Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép chiếu song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn tính song song và tỉ số độ dài trên cùng một đường thẳng, nên hình chiếu của hình chữ nhật (tứ giác có hai cặp cạnh song song) là một tứ giác có hai cặp cạnh song song, tức là hình bình hành. Hình bình hành đặc biệt có thể là hình chữ nhật hoặc hình thoi (khi góc chiếu thích hợp), nhưng không thể là hình thap (chỉ có một cặp cạnh song song). Vậy hình chiếu song song của hình chữ nhật không thể là hình thap.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Phép chiếu song song là phép biến hình, bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự giữa các điểm (nếu B nằm giữa A và C thì ảnh B' nằm giữa A' và C').
b) Sai: Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (trường hợp hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng song song với phương chiếu).
c) Đúng: Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (tính chất cơ bản của phép chiếu song song).
d) Sai: Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng hoặc một điểm (khi đường thẳng song song với phương chiếu, mọi điểm của nó có chung một ảnh).
a) (AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn thẳng hàng và thứ tự ba điểm: nếu B nằm giữa A và C thì B' nằm giữa A' và C'.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, nên mệnh đề thiếu trường hợp trùng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đây là tính chất của phép chiếu song song: bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng hoặc một điểm (khi đường thẳng song song với phương chiếu).

(AI giải đề cho tôi)
Xét Hình 5: Hình a) tuy có 4 đỉnh nhưng các cạnh được vẽ sao cho các mặt bị chồng lấn, không phân biệt được mặt nhìn thấy và mặt bị che khuất, nên không phải là hình biểu diễn đúng của tứ diện. Hình b) có một đỉnh nằm bên trong tam giác đáy (không có cạnh bị che khuất được vẽ nét đứt), không thể là hình biểu diễn của tứ diện. Hình c) có 4 đỉnh, 6 cạnh, trong đó các cạnh bị che khuất được vẽ bằng nét đứt, các mặt phân biệt rõ — đây là hình biểu diễn đúng của tứ diện (phép chiếu song song cho phép vẽ các cạnh khuất bằng nét đứt). Vậy hình biểu diễn của tứ diện là hình c).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 17: Có, hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau có thể là hai đường thẳng song song.

Giải thích: Trong phép chiếu song song, tính song song được bảo toàn (hai đường thẳng song song cho hình chiếu song song), nhưng hai đường thẳng chéo nhau thì hình chiếu của chúng có thể là hai đường thẳng cắt nhau, song song hoặc trùng nhau tùy theo phương chiếu.

Ví dụ cụ thể: Xét hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $C^{\prime }{D}^{\prime }$ (chúng nằm trong hai mặt phẳng song song khác nhau nên chéo nhau). Nếu ta chiếu song song theo phương sao cho hình chiếu của $A$ trùng với hình chiếu của $D^{\prime }$ và hình chiếu của $B$ trùng với hình chiếu của $C^{\prime }$ (tức là phương chiếu song song với các đường thẳng $A{D}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$), thì hình chiếu của $AB$ và hình chiếu của $C^{\prime }{D}^{\prime }$ là hai đường thẳng song song (hoặc thẳng hàng) trên mặt phẳng chiếu.

Cách hiểu khác: Vì phép chiếu song song không bảo toàn vị trí tương đối 'chéo nhau' của hai đường thẳng (tính chéo nhau không phải là tính chất được bảo toàn), nên khi chọn phương chiếu thích hợp, hình biểu diễn (hình chiếu) của hai đường thẳng chéo nhau hoàn toàn có thể là hai đường thẳng song song. Điều này cũng chính là lý do khi vẽ hình biểu diễn trong không gian, hai đường thẳng song song trên hình vẽ chưa chắc đã song song trong thực tế — chúng có thể là hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(ABCD)$ theo phương $D{D}^{\prime }$ biến mỗi điểm $M$ thành giao điểm của đường thẳng qua $M$ song song với $D{D}^{\prime }$ (tức song song với các cạnh bên của hình hộp) với mặt phẳng $(ABCD)$.

- Đường thẳng qua $A^{\prime }$ song song với $D{D}^{\prime }$ là $A^{\prime }A$ (vì $A^{\prime }A\parallel D^{\prime }D$), cắt $(ABCD)$ tại $A$. Vậy ảnh của $A^{\prime }$ là $A$.
- Đường thẳng qua $C^{\prime }$ song song với $D{D}^{\prime }$ là $C^{\prime }C$, cắt $(ABCD)$ tại $C$. Vậy ảnh của $C^{\prime }$ là $C$.
- Điểm $B$ đã nằm trên mặt phẳng $(ABCD)$ nên ảnh của $B$ là chính nó.

Do đó ảnh của tam giác $A^{\prime }{C}^{\prime }B$ là tam giác $ABC$ trên mặt phẳng $(ABCD)$. Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng, ba điểm ảnh $A$, $C$, $B$ tạo thành tam giác ảnh của tam giác $A^{\prime }{C}^{\prime }B$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác $S.ABCD$ phải có đỉnh $S$ nối với cả bốn đỉnh $A,B,C,D$ của tứ giác đáy. Xét các hình: ở hình A và B, $S$ nằm giữa và nối với cả bốn đỉnh $A,B,C,D$ của đáy (các cạnh khuất vẽ nét đứt) nên đều là hình biểu diễn hợp lệ của hình chóp tứ giác. Ở hình D, $S$ ở trên và nối với cả bốn đỉnh $A,B,C,D$ (cạnh khuất $AD$ vẽ nét đứt) nên cũng là hình biểu diễn hợp lệ. Riêng ở hình C, điểm $C$ nằm bên trong tam giác $ABD$ và đỉnh $S$ chỉ nối với $A,B,D$ (không có cạnh $SC$ như một đỉnh của đáy), tức là hình vẽ thực chất biểu diễn hình chóp tam giác $S.ABD$ chứ không phải hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Vậy hình không phải là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác $S.ABCD$ là hình C, khớp với đáp án đã cho.

Qua phép chiếu song song theo phương $A^{\prime }A$ lên mặt phẳng $(ABCD)$, ảnh của $A^{\prime }$ là $A$ và ảnh của $C^{\prime }$ là $C$ (do $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$), nên ảnh của đoạn thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đoạn thẳng $AC$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 10 (Phần I) chọn đáp án B.

Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }A\parallel B^{\prime }B$ và $C^{\prime }C\parallel B^{\prime }B$. Do đó qua phép chiếu song song theo phương $B^{\prime }B$ lên mặt phẳng $(ABCD)$, ảnh của điểm $A^{\prime }$ là $A$ và ảnh của điểm $C^{\prime }$ là $C$. Vậy ảnh của đoạn thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đoạn thẳng $AC$.