Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sin 2x$: $y^{\prime }=2\cos 2x$, $y^{\prime \prime }=-4\sin 2x=-4y$. a) $y^{\prime }(0)=2\cos 0=2$ đúng. b) $4y+y^{\prime \prime }=4\sin 2x-4\sin 2x=0$ đúng. c) $y^{\prime }=m\iff 2\cos 2x=m$ với $m\in [-2;2]$, các giá trị nguyên: $-2,-1,0,1,2$ — có 5 giá trị, không phải 4, nên sai. d) $y{y}^{\prime }+y^{\prime \prime }\cos 2x=\sin 2x\cdot 2\cos 2x-4\sin 2x\cos 2x=-2\sin 2x\cos 2x\ne 0$ nói chung, nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2\cos 2x$ nên $y^{\prime }(0)=2\cos 0=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime \prime }=-4\sin 2x=-4y$ nên $4y+y^{\prime \prime }=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=m\iff 2\cos 2x=m$, cần $m\in [-2;2]$. Các giá trị nguyên của $m$: $-2,-1,0,1,2$ — có 5 giá trị, không phải 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y{y}^{\prime }+y^{\prime \prime }\cos 2x=\sin 2x\cdot 2\cos 2x+(-4\sin 2x)\cos 2x=-2\sin 2x\cos 2x\ne 0$ nói chung.

(AI giải đề cho tôi)
Năm 2027 ứng với $x=2027-2001=26$. Ta có $f^{\prime }(x)=7,869\cdot 0,017e^{0,017x}=0,133773e^{0,017x}$. Thay $x=26$: $f^{\prime }(26)=0,133773\cdot e^{0,442}\approx 0,133773\cdot 1,5558\approx 0,2081\approx 0,21$ (chục triệu người/năm).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=2\sin x-3\cos x+3$, suy ra $y^{\prime }=2\cos x+3\sin x$. So sánh với $y^{\prime }=a\cos x+b\sin x+c$ ta được $a=2$, $b=3$, $c=0$. Do đó $S=2a+b-c=2\cdot 2+3-0=7$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=1-2^x$, $u^{\prime }=-2^x\ln 2$. Ta có $y^{\prime }={\left(\cot u\right)}^{\prime }\cdot u^{\prime }=\frac{-1}{{\sin }^{2}u}\cdot u^{\prime }=\frac{-1}{{\sin }^2(1-2^x)}\cdot (-2^x\ln 2)=\frac{2^x\cdot \ln 2}{{\sin }^2(1-2^x)}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin (2e^x-1)$ là hàm hợp $u=2e^x-1$. Ta có $u^{\prime }=2e^x$, nên theo quy tắc đạo hàm hàm hợp: $y^{\prime }=\cos (u)\cdot u^{\prime }=\cos (2e^x-1)\cdot 2e^x=2e^x\cdot \cos (2e^x-1)$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{2}{{\cos }^2(2x+1)}-{\left({\cos }^{2}x\right)}^{\prime }$. Tính $(x{\cos }^{2}x{)}^{\prime }={\cos }^{2}x+x\cdot 2\cos x\cdot (-\sin x)={\cos }^{2}x-x\sin 2x$. Vậy $y^{\prime }=\frac{2}{{\cos }^2(2x+1)}-{\cos }^{2}x+x\sin 2x$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sqrt{x^2-6x+4}$, đặt $u=x^2-6x+4$ thì $u^{\prime }=2x-6$. Theo quy tắc chuỗi: $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}=\frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+4}}=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+4}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln \left(1+e^{2x}\right)$ xác định với mọi $x$ vì $1+e^{2x}>0$. Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp: đặt $u=1+e^{2x}$, khi đó $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ với $u^{\prime }=2e^{2x}$. Vậy $y^{\prime }=\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+1}$. Kết quả trùng với phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng quy tắc tích: $y^{\prime }=(e^x{)}^{\prime }\sin 2x+e^x(\sin 2x{)}^{\prime }=e^x\sin 2x+e^x\cdot 2\cos 2x=e^x(\sin 2x+2\cos 2x)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sqrt{x}+\frac{3}{x}+e$ trên $(0;+\infty )$, ta có $y^{\prime }=(\sqrt{x}{)}^{\prime }+{\left(\frac{3}{x}\right)}^{\prime }+(e{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{x^2}+0=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{x^2}$. Vậy đáp án B (khớp với đáp án được tô trong đề).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x+\cos 2x+\tan \frac{\pi }{5}$, trong đó $\tan \frac{\pi }{5}$ là hằng số nên đạo hàm bằng 0. Ta có $y^{\prime }=(\sin x{)}^{\prime }+(\cos 2x{)}^{\prime }=\cos x-2\sin 2x$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án được tô trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=-3xf(x)$, nên theo quy tắc nhân: $g^{\prime }(x)=-3[f(x)+x{f}^{\prime }(x)]$. Thay $x=1$: $g^{\prime }(1)=-3[f(1)+f^{\prime }(1)]=-3[(-1)+(-1)]=-3(-2)=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 6.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ với $u=x+1$, $u^{\prime }=1$, $v=2x-1$, $v^{\prime }=2$.

$$y^{\prime }=\frac{1\cdot (2x-1)-(x+1)\cdot 2}{(2x-1{)}^2}=\frac{2x-1-2x-2}{(2x-1{)}^2}=\frac{-3}{(2x-1{)}^2}.$$

Vậy $y^{\prime }=\frac{-3}{(2x-1{)}^2}$, tương ứng với đáp án A (khớp với đáp án A được gạch chân trong đề).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A sai vì $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ (còn $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$). B sai vì $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ (còn $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$). C đúng vì đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$. D sai vì $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, không phải $n{x}^{n+1}$. Vậy khẳng định đúng là C.

Chọn C. Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(x^{2026}+x^2+1\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x^{2026}+x^2+1}}=\frac{1013x^{2025}+x}{\sqrt{x^{2026}+x^2+1}}$.

Đáp án: ĐSDS. a) Đúng. Ta có $C^{\prime }(x)=300-5x+0,375x^2$ là mệnh đề đúng. b) Sai. Ta có $C^{\prime }(200)=300-5\cdot 200+0,375\cdot 200^2=14300$. Suy ra $C^{\prime }(200)=13400$ là mệnh đề sai. c) Đúng. Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là $C(201)-C(200)=1004372,625-990000=14372,625$. Vậy chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là $14372,625$ là mệnh đề đúng. d) Sai. Ta có đồ thị hàm số $C^{\prime }(x)=300-5x+0,375x^2$ là Parabol có hướng bề lõm quay lên trên và đỉnh $I\left(\frac{20}{3},\frac{850}{3}\right)$. Vì ta chọn $x$ là số nguyên dương nên $C^{\prime }(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại 6 hoặc 7. Ta có $C^{\prime }(6)=\frac{567}{2}=283,5$; $C^{\prime }(7)=\frac{2267}{8}=283,375$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $C^{\prime }(x)$ là $\frac{2267}{8}$. Giá trị nhỏ nhất của $C^{\prime }(x)$ là $\frac{850}{3}$ là mệnh đề sai.
a) Đúng. Ta có $C^{\prime }(x)=300-5x+0,375x^2$ là mệnh đề đúng.
b) Sai. Ta có $C^{\prime }(200)=300-5\cdot 200+0,375\cdot 200^2=14300$. Suy ra $C^{\prime }(200)=13400$ là mệnh đề sai.
c) Đúng. Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là $C(201)-C(200)=1004372,625-990000=14372,625$. Vậy chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là $14372,625$ là mệnh đề đúng.
d) Sai. Ta có đồ thị hàm số $C^{\prime }(x)=300-5x+0,375x^2$ là Parabol có hướng bề lõm quay lên trên và đỉnh $I\left(\frac{20}{3},\frac{850}{3}\right)$. Vì ta chọn $x$ là số nguyên dương nên $C^{\prime }(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại 6 hoặc 7. Ta có $C^{\prime }(6)=\frac{567}{2}=283,5$; $C^{\prime }(7)=\frac{2267}{8}=283,375$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $C^{\prime }(x)$ là $\frac{2267}{8}$. Giá trị nhỏ nhất của $C^{\prime }(x)$ là $\frac{850}{3}$ là mệnh đề sai.

Chọn A. $y^{\prime }=\frac{-x^2+2x+3}{{\left(x^2+3\right)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff -x^2+2x+3=0\iff x=-1\vee x=3$.

Trả lời: 9. Ta có: $f(x)=\sqrt{2x-1}\Rightarrow f(1)=\sqrt{2.1-1}=1$; $f(x)=\sqrt{2x-1}\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\Rightarrow f^{\prime }(1)=1$. $g(2)=f(1)+4\left(2^2-2\right)f^{\prime }(1)=1+8=9$. Vậy $g(2)=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=6x^2$, nên $f^{\prime }(-1)=6\cdot (-1{)}^2=6$. Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 102 (Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log x={\log }_{10}x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{x\ln 10}$ với $x>0$. Kết quả trùng với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 6: C).