overrightarrow{BC}=(-2-1;1-1;1-0)=(-3;0;1)$. Đúng. Khớp đáp án nguồn DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{n_P}=(2;1;6)$, vuông góc cả $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{n_P}$ nên thỏa yêu cầu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương là $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;0)$, đi qua $A(2;1;2)$ nên phương trình tham số như đề.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(P))=\frac{|2-2+3|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\approx 1,34\ne \frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-2-1;1-1;1-0)=(-3;0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):-2x+2y-z-2026=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(-2;2;-1)$. Mọi vectơ cùng phương với $\vec{n}$ (khác $\vec{0}$) đều là pháp tuyến của $(P)$. Xét đáp án C: $(4;-4;2)=-2\cdot (-2;2;-1)=-2\vec{n}$, nên $(4;-4;2)$ là pháp tuyến của $(P)$. Các đáp án khác: A $(-2;2;1)$ có thành phần $z$ trái dấu so với $\vec{n}$, không cùng phương; B $(-4;4;2)$ không tỉ lệ với $\vec{n}$ (tỉ lệ $x,y$ là 2 nhưng $z$ cho $-2\ne 2$); D $(-2;2;-3)$ không tỉ lệ với $\vec{n}$. Vậy đáp án đúng là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x+3y-4z-1=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2,B=3,C=-4$, nên một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(2;3;-4)$. Đây chính là đáp án C, khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
a) VTPT của mặt phẳng cần tìm là $\overrightarrow{OA}=(1;2;3)$. Mặt phẳng qua $B(2;0;-1)$: $1(x-2)+2(y-0)+3(z+1)=0\iff x+2y+3z+1=0$. Mệnh đề ĐÚNG.
b) Mặt phẳng song song với $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(3;-2;1)$, qua $B(2;0;-1)$: $3(x-2)-2y+(z+1)=0\iff 3x-2y+z-5=0$. Mệnh đề ĐÚNG.
c) $\overrightarrow{n_P}=(3;-2;1)$, $\overrightarrow{n_Q}=(3;2;-1)$; $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=9-4-1=4\ne 0$ nên $(P)$ không vuông góc với $(Q)$. Mệnh đề SAI.
d) Thay $A(1;2;3)$ vào $(P)$: $3(1)-2(2)+3+4=6\ne 0$ nên $A\notin (P)$. Mệnh đề SAI.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: A-Đ; B-Đ; C-S; D-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $B(2;0;-1)$, VTPT $\overrightarrow{OA}=(1;2;3)$: $(x-2)+2y+3(z+1)=0\iff x+2y+3z+1=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
VTPT $(3;-2;1)$, qua $B$: $3(x-2)-2y+(z+1)=0\iff 3x-2y+z-5=0$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=3\cdot 3+(-2)\cdot 2+1\cdot (-1)=4\ne 0$ nên hai mặt phẳng không vuông góc. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(1;2;3)$: $3-4+3+4=6\ne 0$ nên $A\notin (P)$. Sai.

Đáp án: 5,37.
Lời giải chi tiết: Theo hình vẽ, $(DEMN)$ đi qua $D(0;0;4)$, $E(6;0;4)$, $M(6;2;5)$ nên $(DEMN)$ có cặp VTCP là $\overrightarrow{DE}(6;0;0)$ và $\overrightarrow{DM}(6;2;1)\Rightarrow (DEMN)$ có 1 VTPT: $\left[\overrightarrow{DE};\overrightarrow{DM}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& 6\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}6& 0\\ 6& 2\end{array}\right|\right)=(0;-6;12)$. Mà $D(0;0;4)\in (DEMN)$.
Phương trình của $(DEMN)$: $0(x-0)-6(y-0)+12(z-4)=0$
$$\iff -6y+12z-48=0\iff y-2z+8=0.$$
Khoảng cách từ $B(6;4;0)$ đến $(DEMN)$ là: $\frac{|4-2.0+8|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{12}{\sqrt{5}}\approx 5,37$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ có phương trình tổng quát dạng bậc nhất: $ax+by+cz+d=0$ với $a,b,c$ không đồng thời bằng $0$. Xét các phương án: A) $x^2+y^2+z^2=10$ là phương trình mặt cầu tâm $O$ bán kính $\sqrt{10}$, không phải mặt phẳng. B) $x^2+z=0$ chứa $x^2$ (bậc hai), không phải mặt phẳng. C) $x+2y-3z-7=0$ là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$, đây là mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;-3)$. D) $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+3}{2}$ là phương trình đường thẳng dạng chính phương, không phải mặt phẳng. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 222, Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $A(1;2;-3)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(2;1;3)$ có phương trình: $2(x-1)+1(y-2)+3(z+3)=0\iff 2x+y+3z+5=0$. Khớp với đáp án B (đáp án nguồn cũng là B).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oxy)$ là tập hợp các điểm có tung độ theo trục $Oz$ bằng 0, tức mọi điểm $M(x;y;0)$. Vậy phương trình của $(Oxy)$ là $z=0$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 111: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(1;5;-2) vào (α): 1-5+2(-2)-1=-9≠0, nên A không thuộc (α) → Sai. b) Mặt phẳng qua A song song (α) có dạng x-y+2z+d=0; thay A: 1-5-4+d=0 ⇒ d=8, phương trình là x-y+2z+8=0 ≠ x-y+2z-2=0 → Sai. c) n_α=(1;-1;2), n_P=(1;-1;-1), tích vô hướng 1+1-2=0 ⇒ (α)⊥(P) → Đúng. d) AB=(2;-4;4), VTPT (1;-2;2), mặt phẳng qua B(3;1;2): x-2y+2z+d=0, thay B: 3-2+4+d=0 ⇒ d=-5, phương trình x-2y+2z-5=0 ≠ x-2y+z-3=0 → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Sai, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;5;-2): 1-5+2(-2)-1=-9≠0 nên A không thuộc (α).
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua A song song (α): x-y+2z+d=0 với d=8, tức x-y+2z+8=0, không phải x-y+2z-2=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
n_α·n_P=(1)(1)+(-1)(-1)+(2)(-1)=0 nên (α)⊥(P).
d) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2;-4;4) ⇒ VTPT (1;-2;2); qua B: 3-2+4+d=0 ⇒ d=-5, phương trình đúng là x-2y+2z-5=0.