Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép chiếu song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu song song theo phương $A{A}^{\prime }$: qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $A{A}^{\prime }$, tức là đường $B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ trong hình hộp), cắt mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại $B^{\prime }$. Tương tự, qua $C$ kẻ đường song song với $A{A}^{\prime }$, tức $C{C}^{\prime }$, cắt mặt phẳng tại $C^{\prime }$. Vậy hình chiếu của $B$ là $B^{\prime }$ và của $C$ là $C^{\prime }$, nên hình chiếu của cạnh $BC$ là đoạn $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Đáp án C, trùng với bảng đáp án nguồn (mã đề 6789, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh bên song song với nhau: $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$. Hình chiếu song song của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương $C{C}^{\prime }$ là giao điểm của đường thẳng qua $A$ song song với $C{C}^{\prime }$ với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Vì $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ nên đường thẳng đó chính là $A{A}^{\prime }$, giao điểm là $A^{\prime }$. Tương tự, hình chiếu của $B$ là $B^{\prime }$. Vậy hình chiếu của đoạn $AB$ là đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 4567, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp, $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$, nên hình chiếu song song của điểm $B$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương $A{A}^{\prime }$ là $B^{\prime }$, của điểm $C$ là $C^{\prime }$. Do đó hình chiếu của cạnh $BC$ là đoạn $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Đáp án B, trùng với bảng đáp án (mã đề 2345, câu 6 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh bên song song: $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$. Hình chiếu song song của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương $C{C}^{\prime }$ là giao điểm của đường thẳng qua $A$ song song với $C{C}^{\prime }$ (tức đường $A{A}^{\prime }$) với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, đó chính là $A^{\prime }$. Tương tự, hình chiếu của $B$ là $B^{\prime }$. Vậy hình chiếu của đoạn $AB$ là đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 0123: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$. Do đó khi chiếu song song theo phương $B^{\prime }B$ lên mặt phẳng $(ABC)$: điểm $A^{\prime }$ có hình chiếu là $A$, điểm $B^{\prime }$ có hình chiếu là $B$, điểm $C^{\prime }$ có hình chiếu là $C$. Vậy hình chiếu của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác $ABC$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M$ song song với $CB$ (phương chiếu là phương $CB$) nằm trong mặt phẳng $(ABC)$. Vì $M$ là trung điểm của $AC$, đường thẳng qua $M$ song song với $CB$ cắt $AB$ tại trung điểm của $AB$ (định lý đường trung bình). Điểm này thuộc $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$, nên ảnh của $M$ qua phép chiếu song song lên $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ theo phương $CB$ là trung điểm của $AB$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.DEF$, hai đáy $ABC$ và $DEF$ có các cạnh tương ứng song song nên $DF\parallel AC$. Đường thẳng qua $D$ song song với $AC$ chính là đường thẳng $DF$, và $F$ thuộc mặt phẳng $(BCFE)$. Vậy hình chiếu song song của $D$ lên $(BCFE)$ theo phương $AC$ là điểm $F$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $B^{\prime }$ song song với $D{A}^{\prime }$ cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại điểm cần tìm. Ta có $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DA}$. Đường thẳng qua $B^{\prime }$ song song $D{A}^{\prime }$: $B^{\prime }+t(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DA})$. Vì $B^{\prime }$ cách $(ABCD)$ một khoảng bằng chiều cao (theo phương $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$), với $t=-1$ ta được $B^{\prime }-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{DA}=B-\overrightarrow{DA}=B+\overrightarrow{AD}=B+\overrightarrow{BC}=C$. Vậy hình chiếu của $B^{\prime }$ là điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ (các cạnh bên của hình hộp song song và bằng nhau). Đường thẳng qua $B^{\prime }$ song song với phương chiếu $A{A}^{\prime }$ chính là đường thẳng $B{B}^{\prime }$, cắt mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ tại $B$. Vậy phép chiếu song song phương $A{A}^{\prime }$ lên mặt $(ABCD)$ biến $B^{\prime }$ thành $B$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $B$ song song với phương chiếu $C{C}^{\prime }$ chính là đường thẳng $B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ trong hình hộp). Đường thẳng này cắt mặt phẳng chiếu $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại điểm $B^{\prime }$. Vậy phép chiếu biến $B$ thành $B^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu theo phương $B^{\prime }B$: điểm $B^{\prime }$ chiếu lên $B$. Vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, đường chiếu qua $A^{\prime }$ song song $B{B}^{\prime }$ cắt mặt $(ABC)$ tại $A$, tương tự $C^{\prime }$ chiếu xuống $C$. Vậy hình chiếu của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ (các cạnh bên $AE,BF,CG,DH$ song song và bằng nhau), ta có $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$. Đường thẳng qua $B$ song song với $AH$: vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ nên đường qua $B$ song song $AH$ nằm trong mặt phẳng $(BCGF)$, song song với $CG$ (vì $CG\parallel AE\parallel DH$). Đường thẳng này qua $B$ song song với $CG$ cắt $(EFGH)$ tại điểm $G$ (vì $BG\parallel CG$ không đúng — chính xác là: đường qua $B$ song song $AH$ chính là đường thẳng $BG$ vì $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AH}$). Vậy hình chiếu của $B$ theo phương chiếu $AH$ lên mặt $(EFGH)$ là $G$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $B^{\prime }$ song song với phương chiếu $A^{\prime }D$ cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại hình chiếu. Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AD}$. Đường thẳng qua $B^{\prime }$ theo phương này: $B^{\prime }+t(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AD})$. Với $t=1$: $B^{\prime }+\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AD}=B+\overrightarrow{AD}=C$ (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ trong hình bình hành $ABCD$). Vậy hình chiếu của $B^{\prime }$ là điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn tính song song: hai cặp cạnh đối song song của hình chữ nhật cho hai cặp cạnh đối song song của hình chiếu, nên hình chiếu là hình bình hành (có thể là hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông hoặc hình thoi khi chiếu xiên). Hình thang không có hai cặp cạnh đối song song nên không thể là hình chiếu của hình chữ nhật. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đường thẳng $B{B}^{\prime }$ song song với $A{A}^{\prime }$ (các cạnh bên của hình hộp song song và bằng nhau). Phép chiếu song song phương $A{A}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ sẽ đưa mỗi điểm $X^{\prime }$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ thành giao điểm của đường thẳng qua $X^{\prime }$ song song $A{A}^{\prime }$ với $(ABCD)$. Đường thẳng qua $B^{\prime }$ song song với $A{A}^{\prime }$ chính là $B{B}^{\prime }$, cắt $(ABCD)$ tại $B$. Vậy $B^{\prime }$ biến thành $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình biểu diễn hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ có đỉnh $C$ nằm phía sau (bị che khuất) nên các đoạn đi tới $C$ như $BC,CD$ và đường chéo $AC$ phải vẽ nét đứt; còn $AD$ là cạnh nằm phía trước (nhìn thấy) nên phải vẽ nét liền — trong hình lại vẽ nét đứt, tức vẽ sai. Đoạn $SO$ nối đỉnh $S$ với tâm $O$ nằm bên trong hình chóp, bị các mặt bên che khuất nên phải vẽ nét đứt — trong hình lại vẽ nét liền, cũng vẽ sai. Vậy hai đoạn vẽ sai là $AD$ và $SO$.

Đáp án chính thức của đề: D (đáp án D được gạch chân ở trang lời giải, các trang 21–22; đề không in lời giải chi tiết cho câu này).

Nhận xét theo hình vẽ nguồn: Ở các hình A, B, C, đỉnh $S$ được vẽ ngoài mặt phẳng đáy (ở hình B và C, đỉnh $S$ nằm trong hình chiếu của tứ giác $ABCD$ nhưng vẫn được hiểu là đỉnh chóp phía trên mặt đáy, các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$ nối đủ tới bốn đỉnh đáy), nên đều có thể là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Riêng ở hình D, điểm $C$ được vẽ nằm bên trong khối với các đoạn nối nét đứt, tức bốn điểm $A,B,C,D$ không tạo thành tứ giác đáy với đỉnh $S$ bên trên như một hình chóp tứ giác; do đó hình D không phải là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác $S.ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp là hình lăng trụ đứng... không, chính xác: hình hộp có 12 cạnh chia thành 3 nhóm song song bằng nhau, các mặt đều là hình bình hành. Xét các hình: Hình B có các cạnh $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ song song, các mặt là hình bình hành nên là hình biểu diễn của hình hộp. Hình C (hình lục giác với các đường chéo) cũng biểu diễn được hình hộp nhìn theo phương đường chéo. Hình D có các cạnh $A^{\prime }A$, $D^{\prime }D$, $B^{\prime }B$, $C^{\prime }C$ song song và các mặt là hình bình hành nên là hình biểu diễn của hình hộp. Hình A: các cạnh $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ không song song với nhau ($A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ lệch hướng, $B{B}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$ lệch hướng), các mặt không thỏa mãn tính chất hình bình hành của hình hộp, nên hình A không phải là hình biểu diễn của hình hộp. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ đều song song và bằng nhau. Hình chiếu của điểm $C^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ theo phương $A^{\prime }A$ (tức phương song song với $A{A}^{\prime }$) là giao điểm của đường thẳng qua $C^{\prime }$ song song với $A{A}^{\prime }$ với mặt phẳng $(ABCD)$. Đường thẳng qua $C^{\prime }$ song song với $A{A}^{\prime }$ chính là đường thẳng $C{C}^{\prime }$ (vì $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$), và nó cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại điểm $C$. Vậy hình chiếu của $C^{\prime }$ theo phương $A^{\prime }A$ là điểm $C$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định về phép chiếu song song:

(I) Đúng. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự ba điểm đó (tính chất cơ bản của phép chiếu song song).

(II) Sai. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau thành hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau (hoặc có thể suy biến thành điểm khi đường thẳng song song với phương chiếu). Nói chung nó không biến hai đường thẳng bất kì thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau — ví dụ hai đường thẳng cắt nhau không song song với phương chiếu sẽ cho hai đường thẳng cắt nhau.

(III) Đúng. Phép chiếu song song biến đường thẳng không song song với phương chiếu thành đường thẳng (trường hợp suy biến thành một điểm khi đường thẳng song song với phương chiếu, nhưng trong chương trình phổ thông khẳng định này được coi là đúng).

(IV) Đúng. Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

Vậy có 3 khẳng định đúng là (I), (III), (IV). Khẳng định đúng khớp với đáp án nguồn: chọn B.