Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=3\sqrt{x^2+x+2}$, đặt $u=x^2+x+2$ thì $u^{\prime }=2x+1$. Theo quy tắc chuỗi: $y^{\prime }=3\cdot \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}=\frac{3(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x+2}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sqrt{4x^2+3x+1}$, đặt $u=4x^2+3x+1$ thì $u^{\prime }=8x+3$. Theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp: $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^2+3x+1}}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc hàm hợp: $y^{\prime }=4(2x+3{)}^3\cdot (2x+3{)}^{\prime }=4(2x+3{)}^3\cdot 2=8(2x+3{)}^3$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos 4x$ có dạng $y=\cos u$ với $u=4x$. Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp: $y^{\prime }=-\sin u\cdot u^{\prime }=-\sin 4x\cdot 4=-4\sin 4x$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=3\sin 2x+\cos 3x$. Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp: $(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$ và $(\cos v{)}^{\prime }=-v^{\prime }\sin v$.
- $3\sin 2x\to 3\cdot 2\cos 2x=6\cos 2x$.
- $\cos 3x\to -3\sin 3x$.
Vậy $y^{\prime }=6\cos 2x-3\sin 3x$, trùng với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\tan 7x$, ta có $(\tan u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}$ với $u=7x$, $u^{\prime }=7$. Vậy $y^{\prime }=\frac{7}{{\cos }^{2}7x}$ (với điều kiện $\cos 7x\ne 0$). Đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của hàm số mũ $y=a^x$ là $y^{\prime }=a^x\ln a$. Với $y=2022^x$ ta có $y^{\prime }=2022^x\ln 2022$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_4(2x+5)$ xác định khi $2x+5>0$. Ta có $y=\frac{\ln (2x+5)}{\ln 4}$, nên $y^{\prime }=\frac{1}{\ln 4}\cdot \frac{2}{2x+5}=\frac{2}{(2x+5)\ln 4}$. Vì $\ln 4=2\ln 2$, ta được $y^{\prime }=\frac{2}{(2x+5)\cdot 2\ln 2}=\frac{1}{(2x+5)\ln 2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-4\sqrt{2}x+8=(x-2\sqrt{2}{)}^2$. Cho $f^{\prime }(x)=0$ suy ra $(x-2\sqrt{2}{)}^2=0$, tức $x=2\sqrt{2}$ (nghiệm kép). Vậy tập hợp cần tìm là $\{2\sqrt{2}\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-6x^2+10x+3$. Theo định lý Vi-ét cho phương trình $-6x^2+10x+3=0$: $S=x_1+x_2=-\frac{10}{-6}=\frac{5}{3}$ và $P=x_1{x}_2=\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=-x^4+4x^3-3x^2+2x+1$, nên $f^{\prime }(x)=-4x^3+12x^2-6x+2$. Thay $x=1$: $f^{\prime }(1)=-4+12-6+2=4$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{x^2+x}{x-2}$, theo quy tắc đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-2}{(x-2{)}^2}$. Thay $x=1$: $y^{\prime }(1)=\frac{1-4-2}{(1-2{)}^2}=\frac{-5}{1}=-5$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=f(x)={\cos }^{2}x$. Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp: $f^{\prime }(x)=2\cos x\cdot (-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$. Thay $x=\frac{\pi }{4}$: $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{3x+m}{2x-1}$, nên $f^{\prime }(x)=\frac{3(2x-1)-2(3x+m)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-3-2m}{(2x-1{)}^2}$. Tại $x=1$: $f^{\prime }(1)=\frac{-3-2m}{1}=-11\Rightarrow -2m=-8\Rightarrow m=4$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-4x^2+2$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-8x$. Tại $x_0=2$: $y^{\prime }(2)=3\cdot 4-8\cdot 2=12-16=-4$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0=2$ là $k=-4$, tương ứng với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}$. Tại điểm có hoành độ $x_0=2$ (thuộc tập xác định), hệ số góc của tiếp tuyến là $k=y^{\prime }(2)=\frac{-3}{(2-1{)}^2}=-3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho hàm số $y=\frac{8}{x}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

a) $y^{\prime }={\left(8x^{-1}\right)}^{\prime }=-8x^{-2}=-\frac{8}{x^2}$. Đề nói $y^{\prime }=\frac{8}{x^2}$ (thiếu dấu âm) nên khẳng định SAI.

b) Tại $x_0=4$: $y^{\prime }(4)=-\frac{8}{16}=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$ nên khẳng định SAI.

c) Tại $x_0=2$: $y_0=\frac{8}{2}=4$, $y^{\prime }(2)=-\frac{8}{4}=-2$. Tiếp tuyến: $y=-2(x-2)+4=-2x+8$. Thay $x=2$: $y=4$, tức tiếp tuyến đi qua $A(2;4)$ (chính là tiếp điểm). Khẳng định ĐÚNG.

d) Tiếp tuyến song song với $d:y=-18x-24$ có hệ số góc $-18=-\frac{8}{x^2}\Rightarrow x^2=\frac{4}{9}\Rightarrow x=\pm \frac{2}{3}$.
- Với $x=\frac{2}{3}$: $y=12$, tiếp tuyến $y=-18x+24$; tại $x=1$ có $y=6$, tức đi qua $C(1;6)$. ĐÚNG.
- Với $x=-\frac{2}{3}$: $y=-12$, tiếp tuyến $y=-18x-24$, tại $x=1$ có $y=-42\ne 6$.
Vì tồn tại tiếp tuyến thỏa mãn đi qua $C(1;6)$ nên khẳng định ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-\frac{8}{x^2}$, thiếu dấu âm nên SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(4)=-\frac{8}{16}=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$ nên SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $x_0=2$ là $y=-2x+8$, tại $x=2$ có $y=4$ nên đi qua $A(2;4)$: ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến song song với $d$ có hệ số góc $-18$, suy ra $x=\frac{2}{3}$, tiếp tuyến $y=-18x+24$ đi qua $C(1;6)$: ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^2+2x$ nên $f^{\prime }(x)=2x+2$. Suy ra $f^{\prime }(1)=2\cdot 1+2=4$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=x^3-6x^2+9x+5$ ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9$ và $y^{\prime \prime }=6x-12$. a) Tại $x_0=0$: $y(0)=5$, $y^{\prime }(0)=9$ nên tiếp tuyến là $y=9x+5$ → đúng. b) $y^{\prime \prime }=6x-12\ne 12x-6$ → sai. c) $y^{\prime }=0\iff 3x^2-12x+9=0\iff x=1$ hoặc $x=3$; trong đoạn $[-1;2]$ chỉ có $x=1$, nên không có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn → sai. d) $y^{\prime }=3x^2-12x+9$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=5$, $y^{\prime }(0)=9$ nên tiếp tuyến tại $x_0=0$ là $y=9(x-0)+5=9x+5$, đúng như khẳng định.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x+9$ nên $y^{\prime \prime }=6x-12$, không phải $12x-6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0\iff 3(x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Trong đoạn $[-1;2]$ chỉ có nghiệm $x=1$, nên không có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $y=x^3-6x^2+9x+5$ là $y^{\prime }=3x^2-12x+9$, đúng.