Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đoàn 3 người phải có đủ cả hai môn Toán và Vật lý, đồng thời có cả nam và nữ. Vật lý chỉ có nam nên xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: 2 giáo viên Toán + 1 giáo viên Vật lý. Để có nữ trong đoàn, trong 2 giáo viên Toán phải có ít nhất một nữ: chọn 1 nữ Toán và 1 nam Toán: $C_3^1{C}_5^1=15$ cách; chọn 1 giáo viên Vật lý nam: $C_4^1=4$ cách. Số cách: $15\times 4=60$.
- Trường hợp 2: 1 giáo viên Toán + 2 giáo viên Vật lý. Vì 2 giáo viên Vật lý đều nam nên giáo viên Toán phải là nữ: $C_3^1=3$ cách; chọn 2 giáo viên Vật lý: $C_4^2=6$ cách. Số cách: $3\times 6=18$.
Tổng số cách: $60+18=78$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai viên bi cùng màu: cùng xanh hoặc cùng đỏ. Cùng xanh: $C_5^2=10$ cách; cùng đỏ: $C_7^2=21$ cách. Tổng: $10+21=31$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chia 40 thẻ theo số dư khi chia cho 3: nhóm dư 0 có 13 thẻ (3,6,...,39), nhóm dư 1 có 14 thẻ (1,4,...,40), nhóm dư 2 có 13 thẻ (2,5,...,38). Tổng của 3 số chia hết cho 3 khi: cả ba cùng nhóm, hoặc ba thẻ thuộc ba nhóm khác nhau.
- Cùng nhóm: $C_{13}^3+C_{14}^3+C_{13}^3=286+364+286=936$.
- Ba nhóm khác nhau: $13\cdot 14\cdot 13=2366$.
Tổng: $936+2366=3302$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn ngẫu nhiên 5 thẻ từ 10 thẻ: không gian mẫu có $|\Omega |=C_{10}^5=252$ phần tử. Biến cố $A$: 'Trong 5 thẻ có đúng 3 thẻ màu đỏ' nghĩa là chọn 3 thẻ đỏ từ 4 thẻ đỏ và 2 thẻ xanh từ 6 thẻ xanh, nên $|A|=C_4^3\cdot C_6^2=4\cdot 15=60$. Vậy xác suất $P(A)=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}\approx 0,238$.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 học sinh thành hàng ngang là một hoán vị của 5 phần tử: $5!=120$ cách. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số hoán vị của $n$ phần tử là $P_n=n!$. Do đó đáp án đúng là D. Kiểm tra: với $n=3$, $P_3=6=3!$, khớp với định nghĩa hoán vị (xếp thứ tự $n$ phần tử).

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 7 học sinh (3 nam và 4 nữ, mỗi người là một cá thể khác nhau) thành hàng ngang là một hoán vị của 7 phần tử: $7!=5040$ cách. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một lập từ các số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ là một hoán vị của 5 phần tử: $P_5=5!=120$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$, tương ứng phương án A. Phương án B là công thức tổ hợp $C_n^k$; C và D ghi sai ký hiệu.

(AI giải đề cho tôi)
Số chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử là $A_7^4=\frac{7!}{(7-4)!}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=840$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 2 chữ số khác nhau lấy từ tập hợp 6 phần tử là chỉnh hợp chập 2 của 6: $A_6^2=\frac{6!}{4!}=6\cdot 5=30$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có $20+15=35$ học sinh. Chọn 3 học sinh phụ trách 3 nhiệm vụ khác nhau (lớp trưởng, lớp phó, bí thư) là một chỉnh hợp chập 3 của 35 phần tử, vì thứ tự nhiệm vụ có vai trò. Số cách là $A_{35}^3=35\cdot 34\cdot 33=39270$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp 8 phần tử là $C_8^3=\frac{8!}{3!5!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}=56$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$. Các phương án A, B dùng ký hiệu chỉnh hợp $A_n^k$ (và B sai công thức), D thiếu $k!$ ở mẫu. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp $M$ có 10 phần tử là số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử: $C_{10}^2=\frac{10!}{2!8!}=45$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh từ 15 học sinh (không phân biệt thứ tự) là tổ hợp chập 4 của 15 phần tử: $C_{15}^4=\frac{15!}{4!11!}=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12}{24}=1365$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi đoạn thẳng được xác định bởi một tập con gồm 2 điểm phân biệt trong 20 điểm của $A$, nên số đoạn thẳng là $C_{20}^2=\frac{20\cdot 19}{2}=190$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi véc tơ khác $\vec{0}$ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt trong 6 đỉnh của lục giác $ABCDEF$. Chọn điểm đầu có 6 cách, chọn điểm cuối khác điểm đầu có 5 cách, nên số véc tơ là $A_6^2=6\cdot 5=30$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 10 cạnh có 10 đỉnh. Mỗi tam giác tương ứng với một cách chọn không thứ tự 3 đỉnh trong 10 đỉnh, nên số tam giác là $C_{10}^3=120$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt đạt được khi không có ba đường thẳng nào đồng quy và không có hai đường nào song song. Khi đó mỗi cặp đường thẳng cho một giao điểm, nên số giao điểm tối đa là $C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$. Vậy chọn đáp án D.