Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $y=x^3+3x^2$ là $y^{\prime }=3x^2+6x$ theo công thức $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$. Đáp án B.

Lời giải (theo Hướng dẫn chấm, trang 9): $y^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$ (0,5 điểm)

Lời giải (Hướng dẫn chấm, trang 9): $y^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$ (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)-2(x-3)}{(2x+1{)}^2}=\frac{7}{(2x+1{)}^2}$ và $g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ (với $x>-\frac{1}{2}$). a) $f^{\prime }(-1)=\frac{7}{(-1{)}^2}=7$ → đúng. b) $g^{\prime }(\frac{3}{2})=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$ → đúng. c) $7(g^{\prime }(x){)}^4=7\cdot \frac{1}{(2x+1{)}^2}=f^{\prime }(x)$ → đúng. d) $M(0;-3)$, $f^{\prime }(0)=7$, tiếp tuyến có hệ số góc 7 nên song song với $y=7x+2026$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{7}{(2x+1{)}^2}$ nên $f^{\prime }(-1)=\frac{7}{(-1{)}^2}=7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$, tại $x=\frac{3}{2}$: $g^{\prime }(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}$, nên đồ thị $g^{\prime }(x)$ đi qua $A(\frac{3}{2};\frac{1}{2})$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$7(g^{\prime }(x){)}^4=7{\left(\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\right)}^4=\frac{7}{(2x+1{)}^2}=f^{\prime }(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(0;-3)$, hệ số góc tiếp tuyến $k=f^{\prime }(0)=\frac{7}{1}=7$, bằng hệ số góc của $y=7x+2026$ nên hai đường song song.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ chuyển hoá là $C^{\prime }(t)$. Ta có $C^{\prime }(t)=1,35e^{-2,802t}(1-2,802t)$. Tại $t=3$: $C^{\prime }(3)=1,35e^{-8,406}(1-8,406)=-9,9981\cdot e^{-8,406}$. Vì $e^{-8,406}\approx 0,000223516$ nên $C^{\prime }(3)\approx -0,0022347$. Làm tròn đến hàng phần triệu: $-0,002235$, suy ra $a=2,b=2,c=3,d=5$. Vậy $a+b+c+d=12$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=(3\sin x{)}^{\prime }-(5\cos x{)}^{\prime }=3\cos x+5\sin x$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm của thương: với $u=3x-2$, $v=x+1$, ta có $u^{\prime }=3$, $v^{\prime }=1$. Do đó $f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{3(x+1)-(3x-2)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{3x+3-3x+2}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2}$, với $x\ne -1$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g^{\prime }(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$ (với $x\ne -1$).
a) $g^{\prime }(1)=\frac{3}{4}$ → đúng.
b) $f(1)=2$, $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$, $f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$; tiếp tuyến: $y=2+\frac{1}{2}(x-1)=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ → đúng.
c) $f(x)f^{\prime }(x)=\sqrt{x^2+3}\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}=x$. BPT $x<1$ có tập nghiệm $(-\infty ;1)$, không phải $(1;+\infty )$ → sai.
d) $3f(x)f^{\prime }(x)-x(x+1{)}^2{g}^{\prime }(x)=3x-x(x+1{)}^2\cdot \frac{3}{(x+1{)}^2}=3x-3x=0$ với mọi $x\ne -1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}$ nên $g^{\prime }(1)=\frac{3}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $x=1$: $y=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=2+\frac{1}{2}(x-1)=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)f^{\prime }(x)=x<1\iff x<1$, tập nghiệm là $(-\infty ;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3x-x(x+1{)}^2\cdot \frac{3}{(x+1{)}^2}=3x-3x=0$ với mọi $x\ne -1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin 3x+2026$. Đạo hàm: $(\sin 3x{)}^{\prime }=3\cos 3x$ (quy tắc hàm hợp với $u=3x$, $u^{\prime }=3$) và $(2026{)}^{\prime }=0$. Vậy $y^{\prime }=3\cos 3x$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của hàm số mũ $y=12^x$ là $y^{\prime }=12^x\ln 12$ theo công thức $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ với $a=12>0$, $a\ne 1$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) Với $x\in (-\infty ;-2)\cup (0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)=\frac{2+2x}{2\sqrt{2x+x^2}}=\frac{x+1}{\sqrt{2x+x^2}}$ → đúng. b) $g^{\prime }(x)=x+1$, tại $x=1$ hệ số góc $g^{\prime }(1)=2$ → đúng. c) $f^{\prime }(x)\cdot f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{2x+x^2}}\cdot \sqrt{2x+x^2}=x+1=g^{\prime }(x)$ nên $f^{\prime }(x)f(x)-g^{\prime }(x)=0$ → đúng. d) $f^{\prime }(x)f(x)+g(x)=(x+1)+\frac{x^2}{2}+x-5=\frac{x^2}{2}+2x-4\le 2\iff x^2+4x-12\le 0\iff -6\le x\le 2$. Các nghiệm nguyên âm thỏa mãn (kể cả xét theo tập xác định của $f^{\prime }$, tức $x<-2$ hoặc $x>0$): nếu tính đại số $\frac{x^2}{2}+2x-4\le 2$ thì các số nguyên âm là $-6,-5,-4,-3,-2,-1$ (6 số); nếu xét chặt theo tập xác định $x<-2$ thì chỉ có $-6,-5,-4,-3$ (4 số). Cả hai cách đều không cho 7 nghiệm → ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2+2x}{2\sqrt{2x+x^2}}=\frac{x+1}{\sqrt{2x+x^2}}$ với $x\in (-\infty ;-2)\cup (0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=x+1$ nên $g^{\prime }(1)=2$, hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)f(x)=x+1=g^{\prime }(x)$ nên $f^{\prime }(x)f(x)-g^{\prime }(x)=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình tương đương $\frac{x^2}{2}+2x-4\le 2\iff -6\le x\le 2$; số nghiệm nguyên âm là 6 (hoặc 4 nếu xét tập xác định của $f^{\prime }$), không phải 7.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $h(t)=\frac{200}{t+1}+10e^{-0,5t}$, nên $h^{\prime }(t)=-\frac{200}{(t+1{)}^2}-5e^{-0,5t}$. Tại $t=2$: $h^{\prime }(2)=-\frac{200}{9}-\frac{5}{e}=-\left(\frac{200}{9}+\frac{5}{e}\right)$. Vậy $a=200$, $b=9$ (phân số tối giản), do đó $a-b=200-9=191$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x}{x-1}$ xác định với $x\ne 1$. Áp dụng công thức đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(2x{)}^{\prime }(x-1)-(2x)(x-1{)}^{\prime }}{(x-1{)}^2}=\frac{2(x-1)-2x\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) f'(x)=((x+2)-(x-3))/(x+2)^2=5/(x+2)^2, đúng. b) g'(x)=ln x + x·(1/x)=ln x+1, đúng. c) f'(-1)=5/(1)^2=5; g'(e)=ln e+1=2; f'(-1)-g'(e)=3≠2, sai. d) (x+2)^2 f'(x)=5, nên phương trình trở thành 5=ln x+1, tức ln x=4, có duy nhất nghiệm x=e^4 (thuộc miền xác định x>0). Vậy chỉ có một nghiệm, không phải hai nghiệm phân biệt, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=((x+2)-(x-3))/(x+2)^2=5/(x+2)^2.
b) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=ln x+x·(1/x)=ln x+1.
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(-1)=5, g'(e)=2, hiệu bằng 3≠2.
d) (AI giải đề cho tôi)
(x+2)^2 f'(x)=5 nên 5=ln x+1, tức ln x=4, chỉ có nghiệm duy nhất x=e^4.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(0)=a^2+b=2$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=4x(x^2+a)$, nên $f^{\prime }(1)=4(1+a)=8\Rightarrow a=1$. Suy ra $b=2-a^2=1$. Vậy $T=a+b=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{3x^2-2x+1}$ với $3x^2-2x+1>0$ với mọi $x$ (vì $\Delta =4-12<0$). Theo quy tắc chuỗi: $y^{\prime }=\frac{(3x^2-2x+1{)}^{\prime }}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}=\frac{6x-2}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}=\frac{3x-1}{\sqrt{3x^2-2x+1}}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) $g^{\prime }(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ → đúng. b) $f^{\prime }(x)=10x-1$ nên $f^{\prime }(1)=9\ne 10$ → sai. c) $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}<1⟺x<\sqrt{x^2+1}$ (vì mẫu dương), bình phương hai vế: $x^2<x^2+1$ luôn đúng với mọi $x$ → $S=\mathbb{R}$ → đúng. d) $f^{\prime }(x)=10x-1$ nên $f^{\prime }(x)+1=10x$; $f^{\prime \prime }(x)=10$, vế phải $=10\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \sqrt{x^2+1}=10x$ = vế trái → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=\frac{(x^2+1{)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=10x-1$ nên $f^{\prime }(1)=9\ne 10$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}<1⟺x<\sqrt{x^2+1}⟺x^2<x^2+1$, luôn đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=10x-1$ nên $f^{\prime }(x)+1=10x$; $f^{\prime \prime }(x)=10$ nên vế phải $=10\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \sqrt{x^2+1}=10x$. Hai vế bằng nhau nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $s(t)=7e^{-0,2t}+1$, nên $s^{\prime }(t)=-1,4e^{-0,2t}$. Tại $t=6$: $|s^{\prime }(6)|=1,4e^{-1,2}=\frac{7}{5}{e}^{-6/5}$. Vậy $a=7,b=5,n=-\frac{6}{5}$, do đó $a+b-10n=7+5-10\cdot \left(-\frac{6}{5}\right)=12+12=24$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(x-2{)}^{\prime }\sqrt{x^2+1}+(x-2){\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }=\sqrt{x^2+1}+(x-2)\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{(x^2+1)+x(x-2)}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x^2-2x+1}{\sqrt{x^2+1}}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{\cos 4x}{2}+3\sin 4x$. Áp dụng quy tắc $(\cos u{)}^{\prime }=-u^{\prime }\sin u$ và $(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$ với $u=4x$, $u^{\prime }=4$: $y^{\prime }=-\frac{4\sin 4x}{2}+3\cdot 4\cos 4x=-2\sin 4x+12\cos 4x=12\cos 4x-2\sin 4x$. Vậy đáp án A.